◎陳金櫻 (福建省閩清教師進(jìn)修學(xué)校，福建 福州 350800)

平時(shí)學(xué)習(xí)中多數(shù)學(xué)生缺乏圖形意識(shí)，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題用算術(shù)或代數(shù)方法解決之后，更是“得意忘形”，不會(huì)思考問(wèn)題是否蘊(yùn)含圖形背景，能否用圖形另辟蹊徑.因此在解決問(wèn)題之后，教師應(yīng)提醒學(xué)生不要“得意忘形”，還要“由數(shù)思形”，能根據(jù)數(shù)式結(jié)構(gòu)特征，類比聯(lián)想相關(guān)基本圖形，構(gòu)建圖形再探解題思路.

一、教學(xué)案例

1.問(wèn)題再現(xiàn)

籠子里有若干只雞和兔.從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳.雞和兔各有幾只？

2.問(wèn)題探究

師：“雞兔同籠”問(wèn)題我們已用算術(shù)方法解決過(guò)，能否用圖形的方法進(jìn)行研究呢？

生：哪有圖形啊.

師：怎樣計(jì)算雞、兔的總腳數(shù)？

生：雞的只數(shù)×2+兔的只數(shù)×4.

師：請(qǐng)大家考慮能否用圖形表示“雞的只數(shù)×2+兔的只數(shù)×4”？

生：(一片茫然，把求助的目光投向教師).

師：“雞的只數(shù)×2”表示兩個(gè)數(shù)相乘，在熟悉的圖形中有沒(méi)有哪個(gè)與兩個(gè)數(shù)相乘有關(guān)？

生1：長(zhǎng)方形面積等于長(zhǎng)×寬.

師：真棒！通過(guò)類比，聯(lián)想到長(zhǎng)方形，請(qǐng)大家畫出相關(guān)的長(zhǎng)方形.

生：如圖1.

師：為了更好地理解題意，請(qǐng)同學(xué)們把相關(guān)量標(biāo)注在圖形中.

生1：如圖2.

師：如何體現(xiàn)雞、兔共35只？

生2：把兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相加.

師：怎樣相加，圖形要怎樣放置？

生2：把兩個(gè)長(zhǎng)方形拼接在一起，如圖3.

師：好漂亮的圖形！請(qǐng)同學(xué)們觀察圖形，看看能發(fā)現(xiàn)什么？為便于表述老師把長(zhǎng)方形頂點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖4.

生3：發(fā)現(xiàn)DG=CG-CD=4-2=2.

師：還發(fā)現(xiàn)了什么？有沒(méi)有哪些圖形面積是可求的？

生4：BE=35，AB=2,以BE，AB為邊的長(zhǎng)方形面積可求.

師：由此還可求什么圖形的面積？

生5：如圖5，長(zhǎng)方形ABEH的面積為35×2=70，從而長(zhǎng)方形DHFG面積=長(zhǎng)方形ABCD面積+長(zhǎng)方形CEFG面積-長(zhǎng)方形ABEH面積=94-70=24.

師：求兔的只數(shù)就是求CE或GF.

生5：GF=長(zhǎng)方形DHFG面積÷DG=24÷2=12,即CE=12,所以BC=23,雞、兔分別為23只和12只.

生：(掌聲雷動(dòng)).

生6：如圖6，BE=35，EF=4，長(zhǎng)方形BEFH的面積為35×4=140，從而長(zhǎng)方形ADGH面積=長(zhǎng)方形BEFH面積-(長(zhǎng)方形ABCD的面積+長(zhǎng)方形CEFG面積)=140-94=46，AD=長(zhǎng)方形ADGH面積÷DG=46÷2=23，即BC=23，所以CE=12，雞、兔分別為23只和12只.

師：同學(xué)們太了不起了，通過(guò)畫圖“看”出結(jié)果來(lái)！數(shù)學(xué)家認(rèn)為：“數(shù)學(xué)結(jié)論是看出來(lái)的，而不是算出來(lái)的”，今天你們都是數(shù)學(xué)家！

生：(激情綻放).

師：能否用面積表示雞、兔的只數(shù)？雞的只數(shù)=雞的只數(shù)×1，兔的只數(shù)=兔的只數(shù)×1.

生7：雞的只數(shù)=雞的只數(shù)×1，兔的只數(shù)=兔的只數(shù)×1，根據(jù)算式長(zhǎng)方形的寬為1，如圖7，H、M分別為AB、CD中點(diǎn)，則長(zhǎng)方形BCMH面積等于雞的只數(shù)，長(zhǎng)方形CENM和長(zhǎng)方形MNKD的面積都等于兔的只數(shù).

師：能求出長(zhǎng)方形BCMH和長(zhǎng)方形MNKD的面積嗎？

生7(經(jīng)過(guò)3分鐘考慮)：長(zhǎng)方形BCMH面積為長(zhǎng)方形BCDA面積的一半，長(zhǎng)方形CEKD面積為長(zhǎng)方形CEFG面積的一半，所以長(zhǎng)方形BCMH的面積+長(zhǎng)方形CEKD的面積=94÷2=47,從而長(zhǎng)方形MNKD面積=47-長(zhǎng)方形BENH面積=47-35×1=12，長(zhǎng)方形BCMH面積=長(zhǎng)方形BENH面積-長(zhǎng)方形CENM面積=35-12=23,所以兔的只數(shù)為12，雞的只數(shù)為23.

師：生7你是這節(jié)課的首席數(shù)學(xué)家！

3.模型揭示

師：大家用算術(shù)方法解決“雞兔同籠”時(shí)是假設(shè)籠子里都是雞或都是兔，其幾何模型就是圖5、圖6.古人假設(shè)讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳的方法的幾何模型就是圖7.圖形讓抽象復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀明了.

生：圖形真神奇！

4.變式鞏固

王老師購(gòu)買5本相同的文藝書和3本相同的科技書，已知購(gòu)買文藝書比科技書多花了32元，文藝書的單價(jià)比科技書貴4元.文藝書和科技書的單價(jià)各是多少元？

教師引導(dǎo)學(xué)生探究如下：

書的費(fèi)用=書的本數(shù)×?xí)膯蝺r(jià)，由此聯(lián)想長(zhǎng)方形.如圖8，長(zhǎng)方形ABCD，AB=5,AB表示文藝書的本數(shù)，AD表示文藝書的單價(jià).由于文藝書費(fèi)用高于科技書，因此在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)作長(zhǎng)方形EBFH，使EB=3，EB表示科技書的本數(shù)，BF表示科技書的單價(jià).可知FC=4，AE=2，可求長(zhǎng)方形HFCG面積為3×4=12.所以長(zhǎng)方形AEGD面積=(長(zhǎng)方形ABCD面積-長(zhǎng)方形EBFH面積)-長(zhǎng)方形HFCG面積=32-3×4=20，AD=長(zhǎng)方形AEGD面積÷AE=20÷2=10,所以文藝書單價(jià)為10元，科技書單價(jià)為6元.

5.歸納總結(jié)

師生共同回顧本課學(xué)習(xí)過(guò)程.

(在掌聲、笑聲和下課鈴聲中師生互道“再見(jiàn)”.這種“再見(jiàn)”不僅是禮儀用詞更是學(xué)生心語(yǔ)，是孩子對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的殷切期盼.)

二、教學(xué)感悟

教學(xué)中要求學(xué)生解決問(wèn)題后不要“得意忘形”，還要“由數(shù)思形”，不斷提高圖形意識(shí)，能由數(shù)式聯(lián)想相關(guān)的基本圖形，掌握?qǐng)D形建構(gòu)的基本經(jīng)驗(yàn)和路徑.

1.提高圖形意識(shí)

平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)多數(shù)學(xué)生缺乏圖形意識(shí).有些學(xué)生遇到問(wèn)題無(wú)從下手，苦咬筆頭，思路茫然，就是不會(huì)嘗試畫圖思考，有些學(xué)生是當(dāng)教師要求畫圖時(shí)才畫圖.教師要利用教材，挖掘典型的幾何直觀運(yùn)用的素材，通過(guò)不同解決方法的對(duì)比，使學(xué)生真切體會(huì)到運(yùn)用圖形對(duì)理解概念、尋求解題思路所具有的優(yōu)越性，讓學(xué)生從小養(yǎng)成心中有圖、識(shí)圖用圖、畫圖構(gòu)圖的好習(xí)慣.平時(shí)教學(xué)中要求學(xué)生要注意思考：能否利用圖形理解數(shù)學(xué)本質(zhì)？能否利用圖形描述和分析問(wèn)題？能否利用圖形記憶所得結(jié)果？能否利用圖形梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)？能否利用圖形進(jìn)行歸納總結(jié)？特別是當(dāng)問(wèn)題解決之后，教師提醒學(xué)生不要“得意忘形”，要思考能否“由數(shù)思形”，構(gòu)建圖形尋求解題思路.總之，圖形思想要貫徹于整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，不斷提高識(shí)圖、用圖、畫圖、構(gòu)圖的意識(shí).

2.聯(lián)想基本圖形

圖形建構(gòu)具有較大的挑戰(zhàn)性，它是建立在基本圖形的基礎(chǔ)上.“由數(shù)思形”即根據(jù)數(shù)式結(jié)構(gòu)特征，類比聯(lián)想相關(guān)基本圖形，它是圖形建構(gòu)的關(guān)鍵.在用圖形解決“雞兔同籠”問(wèn)題后，為避免“只見(jiàn)樹木不見(jiàn)森林”，要進(jìn)一步概括“由數(shù)思形”的問(wèn)題情境.一般情況下，在小學(xué)階段涉及面積的問(wèn)題，可聯(lián)想平面幾何圖形，如平行四邊形(特別是長(zhǎng)方形和正方形)、三角形(特別是直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形)、梯形、圓等基本平面幾何圖形；涉及體積的問(wèn)題，可聯(lián)想立體幾何圖形，如長(zhǎng)方體(含正方體)、圓柱、圓錐、球等基本立體幾何圖形；涉及數(shù)的運(yùn)算或數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，可聯(lián)想線段圖、方格圖、點(diǎn)子圖、數(shù)軸等圖形；涉及二組及以上的數(shù)量，尋找數(shù)量間關(guān)系的問(wèn)題，可聯(lián)想表格；涉及描述數(shù)據(jù)分布或變化情況的問(wèn)題，可聯(lián)想統(tǒng)計(jì)圖，如條形圖、扇形圖、折線圖等基本統(tǒng)計(jì)圖；涉及兩組變量成正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的問(wèn)題，可聯(lián)想正比例或反比例關(guān)系圖像；涉及內(nèi)容編排或內(nèi)容結(jié)構(gòu)的問(wèn)題，可聯(lián)想流程圖或結(jié)構(gòu)圖；涉及逐級(jí)展開的問(wèn)題，可聯(lián)想樹狀圖；涉及二元一次方程的問(wèn)題，可聯(lián)想用□，△，○等符號(hào)表示未知量.

3.總結(jié)構(gòu)圖經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)教育家、新課標(biāo)主編史寧中教授認(rèn)為：“經(jīng)歷過(guò)程之后，要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，積累思維的經(jīng)驗(yàn)和做事的經(jīng)驗(yàn).僅僅經(jīng)歷過(guò)程是不行的，還要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想”.在用“由數(shù)思形”解決“雞兔同籠”問(wèn)題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)其思維歷程：①根據(jù)題意列出雞、兔總的腳數(shù)“雞的只數(shù)×2+兔的只數(shù)×4”.②根據(jù)式子“雞的只數(shù)×2”“兔的只數(shù)×4”“雞的只數(shù)=雞的只數(shù)×1”“兔的只數(shù)=兔的只數(shù)×1”結(jié)構(gòu)特征，類比聯(lián)想到長(zhǎng)方形，即“由數(shù)思形”.③為體現(xiàn)“雞、兔共35只”把兩個(gè)長(zhǎng)方形拼在一起，構(gòu)建出圖形.④在構(gòu)建的圖形中發(fā)現(xiàn)相關(guān)長(zhǎng)方形的面積和邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出雞、兔的只數(shù)，即“以形助數(shù)”.從中讓學(xué)生感悟“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)學(xué)家希爾伯特的名言“算術(shù)符號(hào)是文字化的圖形，而幾何圖形則是圖像化的公式，沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家能缺少這些圖像化的公式”.由“雞兔同籠”教學(xué)案例，總結(jié)出一般數(shù)量問(wèn)題“由數(shù)思形”構(gòu)建圖形解決的經(jīng)驗(yàn)路徑：