摘要：線性代數(shù)是考研數(shù)學(xué)的部分組成學(xué)科，在150分的數(shù)學(xué)試卷中占有不到三分之一的比重，但它對(duì)于得分的貢獻(xiàn)率卻是不可忽視的，相對(duì)于高數(shù)等其它學(xué)科來說，現(xiàn)代更注重考察基礎(chǔ)，它的大答題技巧有一定的規(guī)律可循，所以在影視中更容易得分。特征值與特征向量是線性代數(shù)中極為重要的知識(shí)點(diǎn)，是歷年真題考察的重點(diǎn)內(nèi)容及熱點(diǎn)考察對(duì)象，在復(fù)習(xí)時(shí)更應(yīng)仔細(xì)對(duì)待。對(duì)于這一內(nèi)容的常見題型與解題思路，以下內(nèi)容做了一個(gè)簡(jiǎn)單的探討。

關(guān)鍵詞：考研數(shù)學(xué);特征值;特征向量

特征值與特征向量的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是線性代數(shù)中乘上啟后的一章，前面是線性方程組的學(xué)習(xí)，后面是與它聯(lián)系密切的二次型的考察，因此特征值與特征向量的綜合性較強(qiáng)，其重要性不言而喻，我們一定要多加重視。此部分內(nèi)容的考察常以大題的形式出現(xiàn)，一般為兩到三小問，注重基礎(chǔ)且有一定的規(guī)律可循，我們?cè)诳佳兄幸欢ㄒ獱?zhēng)取將這一部分的分?jǐn)?shù)拿到手中。

一、特征值與特征向量的重點(diǎn)內(nèi)容

（1）概念、相關(guān)定理及計(jì)算

特征值與特征向量的概念我們可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的公式進(jìn)行簡(jiǎn)要的概括：Aa=Ma，我們假定這個(gè)A是一個(gè)不確定階數(shù)的方陣，a是一個(gè)與方陣相同階數(shù)的列向量，它不為0，M是一個(gè)任意整數(shù)，當(dāng)前面所提及到的等式成立時(shí)，我們就說，M時(shí)方陣的某一個(gè)特征值，它所對(duì)應(yīng)的特征向量就是a。這一部分的內(nèi)容有相當(dāng)多的定理，例如，對(duì)于同一特征值的多個(gè)特征向量線性相加，其結(jié)果仍可作為該特征值的特征向量。一個(gè)方陣的主對(duì)角線上的元素相加或者相乘與該矩陣的特征值、該矩陣的行列式相關(guān)，這兩個(gè)小定理常作為選擇題的形式進(jìn)行考察。不同特征值所反分別對(duì)應(yīng)的特征值是線性無關(guān)的，這是一個(gè)熱門定理，一定要牢牢記住。

（2）相似

如果兩個(gè)方陣是同階的矩陣，且有一個(gè)可逆的矩陣d，使得d逆Xd=Y，那么就說矩陣X于與Y是相似的，如果這里的X或者Y比較特殊，是對(duì)角矩陣，那么就說明另外一個(gè)矩陣與對(duì)角矩陣相似，進(jìn)而說明它可對(duì)角化。那么如何判斷一個(gè)矩陣是否可以對(duì)角化呢，它的充分必要條件就是n階矩陣有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，把特征項(xiàng)量換成特征值也是同樣適用的，或者也可以根據(jù)特征向量的個(gè)數(shù)與其重?cái)?shù)是否相等來進(jìn)行判斷。這些知識(shí)點(diǎn)都是該部分知識(shí)的重要組成部分，考生應(yīng)該熟練掌握其性質(zhì)并會(huì)進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，計(jì)算能力對(duì)于數(shù)學(xué)來說是頭等重要的，切不可眼高手低。

（3）實(shí)對(duì)稱矩陣及隱含信息

對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣的考察可以說是這部分內(nèi)容的重中之重，實(shí)對(duì)稱矩陣所包含的隱含定理可以說是相對(duì)較多，這也成為出題老師的一塊“風(fēng)水寶地”，很多同學(xué)因?yàn)閷?duì)此部分的隱含定理掌握不牢固而丟失了分?jǐn)?shù)。首先對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣來說，它必與對(duì)角矩陣相似。其次，此舉陣的的特征向量之間存在著特殊的關(guān)系，那就是對(duì)于它的不同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量之間是正交的關(guān)系，用數(shù)學(xué)公式表達(dá)就是矩陣相乘為0，通過這個(gè)關(guān)系，我們?cè)谥獣云渲幸粋€(gè)特征向量時(shí)就可以利用這種關(guān)系計(jì)算出其它的相關(guān)向量。是對(duì)稱矩陣的特征值也是有說法的，那就是都為實(shí)數(shù)。這些都是由實(shí)對(duì)稱矩陣這一特殊矩陣引申出來的相關(guān)定理，在學(xué)習(xí)時(shí)我們應(yīng)當(dāng)特別注意。

二、常見題型總結(jié)

（1）特征值與特征向量的求法

對(duì)于矩陣大體可以是考察情況分為數(shù)字型與抽象型，數(shù)字型矩陣較為直觀簡(jiǎn)單，再求特征值與特征向量是有固定的求解步驟，例如：求矩陣A= {1 1 -1，1 -2 2，-3 1 3}的特征值與特征向量。

解：首先我們要寫出該矩陣的特征多項(xiàng)式，即|xE-A|，計(jì)算出該行列式的結(jié)果公式（x-1）（x-4）（x+3），并令其為零，從而得出該矩陣的特征值為1、4、-3，接下來我們把特征值一一帶入（xE-A）=0這個(gè)公式中，就可以得出不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，x=1對(duì)應(yīng)a1=（1，1，1）的轉(zhuǎn)置，x=4對(duì)應(yīng)a2=（-4，5，17）的轉(zhuǎn)置，x=-3對(duì)應(yīng)a3=（1，-3，1）的轉(zhuǎn)置。

接下來我們列舉一個(gè)抽象型矩陣的例子：假設(shè)A為3階矩陣，其各行元素均為5，那么A一定存在特征向量？

解：根據(jù)矩陣的各行元素之和均為5，我們可以列出[a11 a12 a13，a21 a22 a23，a31 a32 a33][1 1 1]=[5 5 5]，即A[1 1 1]=[5 5 5]=5[1 1 1]，所以我們可以得出它必有特征值5和特征向量[1 1 1]。

（2）相似及相似對(duì)角化

假設(shè)3階矩陣A相似于B，且已知A的特征值為1，2，3那么行列式|2B-E|=？解：因?yàn)锳相似于B，所以A與B有相同的特征值，所以我們可以計(jì)算出2B的特征值為2，4，6，那么2B-E的特征值就是1，3，5，從而可以得出結(jié)果為1*3*5=15。

A=[1 2，0 0] B=[2 4，0 0]，A與B是否相似？這個(gè)問題中我們可以看到，A的特征值是1，0，而B的特征值是2，0，而矩陣相似的必要條件是特征值相同，所以A與B不相似。

以上只是些簡(jiǎn)單易懂的例子，遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到考研時(shí)的難度，大家要在這種提醒上深入刨析，多學(xué)多練，達(dá)到熟練掌握的程度。

（3）實(shí)對(duì)稱矩陣

假設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，r（A）=2，A2=A，則A的特征值是？

解：A2a=A（xa）=xAa=X2a（假設(shè)x是A 的任意一個(gè)特征值，a是其對(duì)應(yīng)的特征向量），所以由A2=A得出x2a=xa，（x2-x）a=0，所以A的特征值為1或者0，又因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A相似于對(duì)角矩陣，又因?yàn)樗闹葹?，所以A的特征值為1，1，0。

結(jié)語：

特征值與特征向量是線性代數(shù)的重要知識(shí)點(diǎn)，在學(xué)習(xí)時(shí)一定要注重基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，不斷進(jìn)行各種題型的訓(xùn)練，以鞏固各方面的知識(shí)點(diǎn)，并對(duì)各種題型以及各自的解題方法進(jìn)行自我總結(jié)，做到熟稔于心，這樣在考試時(shí)才能快速找到正確的解題方法，得出正確的答案。

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作者簡(jiǎn)介：郭良寶（1995.09-），漢族，海南東方人，海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生