葛書強，楊彬

(1.中國船舶集團有限公司第七一三研究所，河南 鄭州 450015；2.鄭州市科學技術情報研究所，河南 鄭州 450007)

0 引言

某艦炮在射擊時，炮尾與身管定位塊位置出現斷裂缺口，造成自動機停射。對該炮尾部位進行測量后發(fā)現炮尾抓鉤尺寸偏小，結構壁厚偏薄弱。

為了查找炮尾裂口原因，校核炮尾強度是否足夠，分別建立炮尾名義尺寸和實測尺寸模型，對炮尾-身管耦合模型進行非線性接觸分析，對炮尾抓鉤進行強度分析。

1 炮身軸向載荷理論計算

由火炮內彈道相關理論[1–3]，彈丸膛內運動時期炮膛合力分為3 部分：

1）火藥氣體作用在膛底的力Pt；

2）作用在藥室錐面上的力Pzm；

3）彈丸作用在膛線上的力r。

膛內時期炮膛合力示意圖如圖1 所示。

圖1 膛內運動時期炮膛合力作用示意圖Fig.1 Schematic diagram of gun bore resultant force during interior ballistics process

1.1 火藥氣體作用在膛底的力

膛內火藥氣體膛底壓力pt與膛內平均壓力p關系如下[4]：

式中：q為彈丸質量；w為裝藥質量；φ1為僅考慮彈丸旋轉和摩擦兩種次要功的計算系數，φ1≈1.02；φ為次要功計算系數。

用St表示膛底斷面積，作用在膛底的力為：

1.2 作用在藥室錐面上的軸向分力

膛內壓力分布是不均勻的，火藥氣體壓力沿藥室長度分布也不均勻。作用在藥室錐面上的軸向分力為：

式中：pzm為整個藥室錐面上所受火藥氣體壓力的平均值，pzm與pt相差不大；S為線膛部分的斷面積，則藥室錐面在垂直于炮膛軸線方向的投影面積為St?S。

1.3 彈丸對膛線作用力的軸向分力

膛內時期彈丸的彈帶對膛線作用力的軸向分力r又稱為彈丸膛線阻力。用pd表示火藥氣體的彈底壓力。由牛頓第二定律，以彈丸相當質量的形式考慮膛線阻力r的作用，彈丸運動方程為：

將式（5）代入式（6），考慮pd=pφ1/φ，即可得到膛線阻力r與p的關系為：

將相關內彈道參數代入式（4）和式（6），即可得到Pzm和r。

Pzm和r可由身管傳遞給炮尾，炮尾抓鉤在射擊時受到的軸向載荷由這2 個載荷引起。有限元分析時將Pzm和r加載到身管上，即可建立炮尾-身管有限元模型并分析。

2 有限元分析模型及結果

基于PTC Creo 2.0 建立炮尾、身管三維模型，基于Ansys Workbench 18.0 進行有限元分析。

2.1 炮尾材料參數

有限元分析軸向載荷由前文所述方法求得，約束條件由艦炮射擊時工況確定。炮尾材料為炮鋼，其屈服極限用σs表示，熱處理后其屈服極限超過1 300 MPa，有限元計算時所用材料參數見表1。

表1 結構鋼材料參數Tab.1 Structural steel material parameters

2.2 炮尾有限元分析模型

炮尾抓鉤強度校核不需分析炮閂和炮尾的非線性接觸，將炮尾和炮閂接觸部分切除。射擊時只有一個炮膛進行點火擊發(fā)，其他炮膛和對應身管不受射擊載荷作用。

計算建立2 種三維模型，一是根據名義尺寸建立的三維模型；二是根據炮尾抓鉤實測尺寸建立的三維模型。由于工況相同，兩模型的邊界條件相同，有限元模型的約束及載荷情況如圖2 所示。炮尾后斷面為固定約束，滾珠滾道為軸向位移約束，身管前端臺座與六面體貼合處為法向位移約束，膛底為均布壓力，施加沿發(fā)射方向的藥室錐面軸向力Pzm和內膛壁面軸向力r。

圖2 約束和載荷加載情況示意Fig.2 Schematic diagram of constraint and load

2.3 兩種模型有限元分析結果

基于大量的理論研究和實驗驗證，目前已經提出了上百個強度模型或準則，按照剪應力分類，可以將強度理論劃分為單剪強度理論（SSS 理論，Single-Shear Strength Theory）、雙剪強度理論（TSS 理論，Twin-Shear Strength Theory）和八面體剪應力強度強度理論（OSS 理論，Octahedral-Shear Strength Theory）三大系列強度理論[5–6]。Tresca 屈服條件是SSS 強度理論的單參數準則，Mises 屈服條件是OSS 強度理論的單參數準則，最大偏應力屈服條件是TSS 理論的單參數準則。

對炮尾抓鉤分別按照Tresca 屈服條件、Mises 屈服條件和最大偏應力屈服條件進行校核，提取炮尾Tresca等效應力、Mises 等效應力、最大偏應力等效應力云圖。

炮尾抓鉤內側圓角被抓鉤側壁擋住，在觀察其應力分布時難以直接觀察到圓角根部，對炮尾進行切片處理，在炮尾前端鏡面前進行剖切，便于觀察圓角根部和抓鉤側壁處應力分布。

1）Tresca 等效應力結果

圖3 抓鉤Tresca 等效應力云圖Fig.3 Nephogram of grapnel Tresca equivalent stress

2）Mises 等效應力結果

圖4 抓鉤Mises 等效應力云圖Fig.4 Nephogram of grapnel Mises equivalent stress

3）最大偏應力等效應力結果

圖5 抓鉤最大偏應力等效應力云圖Fig.5 Nephogram of grapnel maximum deviatoric stress equivalent stress

4）抓鉤根部等效應力沿路徑的分布

取抓鉤圓角根部路徑（Path），由3 種屈服條件求得的等效應力隨路徑的分布曲線如圖6～圖8 所示。可知等效應力在倒角根部兩側和中間點附近達到峰值，抓鉤在此3 處承受較大的周期性交變載荷作用，此3 處易成為疲勞源，裂紋易在此處形核擴展，進而造成炮尾抓鉤斷裂失效。

圖6 抓鉤根部Tresca 等效應力沿路徑的變化Fig.6 Curve of grapnel chamfer Tresca equivalent stress along the path

圖7 抓鉤根部Mises 等效應力沿路徑的變化Fig.7 Curve of grapnel chamfer Mises equivalent stress along the path

圖8 抓鉤根部最大偏應力等效應力沿路徑的變化Fig.8 Curve of grapnel chamfer maximum deviatoric stress equivalent stress along the path

3 3 種強度理論下的炮尾強度分析

3.1 3 種強度理論對比

復雜應力狀態(tài)下結構屈服條件為應力空間中的曲線、曲面或超曲面。初始屈服條件一般可表示為：

對各向同性材料，屈服條件與坐標無關，可用應力張量不變量表示為：

炮鋼應用于火炮自動機，實驗數據表明靜水壓力對其屈服的影響可以忽略不計[7]，忽略其影響，屈服條件可用應力偏張量不變量表示為：

法國工程師H.Tresca 提出的Tresca 屈服條件[8]的一般應力表達式為：

它是非正則的，由6 個線性函數構成，幾何上是一個不光滑曲面，在數學處理上不方便。

德國力學家R.Von Mises 提出用圓柱面代替Tresca正六邊棱柱面，即為Mises 屈服條件，它的一般應力表達式為：

最大偏應力屈服條件[8]（又稱雙剪應力屈服條件）最早由R.Schmidt 提出，后由俞茂宏用雙剪應力的概念對該屈服條件進行了說明，其一般表達式為：

單剪強度理論的極限面為所有外凸極限軌跡的內邊界，雙剪強度理論的極限面為所有外凸極限軌跡的外邊界，八面體剪應力強度理論的極限面居中[6]，如圖9 所示。

圖9 三大系列強度理論的極限面[6]Fig.9 Limit surface of three series of strength theories[6]

作為三大系列強度理論的單參數準則，在π 平面（或偏平面）上，若假定單軸拉伸時2 個屈服面重合，則Tresca 六邊形內接于Mises 圓，此時2 個屈服面在純剪切狀態(tài)時差別最大為33.33%。若假定純剪切時2 個屈服面重合，則Tresca 六邊形外切于Mises 圓，此時2 個屈服面在單軸拉伸（或壓縮）狀態(tài)時差別最大為33.33%。最大偏應力屈服條件在π 平面上為一外切于Mises 圓的正六邊形，相對于內接Tresca 正六邊形旋轉30°，如圖10 所示。

圖10 3 種強度理論屈服面的關系[8–9]Fig.10 Relationships between yield surface of three strength theories[8–9]

3.2 3 種強度理論校核結果及分析

3.2.1 3 種屈服條件校核結果

分別按Tresca 屈服條件、Mises 屈服條件、最大偏應力屈服條件校核該炮尾抓鉤處的強度。

名義尺寸模型計算結果為：

實測最小尺寸計算結果為：

3 種強度理論分析結果整理后如表2 所示。

3.2.2 結果分析

抓鉤按Tresca 屈服條件校核時，名義尺寸模型滿足2 倍安全系數，不滿足2.5 倍安全系數，實測尺寸模型不滿足2 倍安全系數，此時其安全系數（n）降為1.84，強度不足。

抓鉤按Mises 屈服條件和最大偏應力屈服條件校核時，名義尺寸模型均近似滿足2.5 倍安全系數，實測尺寸模型均滿足2 倍安全系數，不滿足2.5 倍安全系數。且由表2 可知，不論是名義尺寸模型還是實測尺寸模型，均有最大偏應力屈服條件安全系數最大，Tresca 屈服條件安全系數最小，Mises 屈服條件安全系數居中，計算結果與理論預測結果一致。

表2 安全系數計算結果Tab.2 Calculation results of safety factor

各種屈服理論的可靠性需要由實驗加以驗證，據此可對比分析Tresca 屈服條件、Mises 屈服條件、最大偏應力屈服條件與實驗結果的吻合程度。

Lode 薄壁圓筒拉伸-內壓實驗結果如圖11（a）所示[10]，實驗結果與Mises 屈服條件更接近，與Tresca 屈服條件偏離較遠。如前文所述，若拉伸時各屈服條件重合，剪切時最大偏差可達33.33%，由于未考慮剪應力的影響，此實驗結果的驗證并不充分。

圖11 各屈服條件和實驗數據對比Fig.11 Comparison of yield conditions and experimental data

Taylor 等[11]又進行了薄壁圓筒拉伸-扭轉聯合作用實驗，結果如圖11（b）所示。實驗結果顯示，鋁和銅與Mises 屈服條件吻合較好，而軟鋼實驗結果更接近最大偏應力屈服條件，且所有實驗結果都與Tresca屈服條件偏離較遠。

Tresca 屈服條件在材料力學中經過處理，被稱為最大剪應力理論，其強度條件在材料力學中被表述為：

其只考慮最大和最小主應力的作用，未考慮中間主應力的作用，大量理論研究和試驗研究結果表明，中間主應力對材料屈服確實存在一定的影響，其對材料失效破壞的影響在很多應力狀態(tài)下是不能忽略的[12–13]。根據Tresca 屈服條件得到的強度條件偏保守，由此設計的結構重量偏大，較為笨重，經濟性偏低，不適合對重量要求較高的結構設計。

Mises 屈服條件認為引起材料屈服的主要因素是畸變能，其強度條件在材料力學中被表述為：

式（16）中的等效應力考慮了3 個主應力的綜合影響，也更符合大量試驗驗證的結果。對于塑性材料，其結果相對于Tresca 屈服條件校核結果更為精確。但Mises 屈服條件并不能夠對高三軸應力狀態(tài)下材料易于脆斷的現象予以解釋[14]。

雙剪應力強度理論認為當作用于單元體上的2 個較大主剪應力之和達到某一極限值時，材料開始發(fā)生屈服，俞茂宏將其表述為：

它比Tresca 強度理論多考慮了中間主剪應力的影響（見圖10），在不同的應力狀態(tài)下二者相差最大可達33.33%。在某些應力狀態(tài)下其理論值與實驗結果吻合非常好，文獻[15]展示了其實驗結果和理論預測的對比。

3.2.3 主應力分布的影響分析

對炮尾抓鉤有限元分析的3 個主應力進行對比分析。

由主應力分布云圖（見圖12 和圖13），結合前述等效應力云圖以及抓鉤倒角根部路徑處等效應力變化曲線，可以清晰地看出中間主應力對等效應力的影響，其不但影響了等效應力的大小，而且影響了等效應力極值的分布。

圖13 實測尺寸模型主應力分布Fig.13 Principal stress distribution of measured size model

中間主應力在抓鉤圓角根部是最大拉應力，在抓鉤側壁邊緣處是最大壓應力，考慮其影響和忽略其影響會對強度校核結果產生較大差異，從而導致不同強度理論下最大等效應力的顯著差異，2 種尺寸三維模型在不同強度理論下的校核結果對比如圖14 所示。2 種模型在忽略中間主應力的影響時，得到的等效應力均為最大值，由此得到的結構安全系數較低，設計結構偏保守，考慮中間主應力的影響后，2 種模型的等效應力下降，且基于雙剪強度系列理論的最大偏應力等效應力下降最多，結構的安全系數最大，材料利用更充分，結構的潛能得到最大程度的發(fā)揮。

圖14 3 種強度理論校核曲線Fig.14 Intensity check curves of three kinds of strength theory

4 結語

根據本文分析，可以得出如下結論：

1）名義尺寸模型按Tresca 強度理論校核滿足2 倍安全系數，達到2.3 倍安全系數，不滿足2.5 倍安全系數，按照Mises 強度理論和最大偏應力強度理論校核時均近似滿足2.5 倍安全系數，抓鉤設計強度足夠。

實測尺寸模型抓鉤壁厚變薄，按Tresca 強度理論校核時炮尾抓鉤安全系數僅為1.84，不足2 倍安全系數，強度不足。按Mises 強度理論和最大偏應力理論校核滿足2 倍安全系數，不滿足2.25 倍安全系數，強度不足。炮尾抓鉤斷裂由機加超差引起。

2）Tresca 強度理論較為保守，位于屈服面的下限，由于忽略了中間主應力的影響，導致結構計算得到的靜強度不滿足要求，由此強度準則設計的結構較為保守，結構較粗笨，偏安全，但經濟性較差。而Mises強度理論和最大偏應力強度理論均考慮了中間主應力的影響，材料利用率更高，結構更輕巧更合理，經濟性和靈活性更佳。

3）由計算結果來看，Mises 屈服條件校核結果和最大偏應力校核結果相差不大，二者很接近，在對炮鋼進行強度校核時，二者均可選用，視具體情況而定。最大偏應力屈服條件是線性方程，Mises 屈服條件是非線性方程，對數學處理上的解析分析而言，最大偏應力屈服條件應用起來更加方便，在解析分析中有獨特的優(yōu)點。