劉夢妮，張楊林，晏志遠，孫美滿，范 婷

(1. 石河子大學 理學院，新疆 石河子 832003；2. 中國刑事警察學院 公安信息技術(shù)與情報學院，遼寧 沈陽 110854)

本文中的磁懸浮問題來源于第33屆國際青年物理學家錦標賽(International Youth Physicist’s Tournament，簡稱IYPT)的第九題，原題如下：

Magnetic levitation under certain circumstances，the ‘flea’ of a magnetic stirrer can rise up and levitate stably in a viscous fluid during stirring. Investigate the origins of the dynamic stabilization of the “flea” and how it depends on the relevant parameters.

譯為：在某些特定情況下，磁力攪拌器的攪拌子在攪拌時，能在黏性流體中穩(wěn)定地上升和懸浮. 研究攪拌子動態(tài)穩(wěn)定的起源，以及它如何依賴相關(guān)參數(shù).

磁力攪拌技術(shù)在防止泄漏，減少污染，節(jié)約能源方面有著突出優(yōu)點[1]. 磁力攪拌器廣泛應用于易燃、易爆、有毒、強腐蝕性和貴重介質(zhì)的工業(yè)攪拌或攪拌反應中. 磁力攪拌器利用磁性物質(zhì)同極相斥的特性，通過不斷變換基座兩端的極性來推動磁性攪拌子轉(zhuǎn)動，當轉(zhuǎn)速增大到一定值時，攪拌子能在黏性流體中穩(wěn)定地上升和懸浮. 本文旨在通過理論和實驗探究懸浮現(xiàn)象的起源，以及實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮的相關(guān)參數(shù)及其依賴關(guān)系.

1 磁懸浮現(xiàn)象理論分析

1.1 基本原理

磁力攪拌器的實物(原理)如圖1所示.

圖1 磁懸浮裝置圖

圖2 實驗原理圖

1.2 理論推導

將攪拌器驅(qū)動磁鐵和攪拌子視為磁偶極子，攪拌子可視為在二維平面的運動，忽略攪拌子沿水平軸的轉(zhuǎn)動，驅(qū)動磁鐵和攪拌子的運動近似為繞同一豎直軸轉(zhuǎn)動.攪拌子的運動可分成豎直方向的直線運動(圖3(a))，以及水平方向的轉(zhuǎn)動運動(圖3).分別對攪拌子進行受力分析和力矩分析，使用牛頓第二定律以及轉(zhuǎn)動定律描述攪拌子的平動和轉(zhuǎn)動.

1) 水平方向的運動

豎直方向運動 水平方向運動圖3 攪拌子受力分析和力矩分析

磁偶極子遠場B的表達形式為[2]

(1)

其中，μ0為電磁常數(shù)，md為攪拌器驅(qū)動磁鐵磁矩，因此，攪拌子對應位置的磁場為

(2)

磁場力產(chǎn)生的力矩為

(3)

其中ms為攪拌子磁矩.

將式(3)代入轉(zhuǎn)動定律公式可以得到

(4)

由牛頓內(nèi)摩擦定律(定常層流內(nèi)摩擦力)

(5)

(6)

其中，D=8πγKηl3[2]，γ為黏度，K為形狀相關(guān)因子，η為器壁相關(guān)因子.

由式(4)和(6)得出攪拌子水平運動方程為

(7)

2) 豎直方向的運動

豎直方向磁場力為[2]

(8)

其中

F(z)=ms

(9)

由牛頓第二定律

(10)

3) 合運動

式(7)的通解為

θ(t)-θ0=Awsin(ωWt)+ωSt

(11)

由式(7)可知，攪拌子轉(zhuǎn)過的角度θ為擺動運動和轉(zhuǎn)動運動這兩個分運動的合運動.描述角運動的3個方程[3]如下，其中3個變量擺動振幅Aw、轉(zhuǎn)動角速度ωs和擺動角速度ωw都是關(guān)于自變量驅(qū)動角速度ωd的函數(shù).

(12)

(13)

ωw=ωd-ωs

(14)

將式(12)—(14)帶入式(11)，通過Origin軟件擬合，將擺動運動和轉(zhuǎn)動運動兩條曲線疊加，得到合運動曲線(圖4).

圖4 擺動、轉(zhuǎn)動及合運動

1.3 理論公式的實驗驗證

磁場力F(z)和磁場力矩M(z)可利用電子稱通過實驗測量.取磁場力F(z)為0.15 N，磁場力矩M(z)為0.002 N·m. 求解方程組式(7)和式(10)，可得出攪拌子懸浮高度zb隨時間t的變化(圖5)，以及攪拌子轉(zhuǎn)動角度θ隨時間t的變化(圖6)的擬合曲線圖，與下圖實驗測量值所得曲線相吻合，則該方程組能正確描述攪拌子在黏性流體中的運動狀態(tài).

圖5 懸浮高度zb隨t變化

圖6 轉(zhuǎn)動角度θ隨t變化

2 磁懸浮現(xiàn)象實驗探究

2.1 實驗儀器

磁懸浮實驗儀器有ZGCJ-3A數(shù)顯磁力攪拌器、攪拌子(尺寸分別為8×15 mm、8×20 mm、8×30 mm、6×15 mm、6×20 mm、 6×30 mm)、甘油、溫度傳感器、燒杯(直徑分別為54 mm、70 mm、93 mm、112 mm)、高速攝像機.

黏度測量儀器：量筒(1000 ml，50 cm)、黏性流體(甘油)、小鋼球、千分尺、游標卡尺、溫度計、秒表等.

2.2 磁懸浮實驗現(xiàn)象分析

低轉(zhuǎn)速下：攪拌子與磁力攪拌器磁鐵同步運動.增大轉(zhuǎn)速到一定值(ω↑)：攪拌子異步運動(解耦)并出現(xiàn)周期性的“擺動”，在一定條件下懸浮并穩(wěn)定在某個高度附近.

降低轉(zhuǎn)速到另一定值(ω↓)：攪拌子落回底部并恢復同步運動；臨界值附近會出現(xiàn)徑向不穩(wěn)定的運動.

是否出現(xiàn)懸浮現(xiàn)象取決于驅(qū)動轉(zhuǎn)速ωd、黏度η、攪拌子初始距底高度zb、攪拌子的尺寸、燒杯的尺寸等.

2.3 黏滯阻力對懸浮的影響

首先考慮溫度對黏度的影響較大[4]，所以本實驗利用溫度傳感器以保證實驗中溫度恒定.通過落球法測量黏度并使用光電門記錄小球在黏性流體中的一段距離中的運動時間，實驗數(shù)據(jù)如表1所示.本實驗探究過程中使用黏度為0.79 Pa·s的甘油溶液.

表1 落球法測量黏度數(shù)據(jù)

其次考慮層流與湍流對黏度的影響，層流是實驗所需條件[5]. 高黏滯阻力、低雷諾數(shù)系統(tǒng)符合本文層流模型(η=0.92 Pa·s → Re=400)，而低黏滯阻力、高雷諾數(shù)系統(tǒng)不符合本文的層流模型(η=0.28 Pa·s → Re=1400)[6]. 本實驗中所討論的雷諾數(shù)范圍能滿足穩(wěn)定懸浮條件皆處于層流狀態(tài).

為證驗證黏性流體的作用，用水進行實驗發(fā)現(xiàn)攪拌子不但不會跳起和懸浮，而且會形成漩渦，破壞流場的穩(wěn)定性，進而證明黏性流體對攪拌子懸浮的重要作用. 當固定攪拌子初始距底高度zb且攪拌器轉(zhuǎn)速從0 rpm逐漸增加至1300 rpm，流體的黏度會影響最終攪拌子的懸浮平均高度(圖7).流體黏度越大，懸浮高度越低，流體黏度太低(例如水)則需要更高的轉(zhuǎn)速才能跳起和懸浮.

圖7 黏度對攪拌子懸浮高度的影響

2.4 驅(qū)動轉(zhuǎn)速對懸浮的影響

1) 驅(qū)動轉(zhuǎn)速對攪拌子懸浮后的擺動運動與轉(zhuǎn)動運動的影響.

逐漸增大攪拌器轉(zhuǎn)速直至攪拌子跳起并懸浮，得到擺動運動及轉(zhuǎn)動運動隨ωd的變化(圖8).當ωs=ωw的時候，此時對應的ωd為ω↓，這意味著如果驅(qū)動轉(zhuǎn)速小于ω↓，那么攪拌子不會懸浮反而會回落.通過曲線可以得出，隨驅(qū)動轉(zhuǎn)速增大，擺動ωw會增大，轉(zhuǎn)動ωs會減小.

圖8 驅(qū)動轉(zhuǎn)速對懸浮后的擺動與轉(zhuǎn)動的影響

2) 驅(qū)動轉(zhuǎn)速對搖擺振幅的影響.

逐漸增大攪拌器驅(qū)動轉(zhuǎn)速且攪拌子初始距底高度zb固定時，或逐漸增高攪拌子初始距底高度zb且攪拌器驅(qū)動轉(zhuǎn)速固定時，對應的振幅是越小，如圖9所示.

圖9 驅(qū)動轉(zhuǎn)速對搖擺振幅的影響

3) 驅(qū)動轉(zhuǎn)速對懸浮高度的影響.

當逐漸增大攪拌器驅(qū)動轉(zhuǎn)速至攪拌子懸浮后，繼續(xù)將攪拌器驅(qū)動轉(zhuǎn)速從735 rpm增大至1300 rpm時，攪拌子懸浮高度逐漸降低，且隨著轉(zhuǎn)速增大，攪拌子會不斷貼近容器底部，但不會觸底(圖10).

圖10 驅(qū)動轉(zhuǎn)速對懸浮高度的影響

4) 攪拌子和燒杯大小對懸浮的影響.

當攪拌子尺寸、流體黏度和攪拌器驅(qū)動轉(zhuǎn)速固定，換用直徑分別為54 mm、70 mm、93 mm及112 mm的燒杯進行實驗. 當燒杯尺寸，流體黏度和攪拌器驅(qū)動轉(zhuǎn)速固定，換用尺寸分別為8×15 mm、8×20 mm、8×30 mm、6×15 mm、6×20 mm及6×30 mm的攪拌子進行實驗.

由表2知，較短的攪拌子更容易穩(wěn)定在中心，而長攪拌子往往無法穩(wěn)定. 攪拌子的徑向不穩(wěn)定性和燒杯直徑關(guān)聯(lián)不大，但直徑小的燒杯容易提供初始的穩(wěn)定態(tài).

表2 使用不同尺寸的燒杯和攪拌子探究懸浮穩(wěn)定性

3 結(jié)語

本文探究了磁懸浮產(chǎn)生的起源，具體研究攪拌子初始距底高度zb、流體黏滯阻力、攪拌器驅(qū)動轉(zhuǎn)速、攪拌子尺寸、燒杯尺寸等相關(guān)參數(shù)對磁懸浮現(xiàn)象的影響.攪拌子初始距底高度zb影響攪拌子搖擺振幅；流體黏度不能過高或過低，即磁懸浮現(xiàn)象對流體的黏性有一定要求；驅(qū)動轉(zhuǎn)速會改變懸浮的高度及攪拌子的運動狀態(tài)，根據(jù)需要調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速，可以得到合適的懸浮狀態(tài)；攪拌子越小越容易在中心穩(wěn)定懸浮且可控性更好，攪拌子過大將降低穩(wěn)定性，攪拌子的大小是相對于燒杯而言，選擇合適尺寸的燒杯與攪拌子組合才能實現(xiàn)懸浮.有了這些規(guī)律，通過調(diào)節(jié)影響懸浮的參數(shù)，可以獲得更好的懸浮.這種穩(wěn)定懸浮方法為廣泛應用提供了前景，例如無摩擦運輸，無容器存儲，無接觸操作等.