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        選學(xué)內(nèi)容也有趣

        2021-12-01 10:13:06江蘇省無錫市西漳中學(xué)九年級
        初中生世界 2021年35期
        關(guān)鍵詞:內(nèi)容思維數(shù)學(xué)

        文/江蘇省無錫市西漳中學(xué)九年級(6)班 吳 涵

        初學(xué)一元二次方程,你是否會認為一元二次方程只是復(fù)雜的計算題?這只是面對系數(shù)為具體數(shù)值的時候。當(dāng)需要我們抽象分析,尤其是在學(xué)到選學(xué)內(nèi)容——一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時,就感到束手無策。很難嗎?但是非常有趣。

        例1設(shè)m、n分別為一元二次方程x2+2x-2018=0 的兩個實數(shù)根,則m2+3m+n的值是多少?

        你是不是上來就求解這個一元二次方程,想要把兩個實數(shù)根分別代進去?我們先稍微預(yù)想下,求解不易,代入計算更繁,更何況還要考慮m、n分別如何取值。有沒有更簡便的方法呢?我們再聯(lián)想與一元二次方程的根的情況有關(guān)的知識,就是我們教材選學(xué)部分的內(nèi)容——兩根和(積)與系數(shù)的關(guān)系。

        解:∵m、n分別為一元二次方程x2+2x-2018=0的兩個實數(shù)根,

        ∴m2+2m=2018,m+n=-2,

        ∴m2+3m+n=m2+2m+(m+n)=2018+(-2)=2016。

        這里,分別運用了根的概念、兩根和(積)與系數(shù)的關(guān)系的知識,運用了消除差異、整體代入的思想。這可比單純的求解一元二次方程有趣得多,你們說呢?

        例2若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m2-3m+3=0 的兩根互為倒數(shù),求m的值。

        這里,方程的兩個根求不出來啊,如果用求根公式表達,又太過繁瑣。因此,我們需要抓住“兩根互為倒數(shù)”這一關(guān)鍵條件,聚焦思維、深入思考。這個條件的等價表達是“兩根乘積為1”,這又可以聯(lián)想到“兩根和(積)與系數(shù)的關(guān)系”。

        解:設(shè)方程兩根為x1、x2,則x1·x2=1,即m2-3m+3=1,

        解得m1=1,m2=2。

        又∵方程有兩個實數(shù)根,

        ∴b2-4ac≥0,即m2-4(m2-3m+3)≥0,

        ∴(m-2)2≤0,

        ∴m=2。

        比起例1,例2 更多了一些嚴謹。我們可能會在最后一步忽視了“根與系數(shù)關(guān)系”成立的前提——存在實數(shù)根。這就要求我們不僅要善于展開聯(lián)想,還要養(yǎng)成嚴密的思維習(xí)慣。當(dāng)我們意識到自己思維習(xí)慣上的問題的時候,是不是很有收獲感呢?

        例3已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1=0 的兩個不相等的實數(shù)根,且滿足(x1-1)(x2-1)=8k2,求k的值。

        相比前兩例,系數(shù)更復(fù)雜了,條件也更多了。給的條件讓人感到異常陌生,有的同學(xué)甚至感覺無從下手。然而,當(dāng)我們靜下心來仔細觀察、嘗試、思考之后,就會發(fā)現(xiàn),在復(fù)雜的外衣下,例3有著和例1一樣的本質(zhì)?!皟蓚€不相等的實數(shù)根”這一關(guān)鍵條件,正是本題的“題眼”——問題解決的關(guān)鍵第一步,接下來,先前不知如何運用的條件“(x1-1)(x2-1)=8k2”就有了用武之地。

        解:∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1=0的兩個不相等實數(shù)根,

        ∴x1+x2=-(3k+1),x1·x2=2k2+1。

        于是(x1-1)(x2-1)=8k2可以整理為x1·x2-(x1+x2)+1=8k2,

        即2k2+1+3k+1+1=8k2,

        ∴6k2-3k-3=0,

        ∴2k2-k-1=0,

        解得k1=-0.5,k2=1。

        是不是感覺原本復(fù)雜的題目變得簡單了,眼前頓時豁然開朗了?然而,別忘了思維的嚴密性哦。題目可不是“兩個實數(shù)根”,而是“兩個不相等的實數(shù)根”。由例2,我們知道,這里還需考慮b2-4ac>0,所以應(yīng)舍去k1=-0.5,取k2=1。至此,解答完整。

        綜上,萬變不離其宗,找到關(guān)鍵條件,展開自然的聯(lián)想,運用所學(xué)知識,逐步嘗試推理,一步一步把陌生的式子轉(zhuǎn)化為熟悉的公式,這樣的過程不論是對必學(xué)內(nèi)容還是對選學(xué)內(nèi)容都是非常有趣的思維過程。讓我們一起養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣,感受數(shù)學(xué)思維的魅力,增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣吧。

        教 師 點 評

        小作者能夠在選學(xué)內(nèi)容中享受思維的樂趣,并在其中領(lǐng)悟到“不論是對必學(xué)內(nèi)容還是對選學(xué)內(nèi)容”,其思維過程都是“萬變不離其宗”,這才是相對于知識學(xué)習(xí)更為重要的思維學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要像小作者一樣,在掌握“基礎(chǔ)知識、基本技能”的基礎(chǔ)上,領(lǐng)悟“基本思想方法”,積累“基本活動經(jīng)驗”,提高“發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決”問題的能力,學(xué)會有邏輯、嚴密地思考,形成數(shù)學(xué)思維方式,養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣,享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂趣,培育科學(xué)精神,最終越學(xué)越會學(xué)、越學(xué)越智慧。

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