龔闖 郭星雨?

1) (華南師范大學(xué)量子物質(zhì)研究院, 廣東省核物質(zhì)科學(xué)與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 廣州 510006)

2) (華南師范大學(xué)南方核科學(xué)計(jì)算中心, 粵港量子物質(zhì)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室, 廣州 510006)

在相對(duì)論重離子碰撞早期, 會(huì)產(chǎn)生一個(gè)極強(qiáng)的磁場(chǎng).初始碰撞產(chǎn)生的粲偶素會(huì)受到磁場(chǎng)的影響, 進(jìn)而攜帶磁場(chǎng)的信息.本文利用磁場(chǎng)下的兩體薛定諤方程研究磁場(chǎng)對(duì)粲偶素的影響.利用角動(dòng)量展開的方法, 數(shù)值計(jì)算了不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下粲夸克偶素的能譜.采取的方案是把三維波函數(shù)展開成不同軌道角動(dòng)量以及自旋態(tài)的疊加, 實(shí)際計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn), 當(dāng) n ≤2 , l ≤7 時(shí)能很好地滿足精確度.進(jìn)一步, 哈密頓量可以寫成H=H0+(qB)2H1+qBPps,⊥H2 形式, 其中 H 0 , H 1 , H 2 不依賴于B和 P ps,⊥ , 因此只要計(jì)算出 H 0 , H 1 , H 2 就能求出任意B和 P ps,⊥ 下的哈密頓量.這樣的數(shù)值方法在保證計(jì)算精度的同時(shí)顯著減少了計(jì)算量.計(jì)算結(jié)果表明隨著磁場(chǎng)和總動(dòng)量的增加, 粲偶素的質(zhì)量增大, 在磁場(chǎng)強(qiáng)度為, 總動(dòng)量為 1.8GeV 時(shí), 質(zhì)量的增加量為20%.

1 引 言

夸克是目前人類認(rèn)識(shí)到的最深層次, 描述夸克之間的相互作用的是量子色動(dòng)力學(xué)(QCD)理論.QCD解禁閉相變被認(rèn)為會(huì)發(fā)生在相對(duì)論重離子碰撞系統(tǒng)中[1,2].重離子碰撞中產(chǎn)生的夸克膠子等離子體(QGP)是研究QCD性質(zhì)的重要媒介.粲偶素是粲夸克和反粲夸克組成的束縛態(tài), 當(dāng)其處在“夸克禁閉”解除的QGP中時(shí), 粲夸克和反粲夸克之間的相互作用會(huì)由于周圍大量色荷的德拜屏蔽效應(yīng)而減弱, 當(dāng)QGP的溫度足夠高, 色荷德拜屏蔽半徑小于粲偶素的束縛半徑的時(shí)候, 該束縛態(tài)將被分解, 其產(chǎn)額會(huì)被壓低.因此, 粲偶素在相對(duì)論重離子碰撞中產(chǎn)額相對(duì)質(zhì)子-質(zhì)子碰撞中產(chǎn)額的壓低被認(rèn)為是QGP產(chǎn)生的重要標(biāo)志[3].由于重離子都帶有正電荷, 在重離子非對(duì)心碰撞過程中會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)大的磁場(chǎng).對(duì)于 J /ψ 粒子, 其主要來源為初始硬過程產(chǎn)生的粲夸克偶素對(duì).而在碰撞初期, 也正是碰撞產(chǎn)生的磁場(chǎng)最強(qiáng)的時(shí)刻.磁場(chǎng)應(yīng)該會(huì)影響J/ψ粒子的產(chǎn)生, 由于磁場(chǎng)有一個(gè)特定的方向, 在該磁場(chǎng)影響下產(chǎn)生的 J /ψ 粒子也可能存在各向異性[4].為了定量研究 J /ψ 粒子的演化, 了解磁場(chǎng)對(duì)夸克偶素的影響是必不可少的.對(duì)于重夸克偶素這樣由兩個(gè)較重的粒子構(gòu)成的束縛態(tài), 利用薛定諤方程進(jìn)行研究是合理的[5].然而, 在有磁場(chǎng)的情況下, 角動(dòng)量不再守恒, 數(shù)值求解的復(fù)雜度大大增加, 我們提出利用真空中的能量本征函數(shù)進(jìn)行展開, 來實(shí)現(xiàn)計(jì)算的簡(jiǎn)化.雖然碰撞產(chǎn)生的粲夸克偶素的整體動(dòng)量可以很大, 但是由于粲夸克的質(zhì)量較大, 在束縛態(tài)中正反粲夸克的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度并不會(huì)很大.文獻(xiàn)[6]中研究了粲夸克偶素束縛態(tài)的相對(duì)論修正, 其對(duì)介子能量的修正大約在10%左右.

2 薛定諤方程的簡(jiǎn)化

真空中的夸克偶素的薛定諤方程可以寫作[7]:

這里的能量本征值E不僅包含夸克偶素的動(dòng)能,也包含夸克偶素的靜止質(zhì)量, 動(dòng)量Pkin=pa+pb是守恒量.考慮薛定諤方程處于穩(wěn)恒磁場(chǎng)中的時(shí)候, 利用最小耦合有[8]:

這里 μ =q/mq(Sa?Sb) 是自旋磁矩.此時(shí), 很明顯總機(jī)械動(dòng)量 Pkin=pa+pb?qaAa?qbAb在該系統(tǒng)下不守恒.考慮在真空條件下的靜止質(zhì)量利用動(dòng)能的期望值, 重新定義該系統(tǒng)下的靜止質(zhì)量

為了簡(jiǎn)化形式, 做如下坐標(biāo)變換:

相應(yīng)的動(dòng)量表達(dá)形式如下:

在相對(duì)論重離子碰撞中, 電磁場(chǎng)的變化是非?？焖俚? 但是其定量的衰減速度, 不同的模型給出的結(jié)果相差數(shù)個(gè)量級(jí), 對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度也是如此,根據(jù)文獻(xiàn)[9]的計(jì)算結(jié)果, 電場(chǎng)強(qiáng)度相比于磁場(chǎng)強(qiáng)度仍較小; 粲夸克偶素的產(chǎn)生也是一個(gè)時(shí)間尺度非常短的強(qiáng)相互作用過程[10].在本文的研究中, 假設(shè)后者的時(shí)間尺度短于前者, 因此在計(jì)算束縛態(tài)時(shí)可以將磁場(chǎng)近似看成是恒定磁場(chǎng).現(xiàn)在規(guī)定矢量勢(shì)兩個(gè)夸克的帶電量為 qa=?qb=q.在這個(gè)情況下, 可以得出:

最后, 穩(wěn)恒磁場(chǎng)中的薛定諤方程可以簡(jiǎn)化為[11]:

此時(shí)能量E對(duì)應(yīng)哈密頓算符的本征態(tài), mq包含兩體相互作用能和磁場(chǎng)中的塞曼能, 以及其他磁場(chǎng)的貢獻(xiàn).磁場(chǎng)的影響包括以下三項(xiàng): 第一項(xiàng)是它是由夸克的自旋和磁場(chǎng)的相互作用引起的, 因此稱為自旋磁場(chǎng)相互作用項(xiàng); 第二項(xiàng)是它是由Lorentz力引起的, 因此稱為Lorentz項(xiàng); 第三項(xiàng)是該項(xiàng)在垂直于磁場(chǎng)方向附加了一個(gè)額外的勢(shì)的約束, 稱為約束項(xiàng).這里, Pps,⊥表示 Pps的投影垂直于磁場(chǎng)B, 即x-y平面.為了簡(jiǎn)化, 選取 Pps,⊥的方向作為x軸, 有〈Pkin〉=Pps+qB〈y〉ex[12].這樣定義了一個(gè)新的守恒動(dòng)量 Pps, 化簡(jiǎn)后的兩體薛定諤方程只與兩個(gè)粒子的相對(duì)坐標(biāo)r有關(guān), 而與它們的整體運(yùn)動(dòng)無關(guān).

3 將波函數(shù)在角動(dòng)量本征態(tài)上展開

將波函數(shù)在軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量的共同本征態(tài)上展開, 一方面能將三維的數(shù)值計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)化, 另一方面能使不同軌道角動(dòng)量的波函數(shù)的物理意義更加清晰.將中心勢(shì)與自旋-自旋相互作用勢(shì)一起考慮[13,14]:

自旋-自旋相互作用使得三重態(tài)和自旋三重態(tài)相互分離; 三重態(tài)中 T0和 S0相互耦合不再是H的本征態(tài), T+和 T?仍是H的本征態(tài), 產(chǎn)生了不同自旋成分的混合, 例如 ηc和 J /ψ , 定義自旋態(tài):

這樣就能得到如下結(jié)果:

從上面的結(jié)果可以看出, Sz=±1 的三重態(tài)仍然是H的本征態(tài), 而 Sz=0 的三重態(tài)是自旋單態(tài)和三重態(tài)的混合態(tài), 因此它不再是H的本征態(tài).此外, 其他的兩項(xiàng)還會(huì)打破空間的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性, 并且能量的本征態(tài)不再是軌道角動(dòng)量的本征態(tài), 可以用球諧函數(shù)來描述[15].此外, 波函數(shù) ψ (r) 還包含了軌道角動(dòng)量分量.于是, 我們?cè)谧孕颓蛑C波函數(shù)的共同本征態(tài)上將波函數(shù)展開.

通過應(yīng)用微擾法找出磁場(chǎng)的勢(shì)能導(dǎo)致的所有作用.為了方便, 把薛定諤方程寫成如下形式:

選擇Cornell勢(shì)和格點(diǎn)理論中的自旋-自旋相互作用勢(shì)作為中心勢(shì)[16],

對(duì)于粲夸克參數(shù), mc= 1.29 GeV, σ = 0.174 GeV2,α = 0.312, β = 1.982 GeV, γ = 2.06 GeV.

對(duì)于不同的l和m, 薛定諤方程在該表象中的矩陣元可以通過下面的方式得到.球諧函數(shù)的表達(dá)形式為:

利用Legendre多項(xiàng)式的正交關(guān)系和遞推關(guān)系[17,18]:

可以得到

這里只給出矩陣 l ,m 的非對(duì)角項(xiàng), 對(duì)角項(xiàng) l =l′,m=m′可以通過上式非常容易得到.最終, 薛定諤方程可以化簡(jiǎn)為如下形式:

這里, 矩陣U, V, W分別被定義為:

這樣, 就將一個(gè)三維薛定諤方程轉(zhuǎn)化為一維的薛定諤方程, 能夠求解它的本征函數(shù)和本征值.在計(jì)算過程中要注意軌道角量子數(shù)l的截?cái)? l要選取得足夠大, 以至于 al,m的影響能夠忽略[19,20].此時(shí)的問題已經(jīng)可以直接數(shù)值求解, 然而為了較為精確地求解徑向微分方程, 離散化之后的格點(diǎn)數(shù)需要在 1 03— 1 04之間, 由于我們需要計(jì)算不同磁場(chǎng)強(qiáng)度以及 Pps下的方程, 這樣的計(jì)算仍顯得較為繁瑣.為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化, 我們將徑向波函數(shù)用無磁場(chǎng)的能量本征函數(shù)進(jìn)行展開,

此處s指代自旋指標(biāo).注意到在無磁場(chǎng)時(shí), 哈密頓量對(duì)m量子數(shù)是簡(jiǎn)并的, 因此徑向本征函數(shù)不依賴于m.由此, 最終可以將哈密頓量化為如下矩陣形式:

此時(shí)哈密頓矩陣的維度視求解的自旋態(tài)不同, 為n(l+1)2或 2 n(l+1)2.在實(shí)際計(jì)算中發(fā)現(xiàn), 取 n ≤2 ,l≤7已經(jīng)能夠很好地滿足計(jì)算精度.因此矩陣維度在102量級(jí).進(jìn)一步, 注意到

其中 H0, H1, H2均不依賴于B和 Pps,⊥.因此, 只要計(jì)算出 H0, H1和 H2就可以得到任意B和Pps,⊥下的哈密頓量.

4 數(shù)值方法

最終的數(shù)值計(jì)算流程可以總結(jié)如下:

1) 在無磁場(chǎng)的情況下使用有限差分方法計(jì)算能量本征值 En,l和本征函數(shù) ?n,l[21];

2) 利用 En,l和 ?n,l, 計(jì)算 H0, H1和 H2的矩陣表示;

3) 選定不同的B和 Pps,⊥, 利用(6)式給出完整哈密頓量的矩陣形式, 并數(shù)值求解本征值和本征函數(shù).

因此, 具體的數(shù)值任務(wù)就是求解矩陣的本征值問題, 由于我們只關(guān)注最低的幾個(gè)本征能量和本征態(tài), 利用逆冪方法可以很好地實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo), 對(duì)于任意一個(gè)非簡(jiǎn)并的本征態(tài)有

這里 ψk構(gòu)成一組正交歸一完備集, λk則是每一個(gè)波函數(shù)對(duì)應(yīng)的本征值.在等式兩邊分別減去一個(gè)特征值并對(duì)其取逆次冪, 則有

對(duì)于任意一個(gè)波函數(shù)ψ, 均可以在 ψk的完備集上將其展開:代入(43)式有

通過這個(gè)方法不僅可以得到H的基態(tài)波函數(shù),也可以通過改變的值, 得到其不同激發(fā)態(tài)的波函數(shù), 以及不同態(tài)對(duì)應(yīng)的本征值.對(duì)于薛定諤方程(34)式—(36)式, 在離散坐標(biāo)空間中, 微分能夠?qū)懗傻男问? 其他的項(xiàng)也可以寫成矩陣的形式.因此哈密頓算符能夠?qū)懗删仃嚨男问? 它的逆矩陣也很好得出, 可以使用逆冪算法.

5 結(jié) 果

本文首先驗(yàn)證了對(duì)于角量子數(shù)的階段是否合理, 選取了 l ≤7 , 圖1分別給出了Pkin=1GeV , 在 l =7 和 l =6 兩種情況下求解基態(tài)本征波函數(shù).圖中紅色曲線是 l =6 的波函數(shù), 藍(lán)色是 l =7 的波函數(shù), 可以看出, 兩種情況下的本征態(tài)基本重合在一起, 即波函數(shù)(25)式和(26)式中的展開系數(shù) al,m在 l =7 的時(shí)候趨近于零, 所以在計(jì)算過程中選取l截?cái)嗟?是完全合理的.由于圖1中的兩條曲線完全重合, 因此定義參數(shù)A=計(jì) 算 A =8.79481052?13,其他的物理量的變化與圖1中的變化相似.

圖1 q B= P kin=1GeV 時(shí) l =7 和 l =6 的 本 征 態(tài)Fig.1.The eigenstates of l =7 and l =6 atqB=and P kin=1GeV.

圖2給出了磁場(chǎng)基態(tài)波函數(shù)對(duì)質(zhì)量和極化動(dòng)量的依賴性.對(duì)于粲偶素而言, 隨著介子動(dòng)量的不斷增加, 洛侖茲力也不斷增大, 將夸克拉扯得更大.同時(shí)介子的質(zhì)量 mq也會(huì)隨著總動(dòng)量的增加而不斷變大, 這個(gè)增加的效應(yīng)會(huì)在磁場(chǎng)越大的時(shí)候愈發(fā)明顯.當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度, Pkin=1.8GeV 時(shí), 介子的質(zhì)量增加了 1 /5.而對(duì)于磁場(chǎng)較弱或者 Pkin較小的情況, 質(zhì)量的增加量則有所減小.這樣一個(gè)非平庸的色散關(guān)系將會(huì)有一些非常有趣的物理后果.例如, 一些在一般情況下由于能動(dòng)量守恒而被禁戒的衰變模式, 如 J /ψ→J/ψγγ , 在磁場(chǎng)中就有可能發(fā)生, 如果能夠用類似的方法進(jìn)一步研究D介子的能譜, 也可以探討的可能性.

圖2 q B=(紅色), q B=(藍(lán)色),qB=(黑色), q B= (橙色), q B=(綠色)下, J /ψ 粒子的質(zhì)量隨 〈 Pkin,⊥〉 的變化圖像Fig.2.The momentum 〈 Pkin,⊥〉 dependence of mass m and electric dipole moment q 〈y〉 for J /ψ± in magnet field with qB=0(dashed black), 5(red), 10 (blue), 15 (violet) and 20(orange) m 2π.

6 總 結(jié)

利用薛定諤方程研究磁場(chǎng)中的粲偶素本征態(tài).通過將波函數(shù)及哈密頓量在無磁場(chǎng)的能量本征態(tài)上展開, 能在大大減少計(jì)算量的同時(shí)保證結(jié)論的有效性.通過逆冪算法能夠求解薛定諤方程, 得到不同磁場(chǎng)和不同總動(dòng)量情況下的本征態(tài)與本征值, 計(jì)算結(jié)果表明隨著磁場(chǎng)和總動(dòng)量的增加, 粲偶素的質(zhì)量增大, 逐漸增大的Lorentz力會(huì)使得粲偶素的體積增加.當(dāng)外磁場(chǎng)強(qiáng)度為零時(shí), 增加總動(dòng)量 Pkin不會(huì)改變粲偶素的質(zhì)量, 而在外磁場(chǎng)強(qiáng)度越大的情況下, 隨著總動(dòng)量 Pkin增加, 粲偶素質(zhì)量的增加量會(huì)成指數(shù)級(jí)增大.在Pkin=1.8GeV 時(shí), 質(zhì)量增加了約20%.

感謝馬治民在編程方面給予的幫助.