楊振東 高寒萱

(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣西 桂林 541004)

高中物理教學(xué)中，習(xí)慣性地將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的x-t關(guān)系及其圖像籠統(tǒng)地稱為“位移-時(shí)間關(guān)系”與“位移-時(shí)間圖像”；而教學(xué)實(shí)踐表明，在處理部分運(yùn)動(dòng)學(xué)問題時(shí)，不得不將其解釋為“位置-時(shí)間關(guān)系”“位置-時(shí)間圖像”.如果不能對上述兩種說法的聯(lián)系與區(qū)別作出明確的辨析，教學(xué)中將會(huì)引發(fā)出諸多疑難問題.有鑒于此，我們從x-t關(guān)系的本質(zhì)內(nèi)涵出發(fā)，對其中的困惑作出澄清與討論.

1 由“位移-時(shí)間關(guān)系”引發(fā)的困惑

如圖1所示是中學(xué)階段“追及問題”典型的x-t圖像，思維縝密的學(xué)生會(huì)問：如果x-t圖是位移-時(shí)間圖像，那么縱軸坐標(biāo)表示位移.而當(dāng)t=0時(shí)x=x0，豈非意味著甲尚未開始運(yùn)動(dòng)卻已經(jīng)有了x0大小的位移？其次，t=t0時(shí)刻圖像出現(xiàn)交點(diǎn)，是表示甲、乙此刻在同一位置處相遇，還是二者在這段時(shí)間內(nèi)具有相同的位移？事實(shí)上，這些疑惑的本質(zhì)是在追問：究竟x的本質(zhì)內(nèi)涵是位置還是位移？二者是不同的物理量，為什么要?jiǎng)澤系忍?？平心而論，每一個(gè)具有理性思維的學(xué)生都難免產(chǎn)生上述疑惑，而困惑的源頭正是受到“位移-時(shí)間關(guān)系”“位移-時(shí)間圖像”等說法的干擾.

圖1 追及問題中的x-t圖像

毋庸諱言，這一問題不僅出現(xiàn)在學(xué)生中，教師群體中陷入誤區(qū)的人也并不在少數(shù).一個(gè)典型的例子是，部分教師在教學(xué)中聲稱“速度是位移x對時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)”，這也是將x與t的函數(shù)關(guān)系籠統(tǒng)視為“位移-時(shí)間關(guān)系”產(chǎn)生的典型誤解，其科學(xué)性有待商榷.

2 對x-t關(guān)系本質(zhì)內(nèi)涵的澄清

運(yùn)動(dòng)學(xué)最原始的問題是如何確定物體在空間中的位置.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，可選取該直線建立一維坐標(biāo)軸.質(zhì)點(diǎn)的位置可用坐標(biāo)x表示.若質(zhì)點(diǎn)位置發(fā)生變化，則坐標(biāo)x發(fā)生相應(yīng)變化.質(zhì)點(diǎn)位置與時(shí)間的關(guān)系可表示為x=x(t)，即x-t關(guān)系.該函數(shù)關(guān)系即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.需要強(qiáng)調(diào)的是，此處x表示質(zhì)點(diǎn)所處位置的坐標(biāo)，因此x-t本質(zhì)內(nèi)涵是表示質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)x隨時(shí)間t的變化關(guān)系.如圖2所示，t時(shí)刻物體位于x(t)位置處，經(jīng)Δt時(shí)間后質(zhì)點(diǎn)位于x(t+Δt)位置處，從x(t)處引一矢量至x(t+Δt)處，這一矢量稱為位移矢量，簡稱位移.位移可用帶正負(fù)號的量Δx=x(t+Δt)-x(t)表示.Δx為正值，位移與x軸正方向相同；Δx為負(fù)值，位移與x軸正方向相反.

圖2 一維坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的位置與位移

如果已知質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化關(guān)系v=v(t)，同時(shí)當(dāng)t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x0位置處，那么可以得到其x-t關(guān)系

對于勻變速直線運(yùn)動(dòng)而言

v(t)=v0+at

上式積分結(jié)果為

這正是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，它表明了做勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)x隨時(shí)間t的變化關(guān)系.

高中階段為簡化討論，往往選擇質(zhì)點(diǎn)的初始位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，即可使得x0=0，這樣t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)x(t)就能夠間接表示質(zhì)點(diǎn)在Δt時(shí)間間隔內(nèi)的位移Δx.即

也就是說，這種情形下同一個(gè)物理符號x“身兼二職”，既表示其本質(zhì)內(nèi)涵“質(zhì)點(diǎn)位置(坐標(biāo))”，也表示運(yùn)動(dòng)過程“質(zhì)點(diǎn)的位移”.需注意的是，當(dāng)且僅當(dāng)初始位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，即滿足t=0，x=0時(shí)，“位置-時(shí)間關(guān)系”才能簡化理解為“位移-時(shí)間關(guān)系”，因此不能毫無限制地將二者劃上等號.事實(shí)上，這一點(diǎn)在2019版普通高中教科書物理必修第一冊中已經(jīng)作出說明：物體在每一時(shí)刻的位置或每一時(shí)間間隔的位移可以用x-t圖像直觀地表示，在直角坐標(biāo)系中選時(shí)刻t為橫軸，選位置x為縱軸，其上的圖線就是位置-時(shí)間圖像.如果將物體運(yùn)動(dòng)的初始位置作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)O，則位置與位移大小相等(x=Δx)，位置-時(shí)間圖像就成為位移-時(shí)間圖像[1].

應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，采取這樣的簡化方式將“位移”這一過程量間接通過狀態(tài)函數(shù)表達(dá)出來，回避了從“位置”到“位移”的“轉(zhuǎn)譯”過程，在一定程度上使質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律表現(xiàn)得更加精煉.然而，這也不可避免地引發(fā)負(fù)面效應(yīng)——如果不加限制地將x稱為“位移”，會(huì)造成對“位置”這一本質(zhì)內(nèi)涵的遮蔽，使學(xué)生對運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律停留在朦朧的、似是而非的認(rèn)識階段.如果跳出特定的適用情形，仍然持這一認(rèn)識，將對學(xué)生處理問題造成困擾，甚至阻礙.這需要我們在教學(xué)中作出明確的辨析.

另一個(gè)需要澄清的問題是速度與位移間的關(guān)系.當(dāng)時(shí)間間隔Δt趨近于零時(shí)，位移Δx與時(shí)間Δt的比值用以精確描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢，這一極限亦可用數(shù)學(xué)中的微商表示，即

數(shù)學(xué)上將其稱為x對t的導(dǎo)數(shù).值得注意的是，式中的dx作為dt時(shí)間內(nèi)的元位移，實(shí)際是位置坐標(biāo)的微分，即

dx=x(t+dt)-x(t)

而非位移的微分.因此,嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的表述應(yīng)為“速度是質(zhì)點(diǎn)位置(坐標(biāo))x對時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果”.對于三維空間的曲線運(yùn)動(dòng)，我們在建立空間直角坐標(biāo)系后，往往說“速度矢量是位置矢量對時(shí)間求導(dǎo)的結(jié)果”，正是同樣的道理.位移本身是過程量而非狀態(tài)量，它不能作為時(shí)間的函數(shù)；在數(shù)學(xué)中亦不存在過程量的全微分，更無法對時(shí)間作微商運(yùn)算，所謂“位移對時(shí)間求導(dǎo)”的說法是不科學(xué)、也不可取的，在教學(xué)中理應(yīng)規(guī)避.

3 “位置-時(shí)間關(guān)系”的應(yīng)用優(yōu)勢

不少人認(rèn)為，將x-t關(guān)系解釋為“位移-時(shí)間關(guān)系”，也許理解上并不嚴(yán)謹(jǐn)，但處理問題時(shí)能獲得更大的便利.我們認(rèn)為，這樣的觀點(diǎn)有失偏頗.在某些情況下，持“位置-時(shí)間關(guān)系”的本質(zhì)理解，反而更能夠簡化問題求解的思路與步驟.下面以兩個(gè)實(shí)際問題為例作出探討.

【例1】物體從距地面高4.9 m處以初速度v0=9.8 m/s豎直上拋，求落地時(shí)間.

圖3 豎直上拋運(yùn)動(dòng)

方法一：對物體運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分段處理.設(shè)物體經(jīng)t1時(shí)間后到達(dá)最高點(diǎn)，則有

v0-gt1=0

最高點(diǎn)距拋出點(diǎn)的距離為

設(shè)物體從最高點(diǎn)落至地面經(jīng)歷時(shí)間為t2，

因此，落地時(shí)間為

方法二：如圖3所示，以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上建立一維坐標(biāo)系.則落地時(shí)刻坐標(biāo)為-H，因而有

第二種方法亦被稱為“坐標(biāo)法”，其本質(zhì)是將x-t函數(shù)關(guān)系視為“位置-時(shí)間關(guān)系”.相較之下，坐標(biāo)法有效回避了對勻變速直線運(yùn)動(dòng)過程的考查，而能夠?qū)ξ矬w某一時(shí)刻的位置下定論，其處理問題的思路顯然更具有簡潔性.

【例2】在距離地面H=45 m處豎直上拋一個(gè)小球，經(jīng)3 s后，在地面處以同一初速度豎直上拋一個(gè)小球.兩球在離地面高度5 m處相遇.求：(1)相遇時(shí)距第二次拋出小球經(jīng)過的時(shí)間；(2)拋出兩球的初速度.(g取10 m/s2)

典型的思路是分階段考慮第一個(gè)球前3 s的位移、第3 s的速度，再討論此后兩球的運(yùn)動(dòng)過程及相遇時(shí)各自的位移.由于運(yùn)動(dòng)過程涉及多個(gè)階段，對于大部分學(xué)生而言，理清思路存在一定困難.但如果嘗試用“位置-時(shí)間關(guān)系”的視角來處理這一問題，將能有效減少繁雜的分析和推理過程，問題也將迎刃而解.

解：取地面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向上建立一維坐標(biāo)系.設(shè)初速度為v0，待求時(shí)間為t，相遇位置處的坐標(biāo)為y=5 m，則有

解得

t=±1 s

舍去負(fù)根得

t=1 sv0=10 m/s

4 “坐標(biāo)系意識”淡化的隱憂

事實(shí)上，當(dāng)大多數(shù)人“想不到”用坐標(biāo)法來處理問題時(shí)，已經(jīng)昭示著我們在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)章節(jié)的教學(xué)中存在某種疏漏.筆者認(rèn)為，這種疏漏正是我們在處理問題時(shí)一味地用“位移”替代“位置”所致.這是因?yàn)椋瑢τ谝粋€(gè)確定的運(yùn)動(dòng)過程，當(dāng)參考系選定后，無論怎樣建立坐標(biāo)系，都不會(huì)影響到位移的大小與方向.當(dāng)我們直接通過運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解出位移大小，并結(jié)合初、末位置判斷出位移方向時(shí)，就逾越了建立坐標(biāo)系的步驟，久而久之將造成“坐標(biāo)系意識”的淡化.因此，不少人感覺到，“坐標(biāo)系”僅僅作為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)篇章開宗明義的第一講，被教師以“短、平、快”的教學(xué)方式一筆帶過，其后逐步消失在師生的視野中.

對于上述現(xiàn)象，部分教師認(rèn)為，淡化坐標(biāo)系的建立過程是消除冗余、“熟能生巧”之舉.然而我們擔(dān)憂，忽略掉必要的建系步驟會(huì)“弄巧成拙”，引起學(xué)生不良的思維“跳步”，為后續(xù)的學(xué)習(xí)埋下了隱患.這表現(xiàn)在3個(gè)方面.第一，在中學(xué)物理學(xué)習(xí)階段，常用的坐標(biāo)系有3種：直角坐標(biāo)系、斜交坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系，在不同情境中靈活選擇建系方式與坐標(biāo)原點(diǎn)，在解決問題時(shí)可以發(fā)揮獨(dú)到的作用，有效簡化運(yùn)算過程.用“位移”代替“位置”的做法，逾越了建立坐標(biāo)系的步驟，處理問題時(shí)無疑損失了一項(xiàng)重要的工具.第二，涉及多個(gè)物體或多個(gè)過程的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，只有建立好確定的坐標(biāo)系才能化繁為簡，把一個(gè)復(fù)雜的物理過程解剖為若干部分，并就各部分遵循的物理規(guī)律列出同一個(gè)坐標(biāo)系下的方程，以建立方程組進(jìn)而聯(lián)立求解未知量.不重視坐標(biāo)系的建立，建立的方程失去了統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，在聯(lián)立時(shí)容易造成混亂，無疑為正確處理問題加大了阻力.第三，只有建立坐標(biāo)系才能將矢量式轉(zhuǎn)化為分量式，用代數(shù)運(yùn)算代替矢量運(yùn)算.例如，在運(yùn)用動(dòng)量定理時(shí)，將沖力、沖量以及初、末動(dòng)量與坐標(biāo)系的正方向進(jìn)行比較，確定它們應(yīng)取的正負(fù)號，才可列出動(dòng)量定理在某一方向的分量式，將矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.若學(xué)生沒有形成“坐標(biāo)系意識”，則無法透徹理解分量式的方向性，列式時(shí)往往容易出現(xiàn)隨意添抹正、負(fù)號的現(xiàn)象.

綜上所述，我們認(rèn)為x-t關(guān)系所體現(xiàn)的“位置-時(shí)間關(guān)系”是“坐標(biāo)系意識”的反映，除運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律外，x-t關(guān)系本身還承載著更深刻的建立坐標(biāo)系、精準(zhǔn)描述物體位置的功用.因此，對“坐標(biāo)系”作用的闡述絕不該一筆帶過，反而應(yīng)在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)x-t關(guān)系的學(xué)習(xí)過程中逐步滲透、深化理解.否則學(xué)生對質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律的理解就可能是片面或畸形的，同時(shí)還會(huì)為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下隱患.這一點(diǎn)希望教學(xué)者能納入考量.