徐齊利

（江西財經(jīng)大學 經(jīng)濟學院，江西 南昌330013）

一、引言

指數(shù)平滑預測法（Exponential Smoothing Prediction Method）是一種常用的時間序列預測技術，主要由三個預測模型組成，即一次指數(shù)平滑預測模型、二次指數(shù)平滑預測模型和三次指數(shù)平滑預測模型。在預測實踐中，指數(shù)平滑法的應用面臨兩個難題，一是平滑次數(shù)的設定（吳德會，2007）[1]，二是平滑參數(shù)的設置（吳德會，2008）[2]。

關于平滑次數(shù)的設定，目前主要憑經(jīng)驗判斷。在時間序列中，若波動占優(yōu)，則主要考慮一次指數(shù)平滑模型（王長江，2006）[3]；若趨勢占優(yōu)，則主要考慮三次指數(shù)平滑模型（馮金巧等，2007）[4]；若波動和趨勢平分秋色，則主要考慮二次指數(shù)平滑模型（Khairina et al.，2021）[5]。

關于平滑參數(shù)的設置，現(xiàn)行的方法主要有經(jīng)驗法、試算法、枚舉法。

其一，經(jīng)驗法。該方法對時間序列的波動態(tài)勢、發(fā)展趨勢做出經(jīng)驗性判斷，據(jù)此給出平滑參數(shù)設置的參考區(qū)間。（1）當時間序列呈現(xiàn)較穩(wěn)定的水平趨勢時，平滑參數(shù)可在0.05～0.20之間取值；（2）當時間序列有波動，但長期趨勢變化并不大時，平滑參數(shù)可在0.1～0.4之間取值；（3）當時間序列波動很大，長期趨勢變化幅度較大，呈現(xiàn)出上升或下降趨勢時，平滑參數(shù)可在0.6～0.8之間取值；（4）當時間序列呈明顯上升或下降趨勢時，平滑參數(shù)可在0.6～1之間取值。在預測操作上，無論靜態(tài)預測還是動態(tài)預測，通常將所給區(qū)間的中間值選為具體的平滑參數(shù)值（崔世杰等，2016；Joseph，2019；Ani，2019）[6-8]。

其二，試算法。該方法在經(jīng)驗法給出平滑參數(shù)的參考區(qū)間內，選取少量幾個（通常為3個）具體數(shù)值作為待選的平滑參數(shù)，對每個待選的平滑參數(shù)分別試算其預測的均方誤差，選擇使預測的均方誤差最小的平滑參數(shù)作為實際應用的預測參數(shù)。在預測操作上，無論靜態(tài)預測還是動態(tài)預測，通常在經(jīng)驗法所選平滑參數(shù)值的左右兩邊再各取一個數(shù)值做第二輪優(yōu)選，在左中右三個待選數(shù)值中確定一個使預測的均方誤差最小的數(shù)值。然后，再在該最優(yōu)值的左右兩邊進一步各選一個數(shù)值，做第三輪優(yōu)選。以此類推，循環(huán)下去，直至最優(yōu)的平滑參數(shù)收斂或預測的均方誤差收斂為止（高春雷等，2014；Hsieh et al.，2020；Shi et al.，2020）[9-11]。

其三，枚舉法。該方法既放棄經(jīng)驗法的先驗判斷，又借鑒試算法的基本思路，待選的平滑參數(shù)是一個區(qū)間更長的等差數(shù)列，該區(qū)間通常是0～1，對數(shù)列中的每個待選參數(shù)分別試算其預測的均方誤差，選擇使預測的均方誤差最小的平滑參數(shù)為實際應用的預測參數(shù)。在預測操作上，無論靜態(tài)預測還是動態(tài)預測，根據(jù)業(yè)務需要，若對預測精度要求并不高，但對預測速度要求很高，則通常枚舉共9個數(shù)值組成的等差數(shù)列待選；若對預測精度要求較高，且對預測速度要求也較高，則通常枚舉共19個數(shù)值組成的等差數(shù)列待選；若對預測精度要求很高，但對預測速度要求并不高，則通常枚舉共39個數(shù)值組成的等差數(shù)列待選（羅辰輝等，2018；Seong，2020；Sulandari，2021）[12-14]。

經(jīng)驗法、試算法、枚舉法各有優(yōu)劣（李守金等，2018；黎鎖平、劉坤會，2004；Gustriansyah，2019）[15-17]，但三者有四個共同的弊端。（1）弊端1：非全域取值。平滑參數(shù)的取值范圍皆被限定在0～1的區(qū)間內。學界和業(yè)界從沒有解釋過平滑參數(shù)為什么必須嚴格限定在0～1的范圍內，選擇0～1區(qū)間取值僅因當初的主觀直覺和方便操作。根據(jù)指數(shù)平滑模型的結構和性質，平滑參數(shù)完全可以在1以上取值，也完全可以在0以下取值。（2）弊端2：非連續(xù)取值。平滑參數(shù)本是一個連續(xù)型變量，三種方法均將其變更為離散型變量來操作。經(jīng)驗法表面上是給出了取值區(qū)間，但在實踐操作上則是將所給區(qū)間的中間值作為平滑參數(shù)值，試算法和枚舉法則更是直接將連續(xù)變量進行了離散化處理。（3）弊端3：非自適應取值。平滑參數(shù)皆是人為賦值，預測人員自己列示出若干備選答案，然后自己從中挑一個最合適的答案。經(jīng)驗法僅給出四個備選數(shù)值，試算法也僅是在此基礎上多增加了兩個備選數(shù)值，枚舉法無非是再多增加幾個數(shù)值待選。（4）弊端4：非最優(yōu)取值。平滑參數(shù)的取值皆不是最優(yōu)，肯定不是全局最優(yōu)，充其量是局部最優(yōu)。經(jīng)驗法、試算法、枚舉法均按照殘差平方和最小或均方誤差最小的原則確定最優(yōu)平滑參數(shù)，但其可選集皆是可行集的子集的子集，即實數(shù)集上0～1區(qū)間內的若干數(shù)值。

為克服經(jīng)驗法、試算法和枚舉法的弊端，本文提出了回歸法。不同于陳武（2016）[18]對二次指數(shù)平滑預測模型回歸系數(shù)計算方法的探討，本文將回歸所得的平滑參數(shù)估計值作為指數(shù)平滑預測法的預測參數(shù)。其理論過程為：針對平滑次數(shù)分別為一次、二次、三次的指數(shù)平滑預測模型，對應構造平滑次數(shù)分別為一次、二次、三次的指數(shù)平滑隨機過程，以此建立平滑次數(shù)分別為一次、二次、三次的指數(shù)平滑回歸模型，隨之進行平滑次數(shù)分別為一次、二次、三次的指數(shù)平滑參數(shù)估計。

在實驗模擬中，事先設定平滑參數(shù)的真實值，由一次、二次、三次指數(shù)平滑隨機過程生成對應的指數(shù)平滑時間序列，采用對應的指數(shù)平滑回歸模型對相應的指數(shù)平滑時間序列進行回歸分析。參數(shù)估計的結果說明，回歸法設定指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預測參數(shù)是可行的。假設檢驗的結果證明，回歸法設定指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預測參數(shù)是可信的。

在實證應用中，將回歸法用于GDP和稅收的年度時間序列預測，并與經(jīng)驗法、試算法和枚舉法的預測效果進行對比。在預測效果上，回歸法的預測效果確實能夠全面優(yōu)于經(jīng)驗法、試算法和枚舉法。在預測技術上，回歸法確實能夠有效規(guī)避經(jīng)驗法、試算法和枚舉法在平滑參數(shù)設置上存在的非全域取值、非連續(xù)取值、非自適應取值、非最優(yōu)取值等弊端。

二、指數(shù)平滑預測模型

（一）一次指數(shù)平滑預測模型

對時間序列｛Xt｝t=1，2，…進行一次指數(shù)平滑預測的模型為：

其中，預測參數(shù)α需事前設定?；貧w法設定該一次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預測參數(shù)的邏輯過程分為三步：第一步，根據(jù)一次指數(shù)平滑預測模型構造一次指數(shù)平滑隨機過程；第二步，基于一次指數(shù)平滑隨機過程建立一次指數(shù)平滑回歸模型；第三步，估計一次指數(shù)平滑回歸模型的回歸系數(shù)，以獲得最優(yōu)的預測參數(shù)。

（二）二次指數(shù)平滑預測模型

對時間序列｛Xt｝t=1，2，…進行二次指數(shù)平滑預測的模型為：

其中，預測參數(shù)α也需事前設定?；貧w法設定該二次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預測參數(shù)的邏輯過程分為三步：第一步，根據(jù)二次指數(shù)平滑預測模型構造二次指數(shù)平滑隨機過程；第二步，基于二次指數(shù)平滑隨機過程建立二次指數(shù)平滑回歸模型；第三步，估計二次指數(shù)平滑回歸模型的回歸系數(shù)，以獲得最優(yōu)的預測參數(shù)。

（三）三次指數(shù)平滑預測模型

對時間序列｛Xt｝t=1，2，…進行三次指數(shù)平滑預測的模型為：

其中，預測參數(shù)α仍需事前設定?；貧w法設定該三次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預測參數(shù)的邏輯過程分為三步：第一步，根據(jù)三次指數(shù)平滑預測模型構造三次指數(shù)平滑隨機過程；第二步，基于三次指數(shù)平滑隨機過程建立三次指數(shù)平滑回歸模型；第三步，估計三次指數(shù)平滑回歸模型的回歸系數(shù)，以獲得最優(yōu)的預測參數(shù)。

三、指數(shù)平滑隨機過程

（一）一次指數(shù)平滑隨機過程

回歸法設定一次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預測參數(shù)的邏輯過程的第一步：根據(jù)一次指數(shù)平滑預測模型構造一次指數(shù)平滑隨機過程。為使（1）式一次指數(shù)平滑模型的預測值X?t+1與該模型的條件期望E（Xt+1｜Xt，…，X1；α）建立起等價關系E（Xt+1｜Xt，…，X1；α）=X?t+1，特建立如下一次指數(shù)平滑隨機過程為：

如此設置一次指數(shù)平滑隨機過程，則預測參數(shù)α可以通過建立回歸模型進行估計。

（二）二次指數(shù)平滑隨機過程

回歸法設定二次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預測參數(shù)的邏輯過程的第一步：根據(jù)二次指數(shù)平滑預測模型構造二次指數(shù)平滑隨機過程。為使（2）式二次指數(shù)平滑模型的預測值1與該模型的條件期望E（Xt+1｜Xt，…，X1；α）建立起等價關系E（Xt+1｜Xt，…，X1；α）=X?t+1，特建立如下二次指數(shù)平滑隨機過程為：

如此設置二次指數(shù)平滑隨機過程，則預測參數(shù)α可以通過建立回歸模型進行估計。

（三）三次指數(shù)平滑隨機過程

回歸法設定三次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預測參數(shù)的邏輯過程的第一步：根據(jù)三次指數(shù)平滑預測模型構造三次指數(shù)平滑隨機過程。為使（3）式三次指數(shù)平滑模型的預測值X?t+1與該模型的條件期望E（Xt+1｜Xt，…，X1；α）建立起等價關系E（Xt+1｜Xt，…，X1；α）=X?t+1，特建立如下三次指數(shù)平滑隨機過程為：

如此設置三次指數(shù)平滑隨機過程，則預測參數(shù)α可以通過建立回歸模型進行估計。

四、指數(shù)平滑回歸模型

（一）一次指數(shù)平滑回歸模型

回歸法設定一次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預測參數(shù)的邏輯過程的第二步：基于一次指數(shù)平滑隨機過程建立一次指數(shù)平滑回歸模型。針對由（4）式一次指數(shù)平滑隨機過程生成的時間序列｛X1，X2，…，Xn｝，可建立如下回歸模型來估計未知參數(shù)α：

模型中，直接決定可觀測時間序列｛X1，X2，…，Xn｝基本走勢的平滑因子｛S1，S2，…，Sn｝是不可直接觀測的時間序列。

（二）二次指數(shù)平滑回歸模型

回歸法設定二次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預測參數(shù)的邏輯過程的第二步：基于二次指數(shù)平滑隨機過程建立二次指數(shù)平滑回歸模型。針對由（5）式二次指數(shù)平滑隨機過程生成的時間序列｛X1，X2，…，Xn｝，可建立如下回歸模型來估計未知參數(shù)α：

模型中，直接決定可觀測時間序列｛X1，X2，…，Xn｝基本走勢的平滑因子是不可直接觀測的時間序列。

（三）三次指數(shù)平滑回歸模型

回歸法設定三次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預測參數(shù)的邏輯過程的第二步：基于三次指數(shù)平滑隨機過程建立三次指數(shù)平滑回歸模型。針對由（6）式三次指數(shù)平滑隨機過程生成的時間序列｛X1，X2，…，Xn｝，可建立如下回歸模型來估計未知參數(shù)α：

模型中，直接決定可觀測時間序列｛X1，X2，…，Xn｝基本走勢的平滑因子是不可直接觀測的時間序列。

五、指數(shù)平滑參數(shù)估計

（一）一次指數(shù)平滑參數(shù)估計

對時間序列｛X1，X2，…，Xn｝的一次指數(shù)平滑模型（7）式、二次指數(shù)平滑模型（8）式、三次指數(shù)平滑模型（9）式，皆采取最小二乘的方法進行估計，從而得到最優(yōu)預測參數(shù)α?為：

求解非線性最小二乘，通用的迭代算法可參考Seber和Wild（2003）的研究[19]。

以往n-2期預測的均方誤差MSE是隨機擾動項εt+1～N（0，σ2）方差σ2的估計值，即：

其中，n-2維雅閣比向量J=（J3，…，Jn）T的分量Jt+1為：

與通常的非線性回歸模型不同，本文所建的回歸模型其雅閣比向量各分量之間存在遞推關系。

回歸法設定一次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預測參數(shù)的邏輯過程的第三步：估計一次指數(shù)平滑回歸模型的回歸系數(shù)，以獲得最優(yōu)的預測參數(shù)。對一次指數(shù)平滑回歸模型（7）式的參數(shù)α進行最小二乘估計，算法在迭代過程中雅閣比向量各分量之間的遞推關系為：

（二）二次指數(shù)平滑參數(shù)估計

回歸法設定二次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預測參數(shù)的邏輯過程的第三步：估計二次指數(shù)平滑回歸模型的回歸系數(shù)，以獲得最優(yōu)的預測參數(shù)。對二次指數(shù)平滑回歸模型（8）式的參數(shù)α進行最小二乘估計，算法在迭代過程中雅閣比向量各分量之間的遞推關系為：

（三）三次指數(shù)平滑參數(shù)估計

回歸法設定三次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預測參數(shù)的邏輯過程的第三步：估計三次指數(shù)平滑回歸模型的回歸系數(shù)，以獲得最優(yōu)的預測參數(shù)。對三次指數(shù)平滑回歸模型（9）式的參數(shù)α進行最小二乘估計，算法在迭代過程中雅閣比向量各分量之間的遞推關系為：

六、實驗模擬

（一）一次指數(shù)平滑時間序列

為檢驗上述回歸法設定一次指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預測參數(shù)是否可行、是否可信，需采用蒙特卡洛方法做模擬實驗。針對（4）式的一次指數(shù)平滑隨機過程，令初值X1=1 000.0，X2=1 025.0，參數(shù)α=0.10，生成兩個樣本容量n=1 000的一次指數(shù)平滑時間序列，如圖1所示。

圖1 一次指數(shù)平滑隨機過程的實現(xiàn)

對這兩個一次指數(shù)平滑時間序列，按照（7）式的一次指數(shù)平滑回歸模型，估計其參數(shù)α，結果如表1所示。

表1 一次指數(shù)平滑時間序列的估計結果

表1顯示，一次指數(shù)平滑回歸模型的估計結果與參數(shù)實際值非常接近，這從參數(shù)估計上說明，針對一次指數(shù)平滑時間序列，通過回歸的方法設定其最優(yōu)預測參數(shù)是可行的。根據(jù)表1的參數(shù)估計結果，構造原假設H0、備擇假設H1以及檢驗統(tǒng)計量τ，分別為：

其中，Sα為α的標準誤，以此考察估計結果的置信水平。表1顯示，兩序列檢驗統(tǒng)計量的取值皆充分接近0，在自由度n-3=997的t分布下以高置信水平支持原假設H0：α=0.10。這從假設檢驗上證明，針對一次指數(shù)平滑時間序列，通過回歸的方法設定其最優(yōu)預測參數(shù)是可信的。

（二）二次指數(shù)平滑時間序列

為檢驗上述回歸法設定二次指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預測參數(shù)是否可行、是否可信，也需采用蒙特卡洛方法做模擬實驗。針對（5）式的二次指數(shù)平滑隨機過程，令初值X1=1 000.0，X2=1 025.0，參數(shù)α=0.10，生成兩個樣本容量n=1 000的二次指數(shù)平滑時間序列，如圖2所示。

圖2 二次指數(shù)平滑隨機過程的實現(xiàn)

對這兩個二次指數(shù)平滑時間序列，按照（8）式的二次指數(shù)平滑回歸模型，估計其參數(shù)α，結果如表2所示。

表2 二次指數(shù)平滑時間序列的估計結果

表2顯示，二次指數(shù)平滑回歸模型的估計結果與參數(shù)實際值非常接近，這從參數(shù)估計上說明，針對二次指數(shù)平滑時間序列，通過回歸的方法設定其最優(yōu)預測參數(shù)是可行的。根據(jù)表2的參數(shù)估計結果，按照（10）式進行假設檢驗，以此考察估計結果的置信水平。表2進一步顯示，兩序列檢驗統(tǒng)計量的取值皆充分接近0，在自由度n-3=997的t分布下以高置信水平支持原假設H0：α=0.10。這從假設檢驗上證明，針對二次指數(shù)平滑時間序列，通過回歸的方法設定其最優(yōu)預測參數(shù)是可信的。

（三）三次指數(shù)平滑時間序列

為檢驗上述回歸法設定三次指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預測參數(shù)是否可行、是否可信，仍需采用蒙特卡洛方法做模擬實驗。針對（6）式的三次指數(shù)平滑隨機過程，令初值X1=1 000.0，X2=1 025.0，參數(shù)α=0.10，生成兩個樣本容量n=1 000的三次指數(shù)平滑時間序列，如圖3所示。

對這兩個三次指數(shù)平滑時間序列，按照（9）式的三次指數(shù)平滑回歸模型，估計其參數(shù)α，結果如表3所示。

表3顯示，三次指數(shù)平滑回歸模型的估計結果與參數(shù)實際值都非常接近，這從參數(shù)估計上說明，針對三次指數(shù)平滑時間序列，通過回歸的方法設定其最優(yōu)預測參數(shù)是可行的。根據(jù)表3中的參數(shù)估計結果，按照（10）式進行假設檢驗，以此考察估計結果的置信水平。表3進一步顯示，兩序列檢驗統(tǒng)計量的取值皆充分接近0，在自由度n-3=997的t分布下以高置信水平支持原假設H0：α=0.10。這從假設檢驗上證明，針對三次指數(shù)平滑時間序列，通過回歸的方法設定其最優(yōu)預測參數(shù)是可信的。

圖3 三次指數(shù)平滑隨機過程的實現(xiàn)

表3 三次指數(shù)平滑時間序列的估計結果

七、實證應用

（一）GDP預測

既然實驗模擬顯示回歸法設定指數(shù)平滑模型的預測參數(shù)是可行和可信的，那么接下來的工作是實證檢驗在預測實踐中回歸法較之已有的經(jīng)驗法、試算法、枚舉法的邊際進步性。實證目標之一是：在平滑參數(shù)的設定上，檢驗回歸法是否確實能夠有效規(guī)避經(jīng)驗法、試算法、枚舉法的四個弊端。實證目標之二是：在指數(shù)平滑的預測效果上，檢驗回歸法是否確實明顯優(yōu)于經(jīng)驗法、試算法、枚舉法。雖然前面的邏輯過程已經(jīng)在理論上做了肯定性回答，但現(xiàn)實應用效果到底如何、能否達到理論所述的預期效果，需要做出驗證性回答。俗話說“是騾子是馬，拉出來遛遛”，哲學所言“實踐是檢驗真理的唯一標準”，講的就是這個道理。

以GDP的年度預測為例，針對表4的GDP時間序列數(shù)據(jù)，分別按照（7）式的一次指數(shù)平滑回歸模型、（8）式的二次指數(shù)平滑回歸模型、（9）式的三次指數(shù)平滑回歸模型，估計各自的參數(shù)α，結果如表5所示。

表4 對GDP進行二次指數(shù)平滑和三次指數(shù)平滑的預測結果

（續(xù)表4）

表5顯示，三個模型的回歸系數(shù)皆顯著非零，說明一次平滑模型、二次平滑模型、三次平滑模型均可用于預測GDP的時間序列走勢。進一步考察預測效果，利用均方誤差MSE構造F檢驗統(tǒng)計量MSEi/MSEj～F（n-3，n-3），可從邏輯上做出判斷，利用指數(shù)平滑模型預測GDP的時間序列走勢時，一次平滑模型的預測效果可能較差，二次平滑模型和三次平滑模型的預測效果基本相當。

利用表5的參數(shù)取值，分別按照（1）式的一次指數(shù)平滑預測模型、（2）式的二次指數(shù)平滑預測模型、（3）式的三次指數(shù)平滑預測模型，對GDP的走勢進行向前一步預測，結果如表4所示。表4顯示，與回歸分析時的判斷一致，對GDP時間序列進行指數(shù)平滑預測時，一次平滑模型的預測效果較差，二次平滑模型和三次平滑模型的預測效果基本相當。

表5 對GDP進行指數(shù)平滑預測的模型參數(shù)設置

從表5的參數(shù)估計值可以看出，對GDP進行指數(shù)平滑預測，在平滑參數(shù)的設定上，回歸法確實能夠有效規(guī)避經(jīng)驗法、試算法、枚舉法的弊端。圖4的黑點顯示回歸法的預測效果，白點顯示經(jīng)驗法、試算法與枚舉法的預測效果，可以看出，對GDP進行指數(shù)平滑預測時，在預測效果的對比上，平滑參數(shù)即便在0～1區(qū)間內取值，經(jīng)驗法、試算法、枚舉法也難以達到最優(yōu)預測，而回歸法幾乎是最優(yōu)預測。

圖4 回歸法與經(jīng)驗法、試算法、枚舉法對GDP進行三次指數(shù)平滑預測的效果比較

（二）稅收預測

以稅收的年度預測為例，針對表6的稅收時間序列數(shù)據(jù)，分別按照（7）式的一次指數(shù)平滑回歸模型、（8）式的二次指數(shù)平滑回歸模型、（9）式的三次指數(shù)平滑回歸模型，估計各自的參數(shù)α，結果如表7所示。

表7顯示，三個模型的回歸系數(shù)皆顯著非零，說明一次平滑模型、二次平滑模型、三次平滑模型均可用于預測稅收的時間序列走勢。進一步考察預測效果，利用均方誤差MSE，構造F檢驗統(tǒng)計量MSEi/MSEj～F（n-3，n-3），可從邏輯上做出判斷，利用指數(shù)平滑模型用于預測稅收的時間序列走勢時，一次平滑模型的預測效果可能較差，二次平滑模型和三次平滑模型的預測效果基本相當。

表6 對稅收進行二次指數(shù)平滑和三次指數(shù)平滑的預測結果

（續(xù)表6）

表7 對稅收進行指數(shù)平滑預測的模型參數(shù)設置

利用表7的參數(shù)取值，分別按照（1）式的一次指數(shù)平滑預測模型、（2）式的二次指數(shù)平滑預測模型、（3）式的三次指數(shù)平滑預測模型，對稅收的走勢進行向前一步預測，結果如表6所示。表6顯示，與回歸分析時的判斷一致，在對稅收時間序列進行指數(shù)平滑預測時，一次平滑模型的預測效果較差，二次平滑模型和三次平滑模型的預測效果基本相當。

圖5 回歸法與經(jīng)驗法、試算法、枚舉法對稅收進行三次指數(shù)平滑預測的效果比較

從表7的參數(shù)估計值可以看出，對稅收進行指數(shù)平滑預測，在平滑參數(shù)的設定上，回歸法確實能夠有效規(guī)避經(jīng)驗法、試算法、枚舉法的弊端。圖5的黑點顯示回歸法的預測效果，白點顯示經(jīng)驗法、試算法與枚舉法的預測效果，可以看出，對稅收進行指數(shù)平滑預測時，在預測效果的對比上，平滑參數(shù)即便在0～1區(qū)間內取值，經(jīng)驗法、試算法、枚舉法也難以達到最優(yōu)預測，而回歸法幾乎是最優(yōu)預測。

八、結論

對于指數(shù)平滑預測模型的參數(shù)設置方法，為克服現(xiàn)行的經(jīng)驗法、試算法和枚舉法的弊端，本文提出了回歸法。將回歸所得的平滑參數(shù)估計值作為指數(shù)平滑預測法的預測參數(shù)，其理論過程為：針對一次指數(shù)平滑預測模型、二次指數(shù)平滑預測模型、三次指數(shù)平滑預測模型，對應構造一次指數(shù)平滑隨機過程、二次指數(shù)平滑隨機過程、三次指數(shù)平滑隨機過程，以此建立一次指數(shù)平滑回歸模型、二次指數(shù)平滑回歸模型、三次指數(shù)平滑回歸模型，隨之進行一次指數(shù)平滑參數(shù)估計、二次指數(shù)平滑參數(shù)估計、三次指數(shù)平滑參數(shù)估計。

實驗模擬中，事先給定平滑參數(shù)真實值，由一次、二次、三次指數(shù)平滑隨機過程的一次、二次、三次指數(shù)平滑時間序列進行回歸分析。參數(shù)估計結果皆說明，回歸法設定指數(shù)平滑模型對應生成一次、二次、三次指數(shù)平滑時間序列，利用一次、二次、三次指數(shù)平滑回歸模型估計相應的最優(yōu)預測參數(shù)是可行的。假設檢驗結果證明，回歸法設定指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預測參數(shù)是可信的。

實證應用中，將回歸法用于GDP和稅收年度時間序列的一次、二次、三次指數(shù)平滑預測，并與經(jīng)驗法、試算法和枚舉法的預測效果進行對比。結果顯示，在預測效果上，回歸法的預測效果確實能夠全面優(yōu)于經(jīng)驗法、試算法和枚舉法。在預測技術上，回歸法確實能夠有效規(guī)避經(jīng)驗法、試算法和枚舉法在平滑參數(shù)設置上存在的非全域取值、非連續(xù)取值、非自適應取值、非最優(yōu)取值等弊端。