曹 靜
(江蘇省南通市第二中學(xué)高中校區(qū) 226000)
在求解立體幾何題目時(shí)常構(gòu)造法向量,可以將虛擬的空間距離通過坐標(biāo)系進(jìn)行具體化處理,實(shí)現(xiàn)解題過程由抽象向具體轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)解題過程的簡單化,從而提升學(xué)生解立體幾何題目的效率,保證解題結(jié)果的準(zhǔn)確性.
例1如圖1所示,a,b為異面曲線,E,F(xiàn)為異面曲線上的任意兩點(diǎn),n為a,b公垂線的方向向量,已知四邊形ABCD是正方形,PD與面ABCD垂直,PD=AB=1,E,F(xiàn)分別是PB,PD中點(diǎn),求直線AE與CF之間的距離.
可見利用法向量求解距離問題時(shí),可以簡化解題過程,從而使得距離求解的結(jié)果更加準(zhǔn)確,因此,教師們需要落實(shí)法向量在立體幾何方面的教學(xué).
在求解某些異面直線的距離問題時(shí),我們可以利用體積的不變性,從不同角度先將體積用不同的方式進(jìn)行表達(dá),從而建立方程進(jìn)行求解.建立VA-A′C′D和VC-AA′D的體積的等量關(guān)系,再對等式進(jìn)行化簡,解出對應(yīng)的異面直線的距離.
例2 如圖3所示,若正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1,求直線DA′與AC的距離.
解析因?yàn)橹本€AC∥平面A′C′D,且DA′?平面A′CD,所以直線AC與平面A′C′D之間的距離即為DA′與AC的距離.
設(shè)點(diǎn)A′到平面A′C′D的距離為d,連接A′C,DC,
由VA-A′C′D=VC-AA′D,
函數(shù)思想在立體幾何中的應(yīng)用即利用函數(shù)構(gòu)建模式可以將立體幾何問題進(jìn)行簡化處理.通過對題目的簡化,能夠使得同學(xué)們更容易且更好地理解題目的意思,從而幫助同學(xué)們更好地解題,把握題目考查的真實(shí)意思,從而節(jié)省思考的時(shí)間,提升同學(xué)們在該方面的解題質(zhì)量.
例3如圖4所示,AB為圓O直徑,PA垂直于圓所在的平面,C為圓周上任意一點(diǎn),設(shè)∠BAC=θ,PA=AB=2r,求PB與AC之間的距離.
分析通過讀題可知,例3是求空間中的異面距離,也就是空間立體幾何的問題,無法通過構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系的方式進(jìn)行解題,從而沒有辦法采用法向量進(jìn)行求解.因此,與例3相似的這一類題型就需要通過函數(shù)思想的應(yīng)用進(jìn)行有效解題.由圖可以發(fā)現(xiàn)PB與AC之間的距離可以看作是直線PB上的點(diǎn)與直線AC之間的距離,因此可以通過構(gòu)建函數(shù)的形式進(jìn)行求解.
解析在PB上任取一點(diǎn)M,使得MD⊥AC,并相交于點(diǎn)D,得出MH⊥AB于點(diǎn)H,進(jìn)而垂直于面ABC.
因此,可以得出函數(shù)關(guān)系式:
MD2=x2+[(2r-x)sinθ]2.
對函數(shù)進(jìn)行化簡,可得出最終結(jié)果.
通過例3的求解,可見異面求距離的問題可以看作是函數(shù)中求最大值和最小值的問題,所以,對于這一類題目可以將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)進(jìn)行解答,從而幫助同學(xué)們在解題的過程中簡化整體的解題步驟.
綜上所述,在高中數(shù)學(xué)有關(guān)立體幾何問題的解答中,往往有兩種較為常見的解析方式,即利用法向量與構(gòu)建函數(shù).一般來說,法向量較為常見,但是在一些題目中,法向量的應(yīng)用會使得解題過程變得更為復(fù)雜,所以,函數(shù)的應(yīng)用就能夠解決法向量的問題.所以,教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)向同學(xué)們落實(shí)兩種解題方法的應(yīng)用,促使同學(xué)們能夠在考試時(shí)選擇最為合適的解題方法.