◎秦貴平 (湖北省長陽土家族自治縣龍舟坪學區(qū)，湖北 宜昌 443501)

為進一步體現(xiàn)學業(yè)水平考試的選拔功能，壓軸綜合性試題必不可少，這類題往往綜合性極強，考生不容易找到解題的突破口，無從下手，導致得分率低.解決這一類問題，往往需要學生有較強的綜合能力和數(shù)學素養(yǎng)，找準“題眼”和切入點是解題的關鍵.

1.試題呈現(xiàn)

(2017年湖北襄陽市中考試題)如圖1，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，點A(10,0)，拋物線y=ax2+bx+4過B，C兩點，且與x軸的一個交點為D(-2,0)，點P是線段CB上的動點，設CP=t(0

(1)請直接寫出B，C兩點的坐標及拋物線的解析式；

(2)過點P作PE⊥BC,交拋線于點E,連接BE,當t為何值時∠PBE=∠OCD？

(3)點Q是x軸上的動點，過點P作PM∥BQ，交CQ于點M，作PN∥CQ，交BQ于點N.當四邊形PMQN為正方形時，請求出t的值.

2.試題分析

問題(1)(2)學生一般沒有思維障礙，能夠順利解答，本文不再贅述.問題(3)以二次函數(shù)為背景，綜合考查四邊形、二次函數(shù)相關知識，命題者在這里設置了P、Q兩個“動點”，兩個點同時運動導致了圖形并不唯一存在，綜合考查了四邊形、三角形、二次函數(shù)相關知識.因此，透過題目表象，如何在運動中求靜，即探索動點靜止時的特殊位置、特殊圖形變成了本題的解題關鍵.基于此，本文從“模型思想”和“輔助圓”兩個視角出發(fā)，探究解題路徑，尋求直接、自然的解答.

3.解法探究

3.1 常規(guī)出發(fā)，尋求自然

本題實則是在運動中探究特殊四邊形的存在性問題，從特殊圖形存在性問題的一般處理策略看，我們都是先假設存在，然后根據(jù)圖形的定義、性質來解決問題本身.因此，如何確定動點的位置，是解決這一類問題的關鍵.此題中，四邊形PMQN已經(jīng)是平行四邊形，那么如何才能使四邊形PMQN是正方形呢？我們常規(guī)第一反應就是直角，構造“一線三等角”模型，那么此題中如何確定這個直角便成了解決本題的關鍵？我們注意到矩形COAB，因此我們從∠CQB入手，如果∠CQB是直角，那么一箭雙雕.一方面，通過構造“K”圖相似，確定點Q的位置；另一方面，平行四邊形PMQN成了矩形，這樣只需一組鄰邊相等便可以解答此題.

解法1如圖2，假設四邊形PMQN為正方形，則：

∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN.

∴∠CQO+∠AQB=90°.

又∵∠CQO+∠OCQ=90°，

∴∠OCQ=∠AQB,

∴Rt△COQ∽Rt△QAB，

設OQ=m，則AQ=10-m

∴m(10-m)=4×4，解得：m1=2，m2=8.

3.2 抓住本質，探求直接

題中有兩個動點P、Q，加之圖形復雜，含參量多，計算量大，令很多考生望而生畏.通過上述解答，我們發(fā)現(xiàn)表面上運動的Q點實際上只有兩個點，為什么呢？我們冷靜下來認真讀題、審題，挖掘題中的關鍵信息和條件，這些條件背后隱含的數(shù)學本質是什么，與題中所求解的結論有什么聯(lián)系，層層剖析，重點突破關鍵信息，動中求靜，我們產生以下第二種思考.

解法2如圖3，以CB為直徑構造⊙H與x軸交于點Q，連接HQ，

過點H作HF⊥x軸于點F，得HF=4，HQ=5.

∴OQ=OF-QF=2.

“圓”是中學數(shù)學中必須掌握的重要知識，構造“輔助圓”是解決相關數(shù)學問題的重要方法.在解題教學中，如果能根據(jù)題設和已知條件構造符合題意特征的輔助圓，這樣將題中的固定角轉化成圓周角，使得問題順利解決，同時也體現(xiàn)了一種數(shù)形結合思想，代數(shù)問題和幾何知識互相滲透，綜合應用，不僅能夠更好地解決問題，還能更好地培養(yǎng)學生分析問題的能力.雖“圖中無圓”但必須做到“心中有圓”，教師應幫助學生體會 “‘圓’來可以更簡單”的喜悅.

3.3 舉一反三，拓展延伸

無獨有偶，筆者在收集各地中考試題時，發(fā)現(xiàn)2020年襄陽中考試題再現(xiàn)“輔助圓”.可見在平時的解題教學中，要注重好的、常見方法的積累.要真正領悟某一類題型的類型和處理策略，從而達到“會當凌絕頂，一覽眾山小”的境界，這需要長期的積累和內化.

試題再現(xiàn)：(2020年襄陽市中考試題)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在邊BC上，DE⊥DA且DE=DA.AE交邊BC于點F，連接CE.探究證明：當AD≠AF時，請?zhí)骄俊螦CE的度數(shù)是否為定值，并說明理由.(結合本文討論主題，題目有刪減.)

此題常規(guī)性方法，容易想到用相似解決.但是倘若能夠抓住∠AED=∠ACD，∠ADE=90°這兩個關鍵信息，構造如圖所示的“輔助圓”，問題迎刃而解.具體解答過程，本文不再贅述.

4.解后反思

4.1 著眼常規(guī)，通性通法，積累活動經(jīng)驗

解題是一位數(shù)學教師專業(yè)成長中必須經(jīng)歷的一個重要過程，是數(shù)學教師的基本功.但教學的終極目的是發(fā)展學生，如何通過教師的影響讓學生形成解題能力才是關鍵.很多時候，老師們都有這樣的抱怨：“為什么某個題講了很多遍學生還不會呢？”裴光亞先生說：“數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，是師生之間、學生之間的交往互動與共同發(fā)展的過程”，我想這是對這一“抱怨”的最好解釋，也許很多時候我們真的只是做了一個參考答案的“搬運工”.換個角度，也許很多時候忽略了一個問題：學生是不是真正參與了整個解題的思維過程？如本題中，學生若對特殊四邊形存在性問題的處理策略沒有形成自己的經(jīng)驗，可能就會無從下手.在平日教學里，教師要以“教學資源”為背景，讓學生充分感知思維過程，這樣的教學活動多了，學生便會積累成基本經(jīng)驗，進而形成能力.

4.2 盤活課堂，教學相長，打造高效課堂

早在先秦時代，我國著名古籍《禮記》就提出“學然后知不足，教然后知困.知不足然后能自反也，知困然后能自強也.”這個觀點的核心就是教學相長，要做到這一點并非一件容易的事情，首先教師自身要有扎實的專業(yè)功底，有前沿的教育理念，有開闊的教學視野.教學是一個雙向選擇的過程，單靠教師個人的“功夫”是遠遠不夠的.筆者曾經(jīng)也有這樣的困惑，經(jīng)常會出現(xiàn)自我認為課堂講得非常精彩，學生也聽得非常認真，甚至沾沾自喜，自我陶醉的感覺，可學生成績沒有得到提升，這是因為教師在很多時候只關注了“講”和“教”，忽視了教育對象的學習狀態(tài).我們還應更多地走下講臺，多站在學生的角度思考，他們怎么看待問題.教學不僅是簡單的知識傳授，更多地還要關注思維的啟發(fā)，要盡可能地達到“解一題，通一類”的效果.

4.3 揭示本質，發(fā)展能力，聚焦核心素養(yǎng)

裴光亞先生把教師的教學分為三種境界，六個層次，教師的成長，必須經(jīng)歷從經(jīng)驗型教師到研究型教師的跨越，經(jīng)歷從初師到大師的跨越.教學是一個發(fā)現(xiàn)學生、發(fā)展學生,發(fā)現(xiàn)自我、發(fā)展自我的過程，是師生共度的生命歷程.[1]聚焦核心素養(yǎng)，整合教學資源，揭示知識板塊之間的聯(lián)系，形成數(shù)學思維和素養(yǎng)是每一位教師追求的至高境界.

函數(shù)及其思想方法是整個數(shù)學學習的重頭戲，中學階段函數(shù)很好地解釋了運動和變化這一數(shù)學精髓，用數(shù)的形式更好地揭示了數(shù)學的“內在本質”和圖形的“外在美”.因此用函數(shù)作為載體，綜合幾何問題，搭建運動變化的平臺成了命題者的一個最好選擇.回看各地中考試題，壓軸綜合題不是呈現(xiàn)某一個難點知識，這類題往往都是多個知識點、多種思想方法的綜合體，既考查教材所要求的方程思想、代數(shù)運算、幾何性質，又考查考生靈活運用這些知識解決問題的能力.因此在教學中，教師除了注重知識的講授以外，還應該注重提煉重要的思想方法，挖掘試題考查的本質，總結與之對應的處理策略，發(fā)展學生能力，發(fā)展教師自我，達到共贏境界，始終盯準數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.