◎盧秋丹 (福建省閩清縣第一中學,福建 福州 350800)
數(shù)學學習過程中培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力,有助于發(fā)展學生的抽象思維,提高學生數(shù)學能力.數(shù)學教學過程中教師不重視學生抽象能力的培養(yǎng),會影響到學生數(shù)學學習能力的提升.因此,有必要調(diào)查數(shù)學教學中學生抽象能力培養(yǎng)的現(xiàn)狀,給出針對性的完善措施.
通過收集相關(guān)文獻資源,我們發(fā)現(xiàn)學生數(shù)學抽象能力培養(yǎng)存在的問題,具體如下:
大部分學生數(shù)學抽象能力水平不高,其中男生與女生的數(shù)學抽象素養(yǎng)水平存在較大差異,抽象素養(yǎng)對平時成績影響不明顯;部分學生雖然熟練掌握數(shù)學概念、公式及定理,但實際運用能力較差;學生解答實際問題的情況不理想,一些學生是因為無法理解題干中給出的新概念,另一些則是問題貼近生活,學生無法將數(shù)學知識運用到問題解決過程中;整體而言,學生基礎知識掌握程度較好,但在情境與問題、交流與反思方面掌握不好.
數(shù)學學科本身具有探索性,很多數(shù)學概念、定理及公式就是通過堅持不懈的探索與研究發(fā)現(xiàn)的.在課堂教學過程中,執(zhí)教者可以準備一些實例與圖片,創(chuàng)設適當?shù)膯栴}情境,與學生一起探索相關(guān)知識的形成過程,讓他們感受數(shù)學學習的樂趣,繼而通過猜想、實踐及對比等過程,實現(xiàn)提高學生抽象能力的目的.
如,學習函數(shù)的零點存在定理.授課前教師給出一張圖片:某地一天之內(nèi)氣溫變化(最低溫度-2℃,最高溫度8℃),讓學生感受函數(shù)的零點附近函數(shù)圖像的變化,引起學生對函數(shù)圖像“穿過”x軸的現(xiàn)象進行思考,激發(fā)學生對本節(jié)課的學習興趣.教師設計好相應的問題,并在教學過程中提出.
問題1:觀察溫度曲線,溫度達到0℃的時刻有哪些?
問題2:請同學們嘗試用數(shù)學語言描述問題1.
問題3:溫度達到0℃需要滿足什么條件?如果0點時溫度為1℃,23點時溫度為2℃,一天中溫度一定都在0℃之上嗎?這兩個問題可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律,請利用數(shù)學語言描述這種規(guī)律.
問題4:有且僅有一個時刻溫度為0℃需滿足什么樣的條件?
問題5:通過實踐操作,研究f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x圖像,指出函數(shù)零點所在的大致區(qū)間.
通過設計上述幾個問題,讓學生認真觀察圖像,主動思考.教師引導學生在實際情境中抽象出函數(shù)零點存在的問題,不斷地總結(jié)、概況、提升,實現(xiàn)用數(shù)學語言表達的目的.通過教師引導學生積極思考,實現(xiàn)提高學生的抽象能力的目的.
開展數(shù)學概念教學時,要選擇學生思維最近發(fā)展區(qū)域的案例,將出現(xiàn)的數(shù)學概念具體化,讓學生積累從具體到抽象的基本活動經(jīng)驗.高中數(shù)學學習過程中,數(shù)學概念的抽象度更高,學生學習時很難理解一些抽象的數(shù)學符號.教學過程中教師要側(cè)重講解數(shù)學概念,解決相關(guān)問題時借助一些模型,或是聯(lián)系學習過的相關(guān)知識,加深學生對數(shù)學問題的理解.如,在教授任意角三角函數(shù)概念形成的過程中,教師就可以借助學生已有的學習經(jīng)驗促進他們抽象素養(yǎng)的提升.主要經(jīng)過以下幾個環(huán)節(jié):
環(huán)節(jié)1:首先,教師可以讓學生回顧初中學習的三角函數(shù)概念.初中是在直角三角形中定義三角函數(shù),得到的是銳角三角函數(shù).利用邊長的“比值”來刻畫三角函數(shù).
環(huán)節(jié)2:教師繼續(xù)引導學生用動態(tài)變化的觀點來看待三角函數(shù)問題,即讓直角三角形的一個銳角從0°到90°開始變化.同學們發(fā)現(xiàn)隨著角度變化,對應的邊的“比值”也在變化,即三角函數(shù)值在變化.
環(huán)節(jié)3:教師追問:同學們可以用什么數(shù)學模型來刻畫這種動態(tài)變化?
環(huán)節(jié)4:大部分學生能想到用函數(shù)的觀點來刻畫“比值”隨著角度變化而變化的趨勢.
環(huán)節(jié)5:教師引導學生把直角三角形抽象到直角坐標系中,引入單位圓.對于每一個任意角,其終邊與單位圓交點的坐標都唯一確定.于是可以利用角的終邊與單位圓的交點坐標定義任意角的三角函數(shù).
經(jīng)歷上述抽象出任意角三角函數(shù)概念的過程,學生積累了從具體到抽象的基本活動經(jīng)驗,以后可以用類似方法解決問題,促使學生養(yǎng)成良好的思維習慣.同時把握三角函數(shù)變化的本質(zhì),也為今后學習三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)打好基礎.
在開展高中數(shù)學教學活動時,想要進一步培養(yǎng)和提高學生自身數(shù)學建模的思想和能力,首先需要對建模相關(guān)的內(nèi)容進行科學整合,有機處理.在整個學習過程中,需要結(jié)合學生當前心理發(fā)展、性格特點、個人能力、知識儲備等因素進行綜合統(tǒng)籌,同時針對當前教學內(nèi)容和計劃等,進行科學提取,個性化設計,保證建模教學的思想、方法等符合學生學習需求,能幫助學生快速提升學習興趣和注意力.通過自身不斷努力,提升建模思想和能力,并且將其應用于日常生活和學習中,綜合使用.在教學過程中,教師應該堅持以下幾點:首先,在設置模型背景時,需要根據(jù)學生的興趣、知識組成以及當前教學內(nèi)容選擇學生熟悉且感興趣的話題和知識點作為背景引入,吸引學生注意力,從而幫助學生積極主動參與其中,感受建模的樂趣以及對學習的幫助.其次,在建模內(nèi)容選擇上,需要對知識點的難易程度進行合理把控,保證所有內(nèi)容和教學需求與學生當前能力相符合,以此為基礎,引導學生利用建模思想解決數(shù)學問題.最后,在明確教學目標的同時,提升教學效率.
比如在學習“函數(shù)模型和應用”這一知識點時,可以根據(jù)教學目標、課程特點以及學生對函數(shù)知識的掌握情況,引用現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象進行引入,再聯(lián)系教材內(nèi)容引導學生建立數(shù)學模型進行探究,結(jié)合實際問題,幫助學生對函數(shù)模型和函數(shù)知識的理解更全面、深刻.
例1調(diào)查研究顯示,2010年、2015年、2020年某種能源的產(chǎn)量分別為8.6、10.4、12.9億噸.有專家預測該能源生產(chǎn)總量超過20億噸需要十年時間,也就是2030突破20億噸.請構(gòu)建模型判斷專家預測是否正確.
分析隨著時間變化能源生產(chǎn)總量發(fā)生變化,搭建函數(shù)模型解決.
解:已知三組數(shù)據(jù)(2010,8.6)、(2015,10.4)、(2020,12.9)變換為(0,8.6)(5,10.4)、(10,12.9),通過觀察坐標中點的位置判斷不能用一次函數(shù)擬合數(shù)據(jù),選擇二次函數(shù).設自變量x為變換后的年份取值,因變量y為能源生產(chǎn)總量,依據(jù)二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,模型求解:
構(gòu)建二次函數(shù)模型:y=0.014x2+0.29x+8.6,專家預測是否合理,直接將2030轉(zhuǎn)為自變量x=20得到該能源生產(chǎn)總量y=20億噸,表明專家預測結(jié)果正確.
數(shù)學知識具有逐級抽象的特點,較高一級抽象建立在較低一級抽象的基礎上.數(shù)學學習及教學過程中需要注意逐級抽象性的特點,也就是重視各知識點之間的聯(lián)系.如果學生沒有掌握好前面的知識點,也就無法掌握建立在這些知識點上的概念.新概念學習時,教師要帶領學生復習之前的概念,奠定抽象新概念的基礎.從而有效培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力.
數(shù)學抽象能力的提升不僅僅通過課堂上的教學來實現(xiàn),還需要學生課后的鞏固提升.學生通過回顧學過的數(shù)學概念、推導方法等,梳理各板塊知識之間的聯(lián)系.具體可以通過以下方式總結(jié):1.利用思維導圖畫出每一章節(jié)知識點的聯(lián)系,鍛煉學生的邏輯思維能力.2.梳理每個單元的知識點,加深理解并熟練掌握.3.整理錯題,學生將自己錯誤的解題思路和方法也摘抄下來,同時留出空白區(qū)域,用于書寫正確解法,學生在每次查看錯題時都能回想起當初錯誤的原因以及如何才能正確解答,可謂記憶深刻.
例2已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,則實數(shù)a的值是( ).
A.4或-3 B.-4或3 C.-3 D.4
筆者發(fā)現(xiàn)相當一部分學生選擇A,錯誤的原因在于學生對函數(shù)極值的概念理解存在誤區(qū).一些同學認為求某點處極值就是令該點處的導數(shù)等于0,求解即可.忽視了導數(shù)為0的點不一定是極值點,在某點處導數(shù)為0是在該點處取得極值的必要不充分條件,還需要考慮該點處附近的單調(diào)性.引導學生認清自己真正的錯因,重新構(gòu)建函數(shù)極值的概念體系,促進抽象素養(yǎng)的提升.
總之,高中數(shù)學課堂培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力,需要教師選擇合適的教學方法,創(chuàng)設適當?shù)膯栴}情境,搭建合適的數(shù)學模型,關(guān)注新概念抽象過程;學生則需要掌握正確的學習方法,參與概念的探索過程,及時整理學過的知識.兩者之間相互配合,將數(shù)學知識抽象化理解變得具象化,增加數(shù)學課堂的趣味性,順利實現(xiàn)培養(yǎng)與提高學生數(shù)學抽象能力的目的.