日照儀是假設各地海拔高度一致、總是晴天、在地平面上觀測各時太陽位置的科普儀器，可以作為教具、玩具或文化擺件。它是五參量模擬計算機，松開拉繩，轉動框架，看著緯度板，輸入緯度，松開卡子，在框架上串動天柱，看著節(jié)氣刻度表輸入日期，就確定了日軌相對地平面的狀態(tài)。日照儀使用日中時刻為0的當地太陽時計時系統(tǒng)，時刻圈上的時刻所對日軌上的點就是當時太陽位置，觀者可看到太陽的方位角和高度角。

日照儀可以讓觀者置身北極圈，欣賞夏至時太陽欲落又起、冬至時太陽欲出又沒的奇妙景觀；可以讓觀者置身赤道，體驗終年晝長夜長相等，體驗一年有兩個日照高峰，身臨其境；可以讓觀者置身北極看見每年有連續(xù)半年黑夜，連續(xù)半年白晝，連續(xù)半年白晝時，最高太陽高度角達到23°26′，但北極仍然冰雪嚴寒，由此領悟到太陽高度角小、日照作用很微弱的規(guī)律。再轉至哈爾濱進行觀察，晝夜交替日照斷續(xù)，冬至時太陽高度角最高21°，即可理解哈爾濱冬天冷的原因。圖1為日照儀。

圖1 日照儀Fig.1 Sunshine meter

1 比較北回歸線和赤道的太陽高度角

日照儀上，日軌反映地球自轉，節(jié)氣刻線反映地球公轉引起太陽在地軸上投影的變化。

觀察日照儀節(jié)氣刻度表，發(fā)現節(jié)氣刻線很不均勻。圖1上，節(jié)氣刻度表的4條加黑刻線，同是一個節(jié)氣，春分到清明刻線距離是夏至到小暑的6倍。將日照儀春分刻線對準日期標線，緯度調為0°，進入赤道春分狀態(tài)，得出日中太陽高度角ξ為90°。如圖2所示，日軌被地平面平分，赤道晝長12 h。操作日照儀按加黑刻線將天柱移動較長距離，進入下一個節(jié)氣清明，用專用量角器測得清明時赤道日中太陽高度角為84°，偏離90°較多。再將日照儀調到北回歸線夏至狀態(tài)，得出日中太陽高度角ξ為90°，在日照儀上算出晝長為13.5 h。再將日照儀調為小暑，天柱只移動少許加黑刻線距離，測得小暑時北回歸線上太陽高度角略大于89°，僅偏離90°少許。這樣操作日照儀，見到了兩地分別在春分夏至日后的一個節(jié)氣中，北回歸線比赤道太陽高度角高，這和北半球內越往南太陽高度角越高一般認識相矛盾。

圖2 日照儀兩個狀態(tài)Fig.2 Two stages of sunshine meter

由文獻[1]，sinα=sinδsinΩ，其中α為赤緯角，圖2右圖是日地連線和日軌平面的夾角，每天變化很小，一天內認為不變。δ為赤黃兩面交角23°26′，Ω為地球公轉過的角度，春分時為0，每年轉動2π弧度。

圖2右圖R為日軌半徑，O點為太陽在地軸上的投影，D點為地球，距離OD=Rtanα。將OD長度對Ω求導，OD′=R(sinδ/cos3α)cosΩ，在Ω=0時，變化率OD′=Rsinδ；Ω=π/2時，OD′=0，投影點在這兩地瞬時速度比為無窮大，在其后一個節(jié)氣期間內，兩地平均速度比是日照儀上加黑刻線6倍距離揭示的6倍速度比。太陽在地軸上投影速度差別是北回歸線太陽高度角高于赤道相應太陽高度角的根本原因。

2 理論比較北回歸線和赤道的太陽高度角

將α對Ω兩次求導，得到α″=-(sinδcos2δ/cos3α)sinΩ。

式中括號內的表達式恒大于0，得到推論1，α″的符號和sinΩ的符號剛好相反。

圖3中綠虛線是赤道日中太陽高度角ξ曲線，黑粗線是北回歸線ξ曲線，見文獻[1]。要比較赤道與北回歸線的最強日照，要選擇對應時段相比。圖3曲線圖形應比較以春分為中心的Ω在-π/2～π/2的半年赤道日照和以夏至為中心的Ω在0～π的半年北回歸線日照。因為兩曲線都中心對稱且對應日子對應時刻對應仰角亦中心對稱(后續(xù)有補證)，可只比較ξ為90°以后的時段，即比較赤道Ω在0～π/2時段和北回歸線Ω在π/2～π時段，以下稱這兩個時段為比較時段。

圖3 赤道和北回歸線ξ曲線圖Fig.3 ξcurve of Equator and Tropic of Cancer

對于赤道的比較時段：ξ=90°-α，ξ″=-α″，在Ω(0，π/2]區(qū)間sinΩ>0，根據推論1知α″<0，由此ξ″>0，所以肯定這段ξ曲線是凹的。

對于北回歸線的比較時段：ξ=66°34′+α，ξ″=α″，在Ω[π/2，π)區(qū)間sinΩ>0，根據推論1知α″<0，由此ξ″<0，所以肯定這段ξ曲線是凸的。

將圖3中ab凹曲線向右平移π/2，使a落入c，b落入d，稱為E曲線，和曲線F之間存在陰影區(qū)域。兩比較曲線到了一起，上者凸下者凹，兩者不會相交。將陰影區(qū)上下端點的比較時段特稱為比較時段內，這樣就有推論2：在比較時段內，北回歸線ξ都大于赤道相應的ξ。

文獻[1]中，太陽高度角計算公式以正切形式給出，根據其推導過程寫出正弦形式如下：

sinσ=sinθsinα+cosθcosαcosΦ，其中，Φ為地球的自轉角，日中為0；θ為緯度角，北回歸線緯度角為23°26′，等于δ。

取β為0～π/2的任一實數，在赤道Ω=β時，sinσ=cosαcosΦ=(1-sin2α)0.5cosΦ=(1-sin2δsin2β)0.5cosΦ；Ω=-β時，sinσ=cosαcosΦ=(1-sin2α)0.5cosΦ=(1-sin2δsin2β)0.5cosΦ，與前式相同。

在北回歸線Ω=π/2+β時，sinσ=sin2δsin(π/2+β)+cosδ(1-sin2δsin2(π/2+β))0.5cosΦ

=sin2δcosβ+cosδ(1-sin2δcos2β)0.5cosΦ

Ω=π/2-β時，sinσ=sin2δsin(π/2-β)+cosδ(1-sin2δsin2(π/2-β))0.5cosΦ

=sin2δcosβ+cosδ(1-sin2δcos2β)0.5cosΦ，與前式相同，這就補證了赤道太陽高度角以Ω=0為中心，中心對稱，補證了北回歸線太陽高度角以Ω=π/2為中心，中心對稱。

比較σ大小，可以通過比較sinσ進行。設G為北回歸線sinσ比赤道相應的sinσ高出值。

圖4中，以Φ、Ω、G為三軸座標系，畫出G諸曲線的包絡面。把赤道sinσ值作地平面，用綠虛線圈邊，以黑實線圈邊的灰色曲面為G的曲面，Ω軸的兩種刻度對應兩地。

圖4 比較期間的sinσ比較Fig.4 Comparison of sinσ during comparison

太陽高度角公式決定了上下午高度角中心對稱，可只比較Φ為0～90°。赤道總是Φ=90°落日，北回歸線Φ>90°落日。Φ>90°屬于北回歸線太陽高度角高于赤道相應仰角部分，不需比較。

cd邊曲線反映的是Φ=90°時的情況。

北回歸線：θ=δ，sinα=sinδsin(Ω+π/2)，sinσ=sinδsinδcosΩ。

赤道：θ=0，sinσ=0，所以G=sin2δcosΩ=0.1582cosΩ，畫出曲面cd邊。

ab邊對應的是兩地sinξ高出值，對應圖3陰影區(qū)，由推論2，ab曲線中間不著地。

現求對于北回歸線Ω=π/2+β，赤道Ω=β對應的G曲線，對于北回歸線：θ=δ，Ω=π/2+β，sinσ=sin2δcosβ+cosδ(1-sin2δcos2β)0.5cosΦ，對于赤道：θ=0，Ω=β，sinσ=(1-sin2δsin2β)0.5cosΦ，所以G=sin2δcosβ+[cosδ(1-sin2δcos2β)0.5-(1-sin2δsin2β)0.5]cosΦ。

令G=A-BcosΦ，β=π/2時B=0，當β<π/2則B>0，可由β，算出A、B寫出G式：取β=0，G=0.1582-0.1582cosΦ，畫出黑粗線ad邊；取β=π/3，G=0.0791-0.0396cosΦ，畫出紅虛線；取β=π/2，G=0，即bc直線段邊。

曲面上任意β對應的曲線G=A-BcosΦ，最低點在ab邊上，最高點在cd邊上。曲面除了a點和bc直線段著地外都大于0。曲面不存在G值小于0的情況。

這從理論上證明了比較時段內北回歸線的太陽高度角都高于赤道對應時刻的太陽高度角。證明了以夏至為中心的Ω在0～π半年北回歸線的太陽高度角高于以春分為中心的Ω在-π/2～π/2半年赤道相應時刻太陽高度角，只有這兩個半年開始的一天和結束的一天以及正中間一天的日中時刻，兩地的太陽高度角相等是例外。

公式計算比日照儀觀測更準確更全面，但是在日照儀上解釋了現象實質，更為清楚。