王 霞，蘇子航，趙家碧，徐 超，金偉其

（北京理工大學 光電學院 光電成像技術(shù)與系統(tǒng)教育部重點實驗室，北京 100081）

引言

偏振成像技術(shù)是在獲取目標偏振信息的基礎上利用所得到的信息進行目標重構(gòu)增強的過程，相較于強度成像，偏振成像技術(shù)可以提供更多維的目標信息[1]。偏振方向作為光場偏振態(tài)的一個重要構(gòu)成因素，在對場景信息的解譯上有著重要的作用[2-3]。

線偏振成像技術(shù)中，偏振方向本質(zhì)上是一條直線的方向，而直線方向是用其法向量表示，因此偏振方向本質(zhì)上是一個二維信息。在偏振態(tài)的斯托克斯矢量表示方法[4]中，以2個分量綜合信息表示偏振方向；目前較多使用的偏振方向表示方法是偏振角，其以一維數(shù)據(jù)的形式去表示偏振方向，但由于存在著數(shù)值突變，這些數(shù)值突變并不反映任何真實的物理信息[5]，在實際使用中一般會引入較高的噪聲。因此，傳統(tǒng)的偏振方向表示方法存在以下問題：1）映射結(jié)果信息維度具有較高信息維度；2）一維信息映射方法本身缺陷引起的對噪聲魯棒性低。

對于信息維度問題，信息降維方法有利用線性特征提取的主成分分析（PCA）、獨立成分分析（ICA）等方法，也有多用于高光譜圖像信息降維中的等距映射（ISOMAP）、局部線性嵌入（LLE）等方法[6]，但這些方法是基于圖像統(tǒng)計數(shù)據(jù)的降維方法，不同的源圖像中相同的物理信息在映射結(jié)果中也會不同，不是一般性物理量之間的映射規(guī)則。在這些映射方法中，具有距離保持特性的映射方法可以保存數(shù)據(jù)之間的距離和局部拓撲信息，可以有效提高數(shù)據(jù)挖掘步驟的性能[7]。

對于噪聲問題，文獻[8]分析了偏振測量次數(shù)、噪聲類型與偏振角偏振度精度之間的關系；文獻[9]分析了偏振角色散函數(shù)與噪聲之間的關系。目前的研究中，缺少由于偏振方向映射方法本身缺陷帶來的噪聲的相關分析。

本文第1節(jié)中基于交織序列的方法提出了一種將偏振方向映射為一維數(shù)據(jù)的映射方法。第2節(jié)中首先研究了距離保持特性與映射方法噪聲魯棒性的關系，之后分析了本文提出的映射方法的距離保持特性及其噪聲魯棒性。第3節(jié)進行了仿真實驗與實際場景實驗，結(jié)果證明本文所提出的映射方法具有較好的噪聲魯棒性。

1 基于交織序列方法的偏振方向一維數(shù)據(jù)映射

部分偏振光是同方向傳播的自然光和完全偏振光互相疊加后生成的光[4]，如圖1所示，在坐標系XOY中，自然光部分的強度為IN，完全線偏振光的強度為IP，偏振方向為代表完全線偏振光線振幅方向的橙色直線LP的方向。由于偏振角與偏振方向之間存在一一對應的關系，因此本文中仍采用偏振角來表示幾何關系。圖1中偏振方向的偏振角θ為Y軸右側(cè)部分的直線LP與X軸正方向的夾角，

圖1 部分線偏振光成分Fig.1 Components of partial linear polarized light

斯托克斯矢量由4個分量S0、S1、S2、S3組成，其中S1、S2包含了偏振的方向與線偏振強度信息。結(jié)合圖1中的所示參量，斯托克斯矢量的表達如（1）式所示：

將S1、S2中 的線偏振強度IP提取出來，可以以二維數(shù)據(jù) ( cos2θ,sin2θ)的形式表示偏振方向。

為將二維數(shù)據(jù)映射下的偏振方向映射為一維數(shù)據(jù)，本文采用交織序列的映射方法[10]。交織序列通過“洗牌”的方式融合2個序列，其定義為：對于集合S中的2個序列 (xi) 和 (yi)，i=0,1,2,···，其交織序列 (zi) 為x0,y0,x1,y1,···，如（2）式所示：

對于元素x,y∈(0,Bn)的二維數(shù)據(jù)，首先將其B進制形式按位分離成2個長度為n的序列，其次交織2個序列，獲得一個長度為 2n的序列，就可以唯一確定另一個屬于 的實數(shù)，也就是會形成一個二維平面區(qū)域向 一維區(qū)間的單射映射[11]。

綜上，針對偏振方向，首先確定序列進制B與序列長度n，再通過以下4個步驟將其轉(zhuǎn)化為一維數(shù)據(jù)。

1）偏振方向的二維數(shù)據(jù)映射：將偏振方向映射為二維數(shù)據(jù)( cos2θ,sin2θ)；

2）二維數(shù)據(jù)歸一化：對于二維數(shù)據(jù) (X,Y)，通過(3)式歸一化為平面區(qū)域 (0,Bn)×(0,Bn)內(nèi)的數(shù)據(jù)(x,y)；

3）歸一化數(shù)據(jù)序列化：歸一化數(shù)據(jù) (x,y)對應的序列 (xi) 和 (yi)是x、y在B進制下按位分離的結(jié)果，如（4）式所示；

4）交織序列編碼：求 (xi) 和 (yi)的交織序列(zi) 并 轉(zhuǎn)換為數(shù)值量z，如（5）式所示，即為映射結(jié)果。

交織序列將二維數(shù)值映射為一維數(shù)值，且在二維空間分布上具有處處不連續(xù)，即存在數(shù)值跳變。

對于交織序列 (zi)1和 (zi)2，當其關系為（6）式所示的情況時，這2個序列空間位置相鄰且出現(xiàn)最大數(shù)值跳變：

按位相減得到最大跳變值并歸一化：

從（7）式可知，跳變值與n無關，與B成反比，當B足夠大時，在離散數(shù)據(jù)處理方法中，可認為該映射在平面空間中是連續(xù)的。

在極坐標系中，將圓中每個點的角坐標θ轉(zhuǎn)化(cos2θ,sin2θ)的二維數(shù)據(jù)，再按上述步驟，在不同進制B下進行交織序列映射，映射結(jié)果如圖2所示?？梢钥闯?，當B=30時，可以認為灰度分布是連續(xù)的。

圖2 不同B值下交織序列映射法對極坐標角度坐標映射結(jié)果Fig.2 Mapping results of polar -coordinate angle coordinates by mapping method of interleaved sequence under different B values

2 偏振方向映射方法的距離保持特性研究

2.1 距離保持特性對映射方法噪聲魯棒性的影響

當映射X→Y中存在較大的數(shù)值突變現(xiàn)象時，如圖3所示，如果自變量x2受到噪聲污染，沿不同的變化方向變?yōu)閤1、x3， 其映射結(jié)果為y1、y3，對應的噪聲為 ?y12、?y32， 顯然有 ?y12??y32。因此，相較于存在較大數(shù)值突變的映射關系，非突變或者突變數(shù)值較小的映射關系會在因變量中引入更少的噪聲，即對噪聲有較好的魯棒性。

圖3 映射中數(shù)值突變對因變量噪聲的影響Fig.3 Influence of numerical mutation in mapping on noise of dependent variable

對于一個映射關系，該映射關系中“突變”現(xiàn)象存在的程度可以用距離保持特性來表示。距離保持特性的定義為：在映射關系中，定義域內(nèi)自變量之間的“距離”與值域中對應因變量之間的“距離”的相似程度[6]。根據(jù)其定義，如果映射關系存在較好的距離保持特性，對于任意一個基準y0=f(x0)，則都存在如（8）式所示的關系：

式中：b+([ai,bi])forallai,bi表示a、b之間的正相關系數(shù)，（8）式表示了“距離”之間的正相關系數(shù)應盡量接近于1，即應具有盡量好的正相關性。

如果一個映射關系是非突變或者突變數(shù)值較小的映射關系，則對任意一個基準y0=f(x0)，都存在如（9）式所示的關系：

式中：ε為一個不大的閾值系數(shù)。

滿足（8）式表示映射關系f具有較好的距離保持特性，滿足（9）式表示映射關系f具有小的數(shù)值突變，即噪聲魯棒性較好。（8）式是（9）式的充分條件，即滿足式（8）條件的映射關系是一個非突變或突變數(shù)值較小的映射關系。

綜上所述，如果一個映射關系滿足（8）式，那么該映射關系對噪聲有著較好的魯棒性。

2.2 偏振方向映射方法距離保持特性的評價方法

對于要素A，使用方向距離表示其自變量之間的“距離”。如圖4所示，對于2個偏振方向LP1、LP2的方向之間的距離，以2條相交直線的銳角夾角為參數(shù)，定義2條直線的方向距離（direction distance，DD），如（10）式所示，

圖4 兩偏振方向之間位置關系Fig.4 Position relationship between two polarization directions

式中： ?θ=|θ1?θ2|；δ 為 直線LP1、LP2的夾角。方向距離為0時2直線重合，方向距離為1時2條直線垂直。

從（8）式可以看出，評價一個映射方法的距離保持特性需要確定3個要素：A）自變量之間的“距離”；B）因變量之間的“距離”；C）相關性檢驗方法。

對于要素B，因為映射結(jié)果是數(shù)值，所以因變量之間的“距離”D使用因變量之間的歐式距離表示，如（11）式所示：

式中：yi、yj為 2個因變量； ∥ ·∥2代表取二范數(shù)。

對于要素C，（8）式中關注的重點是2個變量之間的相關性，而不是線性關系，因此本文中使用更關注變量間單調(diào)關系的Spearman相關系數(shù)作為相關性度量。Spearman系數(shù)的取值范圍為?1～1之間，系數(shù)越大，則相關性越強[12]。

根據(jù)上述內(nèi)容，對傳統(tǒng)的偏振角映射方法（AoP mapping）與本文提出的基于交織序列的偏振方向映射方法（Sequence-Interleaving mapping）進行距離保持特性評價，結(jié)果如圖5所示?？梢钥闯觯疚乃岢龅挠成浞椒M足（8）式，而偏振角映射方法則不滿足，因此本文所提映射方法相較于偏振角映射方法具有較好的噪聲魯棒性。

圖5 方向距離與映射關系中因變量距離之間的相關性Fig.5 Correlation of direction distance and dependent variable distance in mapping relationship

3 實驗

本文實驗分為仿真實驗與真實場景實驗2部分。

3.1 仿真實驗

在仿真實驗中，模擬視場中存在一個表面光滑的球體，自然光光線均勻照射在球面與背景上，設定照明自然光光強，球體折射率與空氣折射率，根據(jù)菲涅耳公式可以計算得到模擬球面上每一點的偏振態(tài)；其次模擬線偏振成像過程獲取球面成像數(shù)據(jù)并添加指定信噪比（SNR）的高斯噪聲；最后利用不同的偏振方向映射方法得到噪聲污染后的偏振方向映射結(jié)果，并以未被噪聲污染的映射結(jié)果為真值計算峰值信噪比（PSNR），仿真結(jié)果如圖6、表1所示。

圖6為當原始圖像被高斯噪聲污染成不同SNR的圖像時，與對應仿真映射結(jié)果的PSNR值的關系?？梢钥闯?，當SNR<3.2時，兩種映射結(jié)果的PSNR基本一致，因為此時信號已幾乎被噪聲淹沒，因此映射方法本身對噪聲的魯棒性對映射結(jié)果的噪聲水平幾乎不會產(chǎn)生影響；當SNR>3.2時，本文所提方法映射結(jié)果的PSNR較高，對噪聲具有較好的魯棒性，平均PSNR提升為6%。表1展示了當SNR=20時的仿真結(jié)果及其真值圖像。從圖中可以看出，相較于偏振角映射方法，本文所提映射方法在某些角度位置上噪聲較小，從而使對應的峰值信噪比得到提升。

圖6 交織映射方法及傳統(tǒng)AoP映射方法下映射結(jié)果PSNR與加入不同高斯噪聲后圖像SNR之間的關系Fig.6 Relationship between SNR of image after adding different Gaussian noises and PSNR of mapping results under interleaved mapping method and conventional AoP mapping method

表1 加入噪聲SNR=20時偏振角映射方法與交織序列映射方法映射結(jié)果及其PSNRTable 1 Mapping results and PSNR values of mapping methods of polarization angle and interleaved sequence when SNR is 20

3.2 真實場景實驗

在真實場景實驗中，本文采用LUCID VISION LABS的PHX050S可見光分焦平面偏振相機，首先對場景進行成像數(shù)據(jù)采集實驗，再結(jié)合分焦平面圖像標定校正與瞬時視場誤差校正方法[13]解算得到場景的Stokes矢量，最后分別使用偏振角映射與基于交織序列的映射方法得到映射結(jié)果，如圖7所示。

可以看出，綠框中球體的實驗結(jié)果與仿真實驗一致，圖7（c）中因數(shù)值突變而出現(xiàn)較多的噪點；相較于圖7（c）中左側(cè)紅框箱子表面灰度分布雜亂程度，圖7（d）中的雜亂程度明顯減低，也即是噪聲水平明顯降低。

圖7 實驗結(jié)果Fig.7 Experimental results

在解算結(jié)果的基礎上，本文進一步采用偏振圖像融合技術(shù)中的非負矩陣分解偏振特征提取方法NMF[14]分別對3個映射方法下的實驗結(jié)果進行特征提取，每個映射方法下會提取出3個偏振特征圖像F1、F2、F3，之后使用無參考的信噪比評價模型NPPSNR[15]檢測偏振特征的噪聲水平，結(jié)果如表2所示。從表2可知，無論是從同類偏振特征的噪聲水平或者是噪聲水平的均值上比較，平均NRPSNR提升了約14%，本文所提的偏振方向映射方法對噪聲具有較好的魯棒性，在偏振特征提取時可以減少噪聲的引入，進而有利于偏振融合、探測等工作的數(shù)據(jù)處理。

表2 場景偏振特征噪聲水平Table 2 Noise measurement of polarization features of scenes

4 結(jié)論

本文針對偏振方向的映射方法中存在的可視化程度低、信息復雜度高或由于距離保持特性差造成的對噪聲魯棒性低的問題，提出了基于交織序列的具有距離保持特性的偏振方向映射方法，實驗結(jié)果表明：

1）本文提出的映射方法具有較好的可視化特性與較低的信息復雜度。所提出的偏振方向映射方法可將二維的偏振方向轉(zhuǎn)化為一維數(shù)據(jù)，相較于斯托克斯矢量表示法，可直接將偏振方向轉(zhuǎn)化為像素灰度數(shù)值，降低了信息的維度。

2）本文提出的映射方法具有更好的距離保持特性。該映射方法的映射值域與映射源之間具有良好的距離保持特性及更好的噪聲魯棒性。相較于傳統(tǒng)的偏振角映射方法，在偏振角范圍分布較廣而使用偏振角映射方法存在數(shù)據(jù)突變問題時，可以有效解決映射結(jié)果不能真實反映映射源的問題，從而減少噪聲的引入，有利于提升偏振融合、探測的效果。