李錦華，李添藝，吳亮秦，張煥濤

(華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，南昌 330013)

最近幾年，由于高速鐵路的快速發(fā)展，高鐵已成為我國的代名詞，這就導(dǎo)致我國對(duì)高速鐵路的要求也越來越高。而高速鐵路橋梁發(fā)展?fàn)顩r關(guān)乎高速鐵路的運(yùn)營(yíng)發(fā)展，這就要求高速鐵路橋梁除了滿足一般鐵路橋梁的要求外，還需滿足乘客舒適度、運(yùn)行的平順性等要求。因此，對(duì)于高速鐵路橋梁的車橋動(dòng)力響應(yīng)顯得至關(guān)重要，尤其是關(guān)于高速列車引起橋梁共振及消振響應(yīng)的問題[1-4]。

對(duì)于列車作用下橋梁共振響應(yīng)的研究模型主要采用2種類型：車-橋耦合模型；移動(dòng)荷載模型[5]。采用車-橋耦合模型作用下，橋梁共振等問題的研究?jī)H能通過數(shù)值模擬進(jìn)行分析各個(gè)參數(shù)的影響，如橋梁跨徑、剛度、荷載間距和荷載數(shù)等[6-8]。寧曉駿等[9]探討了高速鐵路橋梁跨徑布置與共振的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)橋梁共振與跨徑有關(guān)，而與其跨徑布置的形式無關(guān)。蘇木標(biāo)等[10]發(fā)現(xiàn)當(dāng)調(diào)整橋梁跨度與車輛長(zhǎng)度的比值時(shí)，可避免高速鐵路橋梁出現(xiàn)較大豎向振幅；且適當(dāng)加大橋梁結(jié)構(gòu)剛度和阻尼比可以抑制橋梁共振的峰值和避免在規(guī)定范圍內(nèi)出現(xiàn)強(qiáng)烈共振。該類方法僅能通過編程建模才可確定各個(gè)參數(shù)對(duì)橋梁共振問題的影響，因此對(duì)于工程的通用性不高。雖然移動(dòng)荷載模型是最一般的模型，但研究表明，相比較移動(dòng)荷載模型，采用車-橋耦合下的分析模型計(jì)算所得結(jié)果往往會(huì)減少橋梁的振動(dòng)響應(yīng)[11]。因此，當(dāng)只考慮橋梁的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，可以把列車荷載簡(jiǎn)化為移動(dòng)荷載模型。Yang等[12-13]將列車荷載簡(jiǎn)化為等間距的2個(gè)子系統(tǒng)，通過解析方法確定了控制橋梁動(dòng)力響應(yīng)的關(guān)鍵參數(shù)，并根據(jù)移動(dòng)荷載產(chǎn)生的橋梁響應(yīng)曲線給出了有效抑制橋梁共振的優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。張鐸等[14]為了探究軌道不平順給橋梁帶來的影響，將等間距列車荷載簡(jiǎn)化為移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載，然后通過理論推導(dǎo)得到了橋梁響應(yīng)的解析表達(dá)式；最后通過數(shù)值模擬研究了移動(dòng)荷載速度、諧振頻率等參數(shù)對(duì)橋梁共振的影響。以往針對(duì)移動(dòng)荷載作用下橋梁響應(yīng)的研究大多數(shù)關(guān)注橋梁共振問題，僅有少量文獻(xiàn)涉及移動(dòng)荷載作用下橋梁消振現(xiàn)象的研究。Museros等[15]從單個(gè)移動(dòng)力出發(fā)得到了簡(jiǎn)支梁橋發(fā)生消振效應(yīng)時(shí)的消振速度表達(dá)式，以及在彈性支撐梁下類似的移動(dòng)荷載消振速度表達(dá)式。Xia等[16-19]首先從單個(gè)移動(dòng)荷載出發(fā)，再到多個(gè)移動(dòng)荷載及移動(dòng)荷載列的形式，來研究移動(dòng)荷載過橋后引起的橋梁共振及消振響應(yīng)；并通過時(shí)域角度，進(jìn)行理論推導(dǎo)得到了引起橋梁自由振動(dòng)時(shí)期的共振及消振速度公式。上述文獻(xiàn)都是在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行求解分析，相關(guān)理論推導(dǎo)分析過于復(fù)雜，而且由于時(shí)域分析的局限性，導(dǎo)致橋梁振動(dòng)響應(yīng)需要反復(fù)計(jì)算求解。而頻域相對(duì)時(shí)域而言具有諸多優(yōu)勢(shì)，直觀且無需求解微分方程。

因此，本文將從頻域角度出發(fā)，采用傅里葉變換方法，理論推導(dǎo)出多個(gè)移動(dòng)荷載通過橋梁時(shí)的橋梁位移傅里葉譜及移動(dòng)荷載傅里葉譜；然后通過橋梁位移傅里葉譜對(duì)橋梁自由振動(dòng)時(shí)期的消振機(jī)理進(jìn)行分析，提出了基于移動(dòng)荷載傅里葉譜的消振機(jī)理頻域分析方法，并通過數(shù)值算例對(duì)相關(guān)理論研究進(jìn)行驗(yàn)證。

1 非等間距移動(dòng)荷載列作用下橋梁振動(dòng)響應(yīng)方程

本文假設(shè)橋梁為歐拉-伯努利梁，沿橋梁跨度方向性質(zhì)不變，截面彎曲剛度EI、單位質(zhì)量m、結(jié)構(gòu)阻尼c均為常量。本文假設(shè)橋梁為歐拉-伯努利梁，沿橋梁跨度方向性質(zhì)不變，截面彎曲剛度EI、單位質(zhì)量m、結(jié)構(gòu)阻尼c均為常量。將列車車輛模型簡(jiǎn)化為移動(dòng)集中力模型,如圖1所示，車廂簡(jiǎn)化為4個(gè)集中力pk(k=1,2,3,4)，其大小均為p0。l1為車廂第1個(gè)輪軸～第2個(gè)輪軸的距離(集中力為p1與p2的間距)，l2為車廂第1個(gè)輪軸～第3個(gè)輪軸的距離(集中力為p1與p3的間距)，l3為車廂第1個(gè)輪軸～第4個(gè)輪軸的距離(集中力為p1與p4的間距)，且l3-l2=l1。

圖1 列車及移動(dòng)荷載模型Fig.1 Train and moving load models

非等間距移動(dòng)集中荷載以速度v勻速通過跨徑為L(zhǎng)的簡(jiǎn)支梁橋，其運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

式中:y(x,t)為橋梁在x位置t時(shí)刻的豎向位移；Pc(x,t)為t時(shí)刻作用在橋梁x位置的移動(dòng)集中荷載；Np=4為移動(dòng)集中荷載的個(gè)數(shù)；dk=lk-1為第k個(gè)移動(dòng)集中力與第1個(gè)集中荷載p1的距離，其中d1=l0=0；tk為第k個(gè)移動(dòng)集中荷載到達(dá)橋梁最左端的時(shí)間；S(t-tk)=S0(t-tk)-S0(t-tk-L/v)，其中S0為跟時(shí)間有關(guān)的Heaviside函數(shù)，可判斷移動(dòng)荷載是否仍作用在橋上；δ為Diarc函數(shù)。

(3)

采用振型疊加法求解，則橋梁在x位置t時(shí)刻的豎向位移y(x,t)可寫成廣義坐標(biāo)qn(t)與振型函數(shù)φn(x)相乘的形式

(4)

將式(4)代入式(1)，利用振型正交性可得

(5)

式中：ωn,ξn分別為橋梁的第n階頻率和阻尼比；Pcn(t)為移動(dòng)荷載的第n階振型荷載，其表達(dá)式為

(6)

下面分別采用了10個(gè)自由度的列車車輛模型和非等間距移動(dòng)荷載模型，進(jìn)行列車荷載激勵(lì)下的橋梁振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比。車輛模型參數(shù)和橋梁參數(shù)取自于文獻(xiàn)[20]，如表1所示。非等間距移動(dòng)荷載模型中的每個(gè)集中力大小為p0=9.8(0.25Mc+0.5Mt+Mw)。列車以100 m/s速度勻速通過橋梁，橋梁跨中豎向位移響應(yīng)，如圖2所示。由圖2可知：車輛模型和移動(dòng)荷載模型激勵(lì)下的橋梁第1階模態(tài)位移響應(yīng)非常接近，且橋梁第1階模態(tài)和第10階模態(tài)位移響應(yīng)也是非常接近的。因此，對(duì)于列車激勵(lì)下簡(jiǎn)支梁橋的振動(dòng)響應(yīng)，可采用移動(dòng)荷載模型且僅考慮橋梁第1階模態(tài)響應(yīng)。

表1 列車車輛模型參數(shù)與橋梁參數(shù)Tab.1 The parameters both bridge and train vehicle model

圖2 橋梁跨中豎向位移響應(yīng)Fig.2 The vertical displacement response of the bridge at mid-span

2 非等間距移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜

將式(5)進(jìn)行傅里葉變換可得第n階響應(yīng)分量

Qn(ω)=Hn(ω)Fn(ω)

(7)

傳遞函數(shù)為

(8)

非等間距移動(dòng)荷載傅里葉譜為

(9)

當(dāng)振型為奇數(shù)時(shí)，即n=1,3,5,…，非等間距移動(dòng)荷載傅里葉譜為

(10)

當(dāng)振型為偶數(shù)時(shí)，即n=2,4,6,…，非等間距移動(dòng)荷載傅里葉譜為

(11)

于是，對(duì)應(yīng)的非等間距移動(dòng)集中荷載引起的橋梁位移傅里葉譜為

對(duì)于一般的簡(jiǎn)支梁橋，通常僅考慮橋梁豎向第1階振型即可滿足計(jì)算精度要求。因此，本文僅考慮橋梁第1階振型且忽略橋梁阻尼作用時(shí)的橋梁位移傅里葉幅值譜為

|Y1(ω)|=|Q1(ω)·φ1(x)|=|H1(ω)F1(ω)φ1(x)|=

(13)

觀察式(13)可知:當(dāng)x=0.5L時(shí)，對(duì)應(yīng)的振型函數(shù)產(chǎn)生最大值；即在橋梁跨中位置會(huì)產(chǎn)生最大值；而對(duì)于傳遞函數(shù)，在ω=ω1附近將出現(xiàn)最大值。此時(shí)，橋梁位移傅里葉幅值譜的最大值，僅與移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜的最大值有關(guān)。非等間距移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜的大小為

|F1(ω1)|=

為了進(jìn)一步分析非等間距移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜與橋梁位移響應(yīng)幅值之間的關(guān)系，根據(jù)表1所示的跨度為30 m的橋梁及相關(guān)的移動(dòng)荷載參數(shù)，得到了移動(dòng)荷載激勵(lì)下的橋梁自由振動(dòng)時(shí)域響應(yīng)的位移幅值、移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜分別與移動(dòng)荷載速度之間的關(guān)系曲線，分別如圖3(a)、圖3(b)所示。根據(jù)圖3(b)可知：隨著荷載速度的增加，移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜出現(xiàn)了一系列的極值點(diǎn)，這與在時(shí)域中得到的v-y(L/2,v)曲線規(guī)律一致如圖3(a)所示。因此通過圖3可知：對(duì)橋梁自由振動(dòng)時(shí)期的位移響應(yīng)幅值的分析，可以等效為移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜的研究，另一方面也驗(yàn)證了本文移動(dòng)荷載作用下橋梁振動(dòng)響應(yīng)在頻域分析的正確性。

圖3 移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜與橋梁位移響應(yīng)幅值Fig.3 Fourier amplitude spectrum of moving loads and displacement response amplitude of bridge

3 基于移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜的消振機(jī)理

目前，對(duì)于移動(dòng)荷載作用下橋梁自由振動(dòng)時(shí)期的消振效應(yīng)的研究，主要是從時(shí)域角度分析，而該方法的理論分析推演比較復(fù)雜。根據(jù)圖3可知，移動(dòng)荷載作用下橋梁自由振動(dòng)時(shí)期的位移響應(yīng)幅值可等效為橋梁位移傅里葉幅值譜的研究。因此，對(duì)于移動(dòng)荷載作用下橋梁自由振動(dòng)時(shí)期消振效應(yīng)的分析，可轉(zhuǎn)化為對(duì)橋梁位移傅里葉幅值譜的研究。

根據(jù)式(13)可知：變間距移動(dòng)荷載作用下的橋梁位移傅里葉幅值譜，與橋梁跨度L、基頻ω1、移動(dòng)集中荷載間距l(xiāng)1，l2及移動(dòng)荷載速度v等參數(shù)有關(guān)。當(dāng)變間距移動(dòng)荷載作用下橋梁發(fā)生消振效應(yīng)時(shí)，即|Y1(ω)|=0，此時(shí)對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜的大小為

|F1(ω1)|=

其中，令

(16)

根據(jù)式(15)可知，對(duì)于移動(dòng)荷載作用下的橋梁，其自由振動(dòng)時(shí)期的消振研究可簡(jiǎn)化為僅考Fcan=0。為了分析方便，在式(16)中，令cos(ω1L/2v)=A，cos(ω1l1/2v)=B，cos(ω1l2/2v)=C。顯然，A,B,C任意一項(xiàng)等于0，則Fcan=0，即橋梁產(chǎn)生消振現(xiàn)象。因此，在式(16)中，對(duì)Fcan=0的消振分析，可分別考慮A=0,B=0和C=0進(jìn)行分析。

當(dāng)A=0時(shí)，則Fcan=0消振成立，此時(shí)有

(17)

對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載速度為

(18)

同理，當(dāng)B=0或C=0時(shí)，F(xiàn)can=0消振也成立，此時(shí)對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載速度分別為

(19)

(20)

根據(jù)以上式(18)～式(20)可知，移動(dòng)荷載消振速度可以分為兩類：第一類消振速度v1-can僅與橋梁參數(shù)有關(guān)，如橋梁基頻ω1與跨度L，見式(18)；第二類消振速度v2-can則涉及橋梁與移動(dòng)荷載相關(guān)參數(shù)，如橋梁基頻ω1、移動(dòng)荷載間距l(xiāng)1和l2,見式(19)和式(20)。上述移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜的相關(guān)理論分析清晰易懂，下面將通過算例進(jìn)一步驗(yàn)證基于移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜分析橋梁消振的有效性。

4 算例驗(yàn)證

本節(jié)考慮標(biāo)準(zhǔn)跨徑L=24 m和L=32 m的鐵路簡(jiǎn)支梁橋，以及不同的列車移動(dòng)荷載間距l(xiāng)1=2.5 m，3.0 m和l2=17.5 m，18.7 m，19.0 m，得到了與移動(dòng)荷載速度相對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜，如圖4(a)、圖4(b)所示。根據(jù)圖4可知：移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜，并不是隨著速度的增加而單調(diào)增加，而是從低速到高速出現(xiàn)了一系列的極值點(diǎn)；對(duì)于不同跨徑簡(jiǎn)支梁，各極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載速度各不相同；對(duì)于同一跨徑的簡(jiǎn)支梁，部分極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載消振速度并不受移動(dòng)荷載間距的影響，這是因?yàn)檫@些極小值點(diǎn)僅與簡(jiǎn)支梁本身有關(guān)，這些極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的消振速度為第一類消振速度，而其它極小值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載消振速度受到移動(dòng)荷載間距l(xiāng)1和l2的影響，屬于第二類消振速度。根據(jù)式(19)、式(20)，由于移動(dòng)荷載間距的大小關(guān)系通常是l1

圖4 考慮不同移動(dòng)荷載間距的移動(dòng)荷載傅立葉幅值譜Fig.4 Fourier amplitude spectrum of moving loads considering different moving load spacing

針對(duì)某跨徑簡(jiǎn)支梁，改變移動(dòng)荷載間距l(xiāng)2，不同類型的移動(dòng)荷載消振速度如圖5(a)～圖5(c)所示。觀察圖5可知:在0～20 m/s移動(dòng)荷載低速區(qū)域存在大量的消振速度，而隨著移動(dòng)荷載速度的增大，消振速度數(shù)量越來越少。因此，分析移動(dòng)荷載在高速區(qū)域的消振速度更有意義。在圖5中，高速區(qū)域的消振速度分別對(duì)應(yīng)著式(18)～式(20)所求的兩類消振速度，各消振速度如表2所示。觀察表2可知：分布在20～100 m/s速度區(qū)域的第一類消振速度和第二類消振速度主要與橋梁結(jié)構(gòu)特征和移動(dòng)荷載間距l(xiāng)2有關(guān)，而受移動(dòng)荷載間距l(xiāng)1影響的消振速度最大值僅為20.40 m/s。根據(jù)式(18)～式(20)可知：僅與橋梁結(jié)構(gòu)特征有關(guān)的第一類消振速度最大值可以達(dá)到261.04 m/s，而與移動(dòng)荷載間距l(xiāng)2有關(guān)的第二類消振速度最大值達(dá)到142.70 m/s。從圖5(a)～圖5(c)和表2可知:移動(dòng)荷載間距l(xiāng)2的變化對(duì)于第二類消振速度的影響不大。目前鐵路簡(jiǎn)支梁橋，其跨徑L采用的是標(biāo)準(zhǔn)化跨徑，而各種型號(hào)列車輪軸間距l(xiāng)2變化也不大，因此列車合理的運(yùn)行消振速度可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的橋梁結(jié)構(gòu)特征和移動(dòng)荷載間距l(xiāng)2來確定。

圖5 不同類型的移動(dòng)荷載消振速度Fig.5 Different types of moving load cancellation velocities

表2 各個(gè)消振效應(yīng)對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載速度Tab.2 Moving load speed corresponding to each cancellation effect

為進(jìn)一步驗(yàn)證頻域分析中消振效應(yīng)對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載速度與時(shí)域計(jì)算結(jié)果的吻合性，取表2中的第一類與第二類消振速度進(jìn)行時(shí)域驗(yàn)證，如圖6所示。圖6(a)為移動(dòng)荷載間距l(xiāng)2=17.5 m，當(dāng)移動(dòng)荷載分別以速度142.70 m/s，87.01 m/s，20.40 m/s通過橋梁時(shí)，對(duì)應(yīng)的橋梁跨中位置位移時(shí)程響應(yīng)；圖6(b)為移動(dòng)荷載間距l(xiāng)2=18.7 m，當(dāng)移動(dòng)荷載分別以速度87.01 m/s，50.85 m/s，20.40 m/s通過橋梁時(shí)，對(duì)應(yīng)的橋梁跨中位置位移時(shí)程響應(yīng)；圖6(c)為移動(dòng)荷載間距l(xiāng)2=19.0 m，當(dāng)移動(dòng)荷載分別以速度87.01 m/s，51.67 m/s，20.40 m/s通過橋梁時(shí)，對(duì)應(yīng)的橋梁跨中位置位移時(shí)程響應(yīng)。

圖6 橋梁跨中位移時(shí)程響應(yīng)Fig.6 Time history response of bridge midspan displacement

很明顯，在時(shí)域內(nèi)，改變移動(dòng)荷載間距l(xiāng)2，第一類消振速度87.01 m/s與第二類消振速度20.40 m/s均能使得簡(jiǎn)支梁橋在自由振動(dòng)時(shí)期發(fā)生消振響應(yīng)，如圖6所示。這與頻域分析相互吻合，即第一類消振速度僅與橋梁結(jié)構(gòu)特征有關(guān)，與移動(dòng)荷載間距l(xiāng)1有關(guān)的第二消振速度不受間距l(xiāng)2的影響。同樣，在圖6中，與移動(dòng)荷載間距l(xiāng)2有關(guān)的第二消振速度142.70 m/s，50.85 m/s，51.67 m/s也使得簡(jiǎn)支梁橋在自由振動(dòng)時(shí)期發(fā)生了消振響應(yīng)。因此，上述時(shí)域結(jié)果驗(yàn)證了在頻域內(nèi)基于移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜分析的兩類移動(dòng)荷載消振速度的準(zhǔn)確性。

5 結(jié) 論

本文提出了非等間距移動(dòng)荷載作用下橋梁振動(dòng)響應(yīng)的頻域分析法，并根據(jù)該方法推導(dǎo)出非等間距移動(dòng)荷載作用下移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜；然后基于移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜，分析了非等間距移動(dòng)荷載作用下橋梁自由振動(dòng)時(shí)期的消振效應(yīng)，且得到了兩類消振速度。最后從時(shí)域角度對(duì)理論推導(dǎo)及分析進(jìn)行了驗(yàn)證。研究結(jié)論表明：移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜能夠有效反映橋梁自由振動(dòng)位移響應(yīng)幅值，即移動(dòng)荷載作用下橋梁自由振動(dòng)位移響應(yīng)幅值，與移動(dòng)荷載傅里葉幅值譜各個(gè)極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的荷載移動(dòng)速度是相互吻合的；非等間距移動(dòng)荷載的消振速度可分為兩類，均會(huì)使得橋梁產(chǎn)生消振現(xiàn)象；第一類消振速度公式僅跟橋梁基頻、跨度有關(guān)；第二類消振速度公式不僅與橋梁基頻有關(guān)，還與移動(dòng)荷載間距l(xiāng)1和l2有關(guān)；分布在高速度區(qū)域的移動(dòng)荷載消振速度主要是第一類消振速度，以及與移動(dòng)荷載間距l(xiāng)2有關(guān)的第二類消振速度。因此，基于本文的研究可對(duì)高速鐵路橋梁的設(shè)計(jì)及列車運(yùn)行速度的設(shè)定具有一定的參考價(jià)值。