李 進

（浙江工商大學金融學院，浙江 杭州 310000）

一、引言

GDP平減指數(shù)（GDP Deflator），又稱GDP縮減指數(shù)，是指名義GDP與真實GDP之比，該指數(shù)被廣泛用于測度價格水平。對比消費者物價指數(shù)（CPI），GDP平減指數(shù)考慮本國生產(chǎn)的全部產(chǎn)品和服務，只反映國內(nèi)生產(chǎn)產(chǎn)品價格變動對價格水平的影響，且計算時對價格的加總方式更加合理。因此，GDP平減指數(shù)可以更真實的反映國家物價水平，研究該指數(shù)可以更合理的測度宏觀價格水平變動。

在20世紀70年代創(chuàng)立的ARMA模型（Autoregressive Moving Average Model，自回歸滑動平均模型）在時間序列的預測方面運用甚廣，但是使用ARMA模型的前提條件是分析的序列必須為平穩(wěn)序列?；诓罘诌\算的確定性信息提取能力，許多非平穩(wěn)時間序列在差分后會顯示出平穩(wěn)序列的性質(zhì)，因此Box和Jenkins將差分運算與ARMA模型組合后就衍生了ARIMA模 型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，求和自回歸滑動平均模型），ARIMA模型在時間序列預測方面的應用更為廣泛。本文截取1978年至2017年我國的GDP平減指數(shù)信息作為時間序列訓練集，截取2018年至2020年我國的GDP平減指數(shù)作為測試集，建立ARIMA模型。使用擬合的模型預測未來三期數(shù)據(jù)，并與測試集中的真實數(shù)據(jù)進行對比，分析ARIMA模型的實際預測效果。

二、ARIMA模型

1.ARMA模型

ARMA（p， q）模型一般表示為：

其具體的數(shù)學表達式為：

引進延遲算子，ARMA（p， q）模型可以簡記為：

2.ARIMA模型

結(jié)合差分運算和ARMA模型，具有以下表達形式的模型被稱為求和自回歸滑動平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model），簡記為ARIMA（p， d， q）模型：

三、ARIMA模型建模過程

本文采用以下建模過程：獲取GDP平減指數(shù)數(shù)據(jù)構(gòu)建時間序列，對構(gòu)建的時間序列進行平穩(wěn)性檢驗，如果檢驗結(jié)果顯示序列平穩(wěn)，則繼續(xù)對序列進行白噪聲檢驗；若結(jié)果顯示序列不平穩(wěn)，則對序列進行差分運算，再重新檢驗差分后序列的平穩(wěn)性。若序列通過白噪聲檢驗，則說明序列中沒有值得提取的可用信息，建模結(jié)束；若白噪聲檢驗提示序列非白噪聲，則對序列采用ARMA模型建模（如圖1）。

圖1 ARIMA模型建模過程

如果原序列或經(jīng)差分運算后得到的新序列被驗證為平穩(wěn)非白噪聲序列，則對其采用如下的過程進行ARMA建模：首先計算自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)系數(shù)（PACF），結(jié)合ACF圖、PACF圖的拖尾、截尾性質(zhì)以及最小AIC準則為ARMA模型定階，之后估計模型的相關(guān)參數(shù)，再對擬合的ARMA模型進行模型檢驗。如果未通過模型檢驗，則對模型重新定階并重新估計參數(shù)；如果通過模型檢驗，則對模型優(yōu)化后完成ARMA模型構(gòu)建過程（如圖2）。

圖2 ARMA模型建模過程

1.數(shù)據(jù)選取

截取1978年至2020年我國的GDP平減指數(shù)信息，數(shù)據(jù)來源為同花順iFinD數(shù)據(jù)庫（指標名稱：“GDP：平減指數(shù)”；頻率：“年”；1978=100）。采用R軟件，建立GDP平減指數(shù)的時間序列，并繪制時序圖（如圖3），時序圖顯示觀察值序列顯然不平穩(wěn)，應進行差分運算。

圖3 GDP平減指數(shù)時序圖

2.差分運算并在差分后檢驗序列平穩(wěn)性

加載R軟件中的“aTSA”包。對序列進行一階差分運算后，通過adf.test（）函數(shù)對差分后的序列進行ADF檢驗，結(jié)果顯示無漂移項無時間趨勢、有漂移項無時間趨勢、有漂移項有時間趨勢三種情況的P值。在無漂移項無時間趨勢下滯后0階、1階，有漂移項無時間趨勢下滯后0階、1階、3階，有漂移項有時間趨勢下滯后2階，在以上幾種情況下，P值都小于α＝0.05的置信水平。綜合考慮，可以認為原序列在一階差分后實現(xiàn)了平穩(wěn)（如圖4）。

圖4 ADF檢驗結(jié)果

3.差分后序列純隨機性檢驗

構(gòu)建LB統(tǒng)計量對差分后的序列進行白噪聲檢驗，R語言中使用Box.test（）函數(shù)進行序列的白噪聲檢驗，檢驗的原假設(shè)為：H0：序列是白噪聲序列。結(jié)果顯示，在6階和12階延遲下LB統(tǒng)計量的P值均小于α=0.05的顯著性水平，應拒絕原假設(shè)，說明差分后的序列不是白噪聲序列。因此可以對差分后的序列擬合ARMA模型（如圖5）。

圖5 白噪聲檢驗結(jié)果

4.繪制序列自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖為ARIMA模型定階

樣本自相關(guān)圖顯示1階顯著不為0，2階之后近似為0；偏自相關(guān)圖顯示4階之后近似為0，因此可以在1至4之間選擇p，q的具體取值（如圖6）。

圖6 自相關(guān)圖（左上）、偏自相關(guān)圖（右上）及最小 AIC 準則定階結(jié)果

R語言中的arima（）函數(shù)的輸出結(jié)果包含AIC值，因此可以通過編寫R的循環(huán)迭代函數(shù)分別計算ARIMA（1， 1， 1）、ARIMA（1， 1， 2）、ARIMA（1， 1， 3）、ARIMA（1， 1， 4）、……、ARIMA（4， 1， 1）、ARIMA（4， 1， 2）、ARIMA（4， 1， 3）、ARIMA（4，1， 4）等16個模型的AIC值并輸出最小AIC所對應的p， q值。最終確定最優(yōu)的系數(shù)為p=1，q=2，即對序列建立ARIMA（1， 1，2）模型。

5.建立ARIMA（1， 1， 2）模型

根據(jù)定階結(jié)果，調(diào)用R語言“forecast”包中的Arima（）函數(shù)，擬合帶漂移項的ARIMA（1， 1， 2）模型，估計模型中的各參數(shù)結(jié)果如圖 7。

圖7 帶漂移項ARIMA（1，1，2）模型參數(shù)擬合結(jié)果

因此ARIMA（1， 1， 2）模型的擬合結(jié)果為：

再使用tsdiag（）函數(shù)對該ARIMA（1， 1， 2）模型進行顯著性檢驗，tsdiag（）函數(shù)會輸出模型的殘差序列時序圖、殘差序列自相關(guān)圖和殘差序列的白噪聲檢驗圖（如圖8）。殘差序列的白噪聲檢驗圖顯示，各階延遲下白噪聲檢驗統(tǒng)計量的P值都顯著大于0.05（圖中虛線為0.05參考線），該ARIMA（1， 1，2）模型顯著成立。

圖8 帶漂移項模型殘差序列的時序圖（上）、自相關(guān)圖（中）及白噪聲檢驗圖（下）

考慮不帶漂移項建模的情況，重復以上建模過程。不帶漂移項建立的ARIMA（1， 1， 2）模型的殘差序列的白噪聲檢驗圖顯示，在各階延遲下白噪聲檢驗統(tǒng)計量的P值不能顯著大于0.05，也即應該拒絕殘差序列為白噪聲的原假設(shè)，認為殘差序列不是白噪聲序列，還存在值得提取的信息。因此不帶漂移項的ARIMA（1， 1， 2）模型不顯著成立，最終選擇帶漂移項的模型為擬合結(jié)果：

四、ARIMA模型預測

基于擬合的ARIMA（1， 1， 2）模型，選擇1978年至2017年的GDP平減指數(shù)為訓練集，選擇2018年至2020年的GDP平減指數(shù)為測試集，對序列進行未來3期的預測，并將預測結(jié)果與測試集中的真實值進行比較，計算預測誤差（如圖9）。再繼續(xù)建立未來10期的預測（2021年至2030年），共同繪制模型預測效果圖（如圖10）。在預測效果圖中，實線是序列觀察值，虛線是模型擬合值，深色陰影是序列的80%置信空間，淺色陰影是序列的95%置信區(qū)間。從結(jié)果來看，我國的GDP平減指數(shù)存在走高的趨勢，也即反映出了我國的物價水平預期會上漲，這與我國經(jīng)濟不斷發(fā)展的國情以及通貨膨脹等經(jīng)濟學原理相契合，符合預期，可以通過經(jīng)濟學檢驗?；陬A測誤差、預測效果圖以及經(jīng)濟學判斷，可以認為該ARIMA（1， 1， 2）模型的擬合與預測效果都不錯，可以通過檢驗。

圖9 未來三期預測值、真實值及預測誤差

圖10 模型預測效果圖

五、研究結(jié)論

從模型預測效果圖可以看出，未來10年的GDP平減指數(shù)預計將會持續(xù)上漲。雖然ARIMA模型通常只在短期預測中有較高的精確度，隨著時間跨度的增大其準確率會不斷降低，但即使采用預測值95%置信區(qū)間的下限（圖中灰色區(qū)域的下緣），我國GDP平減指數(shù)估計仍然會增大，我國的物價水平預計會不斷上漲。這也意味著我國大概率會保持溫和的通貨膨脹以及穩(wěn)定的經(jīng)濟發(fā)展。

六、結(jié)語

本文基于ARIMA模型，以R語言為分析軟件，對我國GDP平減指數(shù)序列進行時間序列建模。整體思路為：首先選取GDP平減指數(shù)數(shù)據(jù)構(gòu)建時間序列，然后對該序列進行平穩(wěn)性檢驗，在序列不平穩(wěn)的基礎(chǔ)上進行一階差分得到平穩(wěn)序列。在序列非白噪聲的基礎(chǔ)上通過序列的自相關(guān)系數(shù)、偏自相關(guān)系數(shù)和最小AIC準則確定模型的滯后階數(shù)。最后用R語言估計模型的未知參數(shù)，用擬合的ARIMA（1， 1， 2）模型對未來3期的GDP平減指數(shù)進行預測，并與真實值對比驗證模型的可靠性。

綜上，利用ARIMA模型可以在短期很好的預測GDP平減指數(shù)的走向，得到的預測值比較理想，同時擬合的模型也符合經(jīng)濟學原理檢驗。為學者監(jiān)測宏觀經(jīng)濟指標和了解我國物價水平、經(jīng)濟發(fā)展走勢提供了一定的參考。