張西亞,高德東,王 珊,林光偉,高俊偉

(1.青海大學機械工程學院，西寧 810016； 2.陽光能源(青海)有限公司，西寧 810000)

0 引 言

在直拉硅單晶生長過程中，等徑階段的硅單晶是后期加工利用的有效部分。在這個階段，穩(wěn)定的直徑控制可以有效減少晶體缺陷的產生，并且可以減少后續(xù)加工的浪費[1]。目前，直拉硅單晶的直徑控制主要有PID控制和基于模型控制兩種，其中PID控制有基于稱重的PID控制方法和基于光學測徑的PID控制方法[2-3]，但是傳統(tǒng)的PID控制方法存在調節(jié)時間長、控制精度低、參數整定復雜和控制回路抗干擾能力差等問題，并且難以適應高質量、大尺寸單晶的生長要求[4]。隨著控制理論的迅速發(fā)展，許多學者提出了基于模型的控制方法應用在單晶硅生長過程控制中?；谀Ｐ偷目刂品椒刂凭雀撸梢詽M足晶體質量的低缺陷指標，是生長高質量大尺寸單晶的有效策略[5]。因此，基于模型的控制方法已成為直拉單晶硅控制方法研究的主要方向。

基于直拉法硅單晶生長的建模方法有數據驅動建模和機理建模兩類。其中，機理建模是依據單晶硅生長系統(tǒng)的內部機理建立數學模型，Zheng等[6]建立了以提拉速度和加熱器功率為輸入，晶體生長速度和晶體半徑為輸出的集中參數模型。王海龍[7]使用子空間辨識算法來獲得等徑階段的分段熱場溫度模型，并利用改良的貝葉斯概率加權多模型預測控制策略控制整個拉晶過程的熱場溫度；梁炎明等[8]利用T-S模糊模型獲得了直拉硅單晶晶體直徑、提拉速度和熱場溫度之間的集總參數數據模型，并在集總參數數據模型的基礎上，使用模型預測控制算法對晶體直徑進行控制；Rahmanpour等[9-10]根據生長界面熱量變化和彎月面幾何關系，建立了輸入為加熱器功率和提拉速度，輸出為熔體溫度和半徑的非線性狀態(tài)空間模型；Winkler等[11]基于能量守恒和流體動力學等理論，建立了Cz硅晶體生長過程的機理模型。張誠[12]在溫度串級和提拉速度控制系統(tǒng)的基礎上，利用時變參考軌跡的動態(tài)矩陣和史密斯預估器控制算法控制晶體直徑。雖然上述基于機理建模的控制方法具有較高的控制精度，但建立高精度的晶體直徑數學模型是實現(xiàn)其精確控制的前提條件[13]，且Cz硅單晶的非線性、大時滯等特性仍然是影響其控制精度的主要原因。

數據驅動建模[14-16]是根據拉晶過程中實測的輸入、輸出數據，提取出其內包含的深層次有效信息，進行參數估計、過程辨識后得到的模型。梁炎明等[17]研究了T-S模糊自組織算法，選取晶體硅生長過程中熱場溫度和加熱器功率的特定數據段，并使用所研究的算法識別出熱場溫度和加熱器功率之間的非線性模型；Shah等[18]用自回歸滑動平均數據模型描述晶體生長過程，與機理模型相比，此方法更加簡單，更適合于實際控制；嚴博濤[19]采用最小二乘法及其變形算法對單晶硅直徑與加熱器溫度之間的階躍響應模型參數進行了辨識；景坤雷[20]根據改進的蟻獅算法構建了硅單晶等徑階段熱場溫度與加熱器功率之間的非線性動態(tài)模型，該方法考慮了硅單晶生長過程的特點，建立了分段等徑階段的模型，并成功地將所建立的模型應用于熱場溫度控制。但以上基于數據驅動建模的控制方法都使用單一因素控制，忽略了晶體生長過程中其他主要參數對晶體直徑的影響，以及其他主要參數隨時間緩慢變化的問題只適用于生長過程中的特定階段。因此，本文提出一種多輸入、單輸出的BP(back propagation)神經網絡晶體直徑辨識模型，以用于直拉單晶硅生長過程中單晶硅棒直徑的預測，以期能夠為晶體直徑的控制提供一種更為精確的晶體直徑辨識模型。

1 關聯(lián)性分析及特征量化

1.1 關聯(lián)性分析

在直拉硅單晶生長過程中，單晶硅生產條件比較復雜，需要大量的傳感器來監(jiān)測單晶爐的環(huán)境參數，每次拉晶都將產生大量的生產數據,如若能夠提取出其內包含的深層次有效信息,必將大幅提高晶體直徑控制精度,進一步提高晶體質量。由于所能測量的拉晶參數較多，而以與晶體直徑相關度高的參數作為特征值必定能夠提高神經網絡的訓練效率與準確性,故先利用關聯(lián)性分析尋找最佳特征值。

采用相關分析法對晶體直徑與各拉晶參數之間的關聯(lián)性進行定量計算。相關分析是研究兩個或多個變量之間的相關程度，并用一定的函數表示這種關系的一種方法。相關變量間不存在確定性關系，一般使用相關系數R來表示兩個變量間的密切程度，R的絕對值越接近于1表示相關性越好，計算公式為：

(1)

表1 晶體直徑與各拉晶參數的相關系數Table 1 Correlation coefficient of crystal diameter and each crystal pulling parameter

由表1可以看出21個拉晶參數與晶體直徑的相關系數，線性相關按強弱程度可劃分為三級：

|R|<0.4為低度線性相關；0.4<|R|<0.7為顯著性相關；0.7<|R|<1為高度線性相關。本文為了提高神經網絡的訓練效率與準確性，將與晶體直徑呈高度線性相關的12個拉晶參數作為特征值，用以訓練神經網絡。神經網絡訓練所使用的特征值如表2所示。

表2 神經網絡訓練所使用的特征值Table 2 Feature values used in neural network training

1.2 特征值歸一化

由于12個特征值的單位不同，且數量級不統(tǒng)一，若將所采集獲得的拉晶參數樣本數據直接輸入BP預測算法會降低晶體直徑預測的準確性和算法的收斂性，直接降低算法的效率。因此，必須對所采集的樣本數據進行單位和數量級上的預處理，使12個特征值在數量級和單位上達到一致。本文采用數據歸一化進行各參量的單位和數量級的統(tǒng)一，數據歸一化是一種最簡單實用的歸一化方法，通過數據歸一化可以很好地統(tǒng)一12個參量的單位和數量級，其計算公式為：

(2)

式中：Xn為原始參量數據;Xmax、Xmin分別為原始參量數據中最大值和最小值；Pn是歸一化后的參數數值。在利用BP預測算法進行訓練和測試時，必須使用相同最大值和最小值。

2 晶體直徑預測模型

2.1 預測模型的工作流程

基于神經網絡的晶體直徑預測模型的工作流程如圖1所示，具體分為三大模塊:數據準備、網絡訓練和網絡計算。其中，數據準備主要是獲取單晶硅生產車間里的CL120-97單晶爐拉晶數據，對拉晶數據進行分析處理確定神經網絡的輸入和輸出，并將拉晶數據分為訓練數據以及驗證數據，為神經網絡的訓練做準備；網絡訓練主要是通過確定神經網絡的輸入、輸出、隱藏層數、隱藏層節(jié)點數和訓練函數，來構建神經網絡的拓撲結構，通過訓練函數調整神經網絡各層間的權系數，權系數w能夠反映訓練過程中輸入和輸出之間的映射關系，訓練后即可得到滿足精度要求的神經網絡；網絡計算主要是將拉晶數據作為訓練后神經網絡的輸入，經神經網絡計算后得到晶體直徑，實現(xiàn)對晶體直徑的預測。具體流程如圖1所示。

圖1 晶體直徑預測模型工作流程圖Fig.1 Work flow chart of crystal diameter prediction model

2.2 神經網絡搭建

本文用歸一化之后的特征值組成的12元組Xi=(X1,X2,X3,…,X11,X12)作為BP神經網絡輸入，使用晶體直徑Yi作為BP神經網絡輸出。

三層神經網絡模型能夠很好地解決一般的函數擬合和逼近問題，其網絡拓撲一般由輸入層、隱藏層和輸出層組成[21]。當神經網絡的隱藏層數為1層時，神經網絡可以逼近任意連續(xù)函數，而增加神經網絡的隱藏層個數有利于模型預測精度的提升，綜合考慮模型精度及復雜程度，選取隱藏層為2層的神經網絡。

對于隱藏層節(jié)點的選擇，假如在設計神經網絡的過程中，隱藏層神經元的節(jié)點數較多，則容易導致數據過度擬合，使模型所提取的特征值缺乏代表性，反之，如果隱藏層神經元節(jié)點數過少，則容易導致神經網絡的學習能力較弱，使模型所提取的特征值表達能力較低。因此，在本文的實驗中，借鑒其他設定經驗，同時使用主觀設定法去嘗試隱藏層的節(jié)點數，其中隱藏層節(jié)點數設置的參考公式為:

(3)

式中：m表示隱藏層的節(jié)點數；n表示輸入層中神經元的節(jié)點數；l表示輸出層中神經元的節(jié)點數；a是介于[1,10]之間的常數。

根據公式(3)可以計算出隱藏層神經元數的取值范圍為[4,13]，隱藏層神經元數目在[4,13]范圍內的平均相對誤差，可以通過逐漸增加隱藏層神經元數目并試算后得到，如圖2所示。由圖2可以看出，當隱藏層中神經元數為10時，預測值與測試值之間的平均相對誤差(ARE)最小。因此，隱藏層神經元數取10。

圖2 不同神經元數和平均相對誤差的關系Fig.2 Relationship between the number of different neurons and the average relative error

以Sigmoid型函數中的Logistic函數作為神經網絡隱藏層神經元傳遞函數，以線性傳遞函數purelin作為輸出層中神經元的傳遞函數，以Levenberg-Marquardt算法的訓練函數trainlm作為訓練函數[22]。設定神經網絡的參數后，即可得到硅單晶直徑預測模型的BP神經網絡拓撲結構，如圖3所示。

圖3 神經網絡拓撲結構Fig.3 Neural network topology diagram

2.3 BP神經網絡訓練

根據以上輸入輸出形式，將在單晶硅生產車間采集的CL120-97單晶爐拉晶數據，分為訓練數據和驗證數據。訓練數據(占總量90%以上)用于訓練神經網絡，驗證數據用于驗證訓練后的神經網絡預測模型的準確性。圖4為驗證數據經神經網絡預測模型計算后所得結果圖，結合圖4(a)和4(b)可以看出該模型對前80個直徑樣本的預測具有很高的準確性，其后樣本的直徑預測效果相對較差，200個直徑樣本預測的平均相對百分比誤差為0.140 94%。

圖4 BP神經網絡晶體直徑預測結果。(a)預測值與真實值的對比；(b)預測值與真實的平均相對誤差Fig.4 Crystal diameter prediction results of BP neural network. (a) Comparison between predictive value and actual value; (b) average relative error between predictive value and actual value

BP神經網絡算法[23]雖然具有較強的局部搜索能力，但其預測結果還取決于神經網絡的原始狀態(tài)，容易陷入局部最小值，降低對晶體直徑的預測精度。因此，本文使用擅長全局搜索的遺傳算法(genetic algorithm，GA)優(yōu)化BP神經網絡的權值和閾值[24-25]，并在眾多解空間中找到最佳的搜索空間，然后使用BP算法在此解空間中搜索最優(yōu)解，實現(xiàn)對直拉硅晶體直徑的精確預測。

3 遺傳算法優(yōu)化直徑預測模型

3.1 遺傳算法優(yōu)化預測模型的算法流程

遺傳算法是借鑒生物界優(yōu)勝劣汰、適者生存的進化規(guī)律演變而來的啟發(fā)式隨機搜索算法，具有良好的隱并行性和全局尋優(yōu)能力，其學習近似最優(yōu)解不需要誤差函數的梯度信息，它適用于求解復雜的非線性問題。遺傳算法包括編碼、適應度函數計算、種群初始化、復制、交叉和變異，本文將遺傳算法與BP神經網絡算法相結合，將BP神經網絡隱藏層節(jié)點的閾值和權值作為遺傳算法的輸入信息，并對其進行編碼生成種群，然后利用遺傳算法的復制、交叉和變異算子生成新的子代，作為BP神經網絡算法進行網絡訓練的初值，隨后用遺傳算法檢驗個體是否達到適應度標準，不達標的個體進行復制、交叉和變異操作，直到個體滿足精度要求或適應度標準為止。基于遺傳算法優(yōu)化的BP神經網絡算法流程如圖5所示。

圖5 基于遺傳算法的BP神經網絡算法流程圖Fig.5 Flow chart of BP neural network based on genetic algorithm

3.2 預測模型的算法

3.2.1 遺傳算法部分

首先將BP神經網絡的初始權值、閾值作為遺傳算法的初始群落進行初始化處理，然后進行復制、交叉、變異操作，并將種群中的新種群帶到BP神經網絡中進行迭代，尋找最佳權值和閾值。具體操作方式如下：

(1)初始化種群。將輸入層與隱藏層、隱藏層與隱藏層、隱藏層與輸出層之間的權值和閾值組成的實數串，作為遺傳算法的初始化群落。

(2)適應度函數的確定。預測晶體直徑和實際晶體直徑之間的誤差的絕對值作為個體適應度值F，則適應度的計算方式如下:

(4)

式中:F表示個體的適應度值;m表示BP神經網絡的輸出層節(jié)點數;di表示BP神經網絡第i個節(jié)點的實際晶體直徑;pi表示BP神經網絡第i個節(jié)點的預測晶體直徑。

(3)對優(yōu)秀個體進行復制。采用各個個體被選中的概率與其適應度大小成正比的選擇策略，即比例選擇方法，其選擇算子的計算方式如下:

(5)

式中:si表示選擇算子;N表示種群中的個體總數;fi=k/Fi;Fi表示個體i的適應度值。

(4)交叉。種群中的兩個個體按一定的概率進行隨機交叉，在j點的兩個個體pk和pl的交叉方式為：

(6)

式中:pkj和plj表示在j點兩個個體;α是(1,0)之間的隨機數。

(5)變異。隨機將種群中的兩個個體按照一定的概率進行變異，在j點個體pi的變異方式如下:

(7)

式中:pij表示在j點個體pi變異后所得到的個體;pmax為個體中的最大值;pmin為個體中的最小值;v為當前進化次數;vmax為最大進化次數;μ為介于(0,1)之間的隨機數。

(6)判斷新的個體是否滿足最佳個體標準。若不能滿足標準，則返回步驟(2)；若滿足，則將最優(yōu)個體分成BP神經網絡的權值和閾值，重新調整網絡參數，再次學習訓練，直到達到學習的上限或所需精度為止。

3.2.2 BP神經網絡部分

將遺傳算法部分優(yōu)化后的個體，解碼獲取權值、閾值，使用訓練數據訓練BP神經網絡，然后使用遺傳算法檢驗個體是否滿足適應度標準，不滿足標準的個體進行復制、交叉和變異等操作，隨后重新進行網絡訓練，直到個體達到適應度標準或精度要求為止。具體操作方式如下:

(1)BP神經網絡的初始化。X、Y分別為輸入、輸出層神經元的輸入和輸出向量，輸入層節(jié)點數為n；輸出層節(jié)點數為m。

(8)

式中，輸入向量代表晶體直徑與拉晶參數呈高度線性相關的特征值，輸出向量代表晶體直徑，二者都根據歸一化公式(2)進行量化處理。

(2)計算第一層隱藏層輸出。第一層隱藏層的節(jié)點個數為q，輸入層和隱藏層之間的權值和閾值分別為ωij、λa，隱藏層的輸出值為Ha，其計算公式如下：

(9)

式中:Haj為第一層隱藏層輸出;f為激勵函數。

(3)計算第二層隱藏層輸出。第二層隱藏層的節(jié)點個數為q，第一層隱藏層和第二層隱藏層之間的權值和閾值分別為ωik、λb，第二層隱藏層的輸出值為Hb，其計算方式如下：

(10)

式中:Hbk為第二層隱藏層輸出。

(4)計算輸出層輸出。隱藏層和輸出層之間的閾值和權值分別為ωil、λc，輸出層的輸出值為Hc，其計算方式如下：

(11)

式中:Hcl為輸出層輸出。

(5)計算誤差并驗證。預測輸出Hc與實際輸出Y之差的絕對值，即為誤差e，其計算方式如下：

e=|Y-Hcl|

(12)

模型達到標準的誤差最小值設為e0，如果min(e)

3.3 GA-BP神經網絡訓練

將BP神經網絡所用訓練集與測試集數據輸入到GA-BP神經網絡，進行訓練與測試。圖6為計算后所得結果圖，由圖6(a)可以看出該模型預測值與真實拉晶數據具有很高擬合性，由6(b)可以看出預測模型各點的平均相對誤差較低，其平均相對百分比誤差為0.029 42%。

圖6 GA-BP神經網絡晶體直徑預測結果。(a)預測值與真實值的對比；(b)預測值與真實值的平均相對誤差Fig.6 Crystal diameter prediction results of GA-BP neural network. (a) Comparison between predictive value and actual value; (b) average relative error between predictive value and actual value

BP神經網絡預測模型與GA-BP神經網絡預測模型的性能對比如表3所示，由表中可以看出GA-BP神經網絡的最小相對誤差、最大相對誤差、平均絕對誤差和平均相對誤差均明顯低于BP神經網絡預測模型，而代表擬合優(yōu)越度的絕對系數R2，GA-BP神經網絡預測模型的絕對系數0.876 41優(yōu)于BP神經網絡預測模型的絕對系數0.470 27，因此GA-BP神經網絡預測模型相對于BP神經網絡預測模型在晶體直徑預測方面具有更高的預測精度。

表3 兩種神經網絡預測模型性能對比Table 3 Performance comparison of two neural network prediction models

4 實驗驗證直徑預測模型

本文所用訓練數據與驗證數據均來自同一臺單晶爐的拉晶數據，此預測模型對其他同型號單晶爐預測精度如何，仍需要繼續(xù)驗證。因此，為了進一步驗證預測模型的準確性和穩(wěn)定性，隨機選擇8臺CL120-97單晶爐做作為實驗對象，將其完整拉晶數據分為八組，分別用所搭建的晶體直徑預測模型進行仿真實驗，圖7為預測值與真實值的對比圖，從圖中可以看出，該模型對這8臺單晶爐的預測性能，比用于訓練神經網絡的單晶爐的預測性能差，但仍有較高的擬合性。表4為這8臺單晶爐預測值與真實值的平均相對百分比誤差，平均值為0.095 71%，且其值均在0.05%～0.15%范圍內，表明該晶體直徑預測模型具有比較高的穩(wěn)定性和準確性，能夠用于晶體直徑預測。

圖7 預測值與真實值的對比圖Fig.7 Comparison chart of predicted value and autual value

表4 預測值與真實值的平均相對百分比誤差Table 4 Average relative percentage error between predicted value and actual value

5 結 論

本文針對傳統(tǒng)的PID控制方法存在調節(jié)時間長、控制精度低以及基于大量假設的機理模型難以實際應用的問題，以現(xiàn)有CL120-97單晶爐拉晶車間的長期、海量晶體生長數據為基礎，建立了一種基于BP神經網絡的晶體直徑預測模型，隨后用遺傳算法對預測模型進行優(yōu)化，將實際拉晶數據對此模型進行訓練，任選8臺單晶爐驗證模型，得出以下結論:

(1)所建立BP神經網絡晶體直徑預測模型對晶體直徑預測的平均相對百分比誤差為0.140 94%。

(2)預測模型使用遺傳算法優(yōu)化后，提高了對晶體直徑的預測精度，對晶體直徑預測的平均相對百分比誤差為0.029 42%。

(3)預測模型對隨機抽取的8臺單晶爐進行直徑預測,平均相對百分比誤差為0.095 71%，且其值均在0.05%～0.15%范圍內，表明該晶體直徑預測模型具有比較高的穩(wěn)定性和準確性，能夠用于晶體直徑預測。