文/李 祥
對(duì)一元二次方程在中考?jí)狠S題中的考查主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面,一是對(duì)根與系數(shù)關(guān)系的考查,二是結(jié)合一元一次方程(不等式)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)在實(shí)際問題中的綜合運(yùn)用,對(duì)能力要求較高?,F(xiàn)結(jié)合2021 年各地中考題進(jìn)行解讀,希望能幫助同學(xué)們更好地解決一元二次方程的壓軸題。
例1(2021·四川瀘州)關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0 的兩實(shí)數(shù)根x1、x2滿足x1x2=2,則(x12+2)(x22+2)的值是( )。
A.8 B.16 C.32 D.16或40
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,解得m=2 或m=-1,再分別代入一元二次方程中,利用完全平方公式變形解題即可。
解:由一元二次方程x2+2mx+m2-m=0 知a=1,b=2m,c=m2-m,
當(dāng)m=-1時(shí),原一元二次方程為x2-2x+2=0,∵Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,原方程無解,不符合題意,故舍去。故選C。
利用韋達(dá)定理解出m的值是基本要求,而用韋達(dá)定理的前提是此一元二次方程有根,這才是考查的難點(diǎn)。因此,把m的值代入方程,驗(yàn)證根的判別式,才能真正確定符合題意的m的值。
例2(2021·重慶)重慶小面是重慶美食的名片之一,深受外地游客和本地民眾歡迎。某面館向食客推出經(jīng)典特色重慶小面,顧客可到店食用(簡(jiǎn)稱“堂食”小面),也可購買搭配佐料的袋裝生面(簡(jiǎn)稱“生食”小面)。已知3 份“堂食”小面和2 份“生食”小面的總售價(jià)為31 元,4 份“堂食”小面和1 份“生食”小面的總售價(jià)為33元。
(1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是多少元?
(2)該面館在4 月共賣出“堂食”小面4500 份,“生食”小面2500 份。為回饋廣大食客,該面館從5月1日起每份“堂食”小面的價(jià)格保持不變,每份“生食”小面的價(jià)格降低a%。統(tǒng)計(jì)5月的銷量和銷售額發(fā)現(xiàn):“堂食”小面的銷量與4 月相同,“生食”小面的銷量在4 月的基礎(chǔ)上增加a%,這兩種小面的總銷售額在4 月的基礎(chǔ)上增加a%。求a的值。
【分析】(1)設(shè)每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是x元、y元,根據(jù)題意列出二元一次方程組,解方程組即可;(2)根據(jù)題意列出一元二次方程,解方程即可。
解:(1)設(shè)每份“堂食”小面和“生食”小面的價(jià)格分別是x元、y元。根據(jù)題意列方程組,得
答:每份“堂食”小面的價(jià)格是7 元,“生食”小面的價(jià)格是5元。
(2)根據(jù)題意,得4500×7+2500(1+a%)
解得a1=0(舍去),a2=8。
答:a的值為8。
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系,列出方程,再運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解方程。本題的難點(diǎn)是面對(duì)眾多數(shù)量,如何將等量關(guān)系可視化。我們可以通過列表將數(shù)據(jù)整合,然后根據(jù)各個(gè)數(shù)量的含義,列出文字表達(dá)式,進(jìn)而列出方程。我們?cè)诮夥匠蹋ńM)時(shí)要膽大心細(xì),不要被復(fù)雜的方程(組)嚇倒,堅(jiān)定地按照解法步驟解下去。一般來講,應(yīng)用題的答案是需要驗(yàn)證的,如果都不符合題意,則要重新回到題目,看是否漏了條件。
例3(2021·浙江湖州)今年以來,我市接待的游客人數(shù)逐月增加,據(jù)統(tǒng)計(jì),游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4 萬人,五月份為5.76萬人。
(1)求四月和五月這兩個(gè)月中,該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾;
(2)若該景區(qū)僅有A、B兩個(gè)景點(diǎn),售票處出示的三種購票方式如表所示:
據(jù)預(yù)測(cè),六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2 萬、3 萬和2 萬。并且當(dāng)甲、乙兩種門票價(jià)格不變時(shí),丙種門票價(jià)格每下降1元,將有600名原計(jì)劃購買甲種門票的游客和400 名原計(jì)劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票。
①若丙種門票價(jià)格下降10 元,求景區(qū)六月份的門票總收入;
②問:將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí),景區(qū)六月份的門票總收入有最大值?最大值是多少萬元?
【分析】(1)設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中,該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x,則四月份的游客為4(1+x)萬人,五月份的游客為4(1+x)2萬人,再列方程,解方程可得答案。
(2)①先分別計(jì)算購買甲、乙、丙種門票的人數(shù),再計(jì)算門票收入即可得到答案;②設(shè)丙種門票價(jià)格降低m元,景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元,再列出W與m的關(guān)系式,利用配方法求最大利潤即可得到答案。
解:(1)設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中,該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x。
根據(jù)題意,得4(1+x)2=5.76。解這個(gè)方程,得x1=0.2,x2=-2.2(舍去)。
答:四月和五月這兩個(gè)月中,該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長20%。
(2)①丙種門票價(jià)格下降10 元,則購買丙種門票的人數(shù)增加0.6+0.4=1(萬人),購買甲種門票的人數(shù)為2-0.6=1.4(萬人),購買乙種門票的人數(shù)為3-0.4=2.6(萬人),所以門票收入為100×1.4+80×2.6+(160-10)×(2+1)=798(萬元)。
答:景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元。
②設(shè)丙種門票價(jià)格降低m元,景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元。
根據(jù)題意,得W=100(2-0.06m)+80(3-0.04m)+(160-m)(2+0.06m+0.04m),
化簡(jiǎn),得W=-0.1(m-24)2+817.6。
∵-0.1<0,∴當(dāng)m=24 時(shí),W取最大值,為817.6萬元。
答:當(dāng)丙種門票價(jià)格降低24 元時(shí),景區(qū)六月份的門票總收入有最大值,為817.6萬元。
本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用,配方法是解決利潤最大值題型的關(guān)鍵。當(dāng)然,在學(xué)習(xí)了后面的知識(shí)之后,我們還可以用新知識(shí)再次認(rèn)識(shí)這道題。