鄭 明 亮

(無(wú)錫太湖學(xué)院 機(jī)電學(xué)院, 江蘇 無(wú)錫 214064)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理力學(xué)的一個(gè)交叉部分是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量. 當(dāng)力學(xué)系統(tǒng)Lagrange函數(shù)的Hess矩陣不滿秩時(shí)稱為奇異系統(tǒng), 它在相空間中用Hamilton形式表述, 被稱為約束Hamilton系統(tǒng)[1]. 在數(shù)學(xué)物理和工程技術(shù)等領(lǐng)域, 許多重要的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題均符合約束Hamilton系統(tǒng)模型, 如電磁場(chǎng)、 光的橫移現(xiàn)象、 量子電動(dòng)力學(xué)行為和超弦理論等. 約束Hamilton系統(tǒng)對(duì)稱性理論和守恒量的相關(guān)研究已取得較多成果. Dirac[2]首先提出了約束Hamilton系統(tǒng)的量子化問(wèn)題； Li等[3]研究了經(jīng)典水平下奇異系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量； Mei等[4]研究了奇異Lagrange系統(tǒng)Lie對(duì)稱性與守恒量； 張毅等[5]研究了奇異Hamilton系統(tǒng)Lie對(duì)稱性與守恒量; 羅紹凱[6]研究了奇異Hamilton系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性與守恒量, 并比較了Mei對(duì)稱性、 Noether對(duì)稱性和Lie對(duì)稱性的差異. 但目前奇異系統(tǒng)理論的研究大多以連續(xù)時(shí)間為基礎(chǔ), 即導(dǎo)數(shù)仍然是經(jīng)典導(dǎo)數(shù)的意義, 但在一般動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中, 時(shí)間尺度[7-8]的微積分性質(zhì)更具廣泛性, 它可將連續(xù)和離散統(tǒng)一, 揭示連續(xù)和離散的異同點(diǎn), 并能更清晰、 更準(zhǔn)確地刻畫連續(xù)與離散系統(tǒng)以及其他復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的物理本質(zhì).

目前, 關(guān)于時(shí)間尺度上動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量的研究大多數(shù)針對(duì)非奇異系統(tǒng), 文獻(xiàn)[9-11]研究了時(shí)間尺度上的變分、 Lagrange系統(tǒng)的Noether理論和Hamilton系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性； 文獻(xiàn)[12-16]研究了時(shí)間尺度上約束力學(xué)系統(tǒng)的理論框架. 由于奇異系統(tǒng)自身的內(nèi)在約束, 因此其時(shí)間尺度上的變分問(wèn)題、 對(duì)稱性和守恒量對(duì)分析力學(xué)和工程科學(xué)具有重要意義. 基于此, 本文在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上, 對(duì)存在約束的力學(xué)系統(tǒng), 采用時(shí)間不變的無(wú)限小變換, 推導(dǎo)時(shí)間尺度上奇異Hamilton系統(tǒng)的Noehter對(duì)稱性理論, 并舉例說(shuō)明結(jié)果的應(yīng)用.

1 時(shí)間尺度上約束Hamilton系統(tǒng)的正則方程

引進(jìn)時(shí)間尺度上廣義動(dòng)量和Hamilton函數(shù)為

(1)

時(shí)間尺度上非保守Hamilton量為

(2)

將式(1)代入式(2)并進(jìn)行變分運(yùn)算可得

(3)

(4)

利用邊界條件, 式(3)可化簡(jiǎn)為

φj(t,qσ,p)=0,j=1,2,…,r.

(6)

這些約束應(yīng)滿足虛位移和等時(shí)變分的限制條件:

(7)

引入Lagrange乘子λj, 先用λjΔt乘以式(7), 再在區(qū)間[a,b]上積分, 可得

(8)

將式(8)與式(5)相減可得

(9)

利用Dubois-Reymond引理[7], 可得系統(tǒng)的正則方程為

(10)

若式(6)為第二類約束[5], 則可得所有的Lagrange乘子λj=λj(t,qσ,p).

式(10)即為時(shí)間尺度上約束Hamilton系統(tǒng)的正則方程, 在形式上與時(shí)間連續(xù)完整非保守奇異系統(tǒng)是一致相似的, 表明引入時(shí)間尺度上的微積分未對(duì)正則方程的單一結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響, 僅增加了導(dǎo)數(shù)計(jì)算難度.

2 系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性

在時(shí)間尺度上, 約束Hamilotn系統(tǒng)的正則作用量為

(11)

時(shí)間不變無(wú)限小變換為

(12)

對(duì)于任意的子區(qū)間[ta,tb]?[a,b], 若式(11)在式(12)的變換下滿足

(13)

則稱這種不變性為時(shí)間尺度上約束Hamilton系統(tǒng)在時(shí)間不變的無(wú)限小變換下的Noether對(duì)稱性.

化簡(jiǎn)方程(13)得

(14)

將式(14)兩邊對(duì)ε求導(dǎo), 并令ε=0, 可得

(15)

將正則方程(10)代入式(15)可得

(16)

式(16)即為時(shí)間不變變換下時(shí)間尺度上約束Hamilton系統(tǒng)的Noether恒等式.

3 系統(tǒng)的Noether類型守恒量

若無(wú)限小生成元滿足式(16), 且同時(shí)存在規(guī)范函數(shù)G=G(t,qσ,p)滿足結(jié)構(gòu)方程

(17)

則時(shí)間尺度上約束Hamilton系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性可導(dǎo)致守恒量

IN=psξs+G=常數(shù)，

(18)

證明： 對(duì)式(18)求上三角導(dǎo)數(shù)得

(19)

利用式(18), 進(jìn)一步化簡(jiǎn)(19)可得

證畢.

4 應(yīng)用實(shí)例

例1設(shè)時(shí)間尺度、 系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)和非有勢(shì)廣義力為

(21)

在相空間中研究系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性和守恒量.

由于系統(tǒng)Lagrange函數(shù)的Hess矩陣的秩為0<2, 因此系統(tǒng)奇異. 系統(tǒng)的廣義動(dòng)量為

(22)

系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為

(23)

系統(tǒng)的內(nèi)在約束方程為

(24)

Lagrange乘子為

(25)

時(shí)間尺度上向前跳躍算子和步差算子為

σ(t)=2t,μ(t)=t.

(26)

由式(10)可得系統(tǒng)的正則方程為

(27)

根據(jù)Noether等式(16)可知, 系統(tǒng)無(wú)限小生成元ξ0,ξs,ηs滿足

(28)

利用關(guān)系式

(29)

可得相應(yīng)的無(wú)限小變換生成元

ξ0=0,ξ1=1,ξ2=1,η1=2,η2=-2.

(30)

將式(30)代入結(jié)構(gòu)方程(17)可得

(31)

將式(31)代入系統(tǒng)Noether守恒量式(18)可得

(32)

式(32)即為時(shí)間尺度上約束Hamilton系統(tǒng)的Noether類型守恒量.

綜上, 本文對(duì)時(shí)間尺度上非保守約束Hamilton力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理進(jìn)行了研究： 通過(guò)對(duì)內(nèi)在約束方程的變分處理, 建立了時(shí)間尺度上奇異系統(tǒng)的Hamilton原理和Hamilton正則方程； 考慮時(shí)間不變的群變換, 給出了時(shí)間尺度上約束Hamilton系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性的定義和Noether等式, 其為經(jīng)典力學(xué)Noether對(duì)稱性的一致延深； 通過(guò)構(gòu)造規(guī)范函數(shù), 給出并證明了時(shí)間尺度上的Noether類型守恒量, 并通過(guò)算例驗(yàn)證了本文方法和結(jié)果的有效性. 由于時(shí)間尺度的任意性, 因此該方法可進(jìn)一步應(yīng)用到時(shí)間尺度上非完整約束奇異系統(tǒng)對(duì)稱性與守恒量的研究中.