劉展源，關(guān)成波，呂英波，張 鵬，叢偉艷

(山東大學(xué)(威海) 空間科學(xué)與物理學(xué)院，山東 威海 264209)

在經(jīng)典物理場方程的數(shù)值求解中，差分法是一種最普遍采用的方法[1-3]．通過自變量的離散化，差分法把微分方程轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，其中最重要的是將待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)用有限差分近似表示．文獻(xiàn)中，各類精度差分公式的推導(dǎo)一般是利用待定系數(shù)法，結(jié)合泰勒級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化成線性代數(shù)方程組的求解．本文介紹一種更簡潔的方法，利用多項(xiàng)式插值導(dǎo)出差分公式，包括二階精度和四階精度差分公式．這種方法既易于理解也方便推廣到更高的維數(shù)和精度．

差分法也經(jīng)常被應(yīng)用于定態(tài)薛定諤方程的求解，例如一維方勢阱、拋物勢阱、W形勢阱以及各類量子阱和量子點(diǎn)等物理問題的研究[4-17]．對(duì)于能量分立的束縛態(tài)，差分法將定態(tài)方程轉(zhuǎn)化成矩陣的本征方程，進(jìn)而求出能量和波函數(shù)的數(shù)值解．在上述研究定態(tài)問題的文獻(xiàn)中，普遍采用的差分公式是3點(diǎn)中心差分公式，其誤差為步長的二次方量級(jí)，無法滿足高精度要求．本文采用四階精度的差分公式，求解幾個(gè)經(jīng)典勢場中的定態(tài)方程．以一維諧振子為例，我們利用不同精度的差分公式分別計(jì)算能級(jí)，所得結(jié)果表明，四階精度差分比二階精度差分收斂更快并且誤差更?。送?，我們還討論了兩類有限深勢阱，方勢阱和拋物勢阱，計(jì)算了不同勢阱深度下的基態(tài)能量和波函數(shù)，繪出了兩個(gè)勢阱的基態(tài)能量和勢阱深度的關(guān)系曲線．

1 插值法推導(dǎo)差分公式

假設(shè)待求函數(shù)f(x) 在區(qū)間 [a,b] 上是光滑的，取步長h將區(qū)間N等分，我們就可以將自變量離散化為一組等間距的節(jié)點(diǎn) {xi=a+i×h;i=0,1,…,N}．?dāng)?shù)值求解微分方程就是計(jì)算出所有節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值f(xi)，而前提是將方程中的導(dǎo)數(shù)用有限差分近似表示．在本節(jié)中，我們利用多項(xiàng)式插值法推導(dǎo)出一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的差分公式．

1.1 二階精度差分公式

如圖1所示，我們選取xi及其最近鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)做3點(diǎn)插值，可得二次多項(xiàng)式．

圖1 3點(diǎn)插值

利用拉格朗日插值公式[1,3]可以直接寫出這個(gè)多項(xiàng)式:

(1)

(2)

(3)

這兩個(gè)式子就是常用的3點(diǎn)中心差分公式，其精度可以結(jié)合泰勒級(jí)數(shù)來分析．將f(xi±1)=f(xi±h) 展開成泰勒級(jí)數(shù):

(4)

再代入到中心差分公式(2)和(3)的右側(cè)，可得

(5)

(6)

可見，兩個(gè)中心差分公式的精度為2階，其截?cái)嗾`差為步長的二次方量級(jí)O(h2)．

1.2 四階精度差分公式

如圖2所示，我們?nèi)i及相鄰節(jié)點(diǎn)做5點(diǎn)插值，可得4次多項(xiàng)式.

圖2 5點(diǎn)插值

其拉格朗日插值公式如下

p4(x)=

(7)

(8)

(9)

將f(xi±2)=f(xi±2h) 展開成泰勒級(jí)數(shù):

其他應(yīng)收、應(yīng)付款業(yè)務(wù)是指電力企業(yè)在主營收付款業(yè)務(wù)之外發(fā)生的其他各類往來款項(xiàng)，包括日常供電應(yīng)收的違約金罰款、對(duì)外出租包裝物等的租金、收取的職工墊付款、其他各類為政府部門等的墊付款等。根據(jù)會(huì)計(jì)核算規(guī)則，需要設(shè)置“其他應(yīng)收款”“備用金”等科目。

(10)

再與f(xi±1) 的泰勒級(jí)數(shù)式(4)一起代入到5點(diǎn)差分公式(8)和(9)的右側(cè)，可得

(11)

f(2)(xi)+O(h4)

(12)

可見，5點(diǎn)差分公式(8)和(9)的精度比前面的3點(diǎn)中心差分(2)和(3)高了兩個(gè)階次．我們?nèi)绻眠@兩個(gè)四階精度的差分公式求解微分方程，原則上可以將計(jì)算誤差控制在更小的量級(jí)．

2 差分法求解定態(tài)方程

差分法可以將定態(tài)薛定諤方程轉(zhuǎn)化成實(shí)對(duì)稱矩陣的本征方程，而求解線性代數(shù)方程有經(jīng)典的算法和軟件(例如MATLAB)．本節(jié)第1部分以一維諧振子為例說明差分法的應(yīng)用，利用二階精度和四階精度差分公式做計(jì)算并對(duì)比其結(jié)果．在第2部分，我們利用四階精度差分公式計(jì)算有限深方勢阱和有限深拋物勢阱的基態(tài)能量和波函數(shù)．

2.1 一維諧振子

一維諧振子的定態(tài)方程一般寫成如下形式:

(13)

(14)

諧振子的定態(tài)都是束縛態(tài)，位置概率分布集中在原點(diǎn)的附近．對(duì)于能級(jí)不是很高的態(tài)，可以在有限區(qū)間 [-L,L] 內(nèi)求解方程，并設(shè)定邊界條件：

ψ(x)=0,|x|≥L

(15)

選取步長h將區(qū)間N等分，我們得到一組節(jié)點(diǎn) {xi=-L+i×h;i=0,1,…,N}．考察節(jié)點(diǎn)xi處的定態(tài)方程，并將波函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)用差分公式近似，于是得到定態(tài)方程的差分格式：

(16)

也可以寫成矩陣的形式：

AΨ=EΨ

(17)

(18)

表示波函數(shù)在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)處的值；A為 (N-1)×(N-1) 維的實(shí)對(duì)稱矩陣，其矩陣元Aij與二階導(dǎo)數(shù)差分公式相關(guān)：

1) 如果選取二階精度差分公式(3)，則有

(19)

2) 如果選取四階精度差分公式(9)，則有

(20)

取區(qū)間上限L=10，對(duì)不同精度的差分公式給出的A矩陣 (19)和(20)，我們分別求解其本征方程(17)，列出前十個(gè)能級(jí)的數(shù)值結(jié)果，并與真值En=n+1/2 對(duì)比．

如表1所示，相同步長下得到的計(jì)算結(jié)果，四階精度差分明顯優(yōu)于二階精度的中心差分．特別地，四階精度差分在步長為0.1時(shí)的計(jì)算結(jié)果已經(jīng)非常接近于中心差分在步長為0.01時(shí)的計(jì)算結(jié)果，說明前者比后者收斂更快．

表1 一維諧振子的能級(jí)(小數(shù)最后一位四舍五入)

2.2 一維有限深勢阱

設(shè)一個(gè)質(zhì)量為μ的粒子在寬為a深為V0的一維有限深勢阱中運(yùn)動(dòng)．為了數(shù)值計(jì)算方便，我們?nèi)匀贿x取自然單位，μ=a=?=1，此時(shí)能量的單位為ε=?2/μa2=1．如圖3所示.

圖3 有限深方勢阱和有限深拋物勢阱

我們討論兩類有限深勢阱，方勢阱和拋物勢阱，對(duì)應(yīng)勢函數(shù)有如下形式:

(21)

(22)

為了數(shù)值求解束縛定態(tài)，特別是基態(tài)，我們?nèi)∮邢迏^(qū)間 [-L,L]，以及式(15)中的邊界條件．勢阱如果不是很深，其束縛粒子的能力較弱，那么基態(tài)波函數(shù)的分布范圍較大，這時(shí)L要適當(dāng)取稍大數(shù)值，確保波函數(shù)滿足邊界條件．我們利用四階精度差分公式分別計(jì)算了兩類勢阱的基態(tài)波函數(shù)和能量．以下是計(jì)算結(jié)果及討論．

圖4給出了不同V0時(shí)基態(tài)粒子的位置概率分布曲線，其中實(shí)線表示方勢阱中的概率分布，虛線表示拋物勢阱中的概率分布．V0取值較小時(shí)，粒子在勢阱外部的概率分布較大，有顯著的隧道效應(yīng)；V0取較大值時(shí)，粒子幾乎完全被束縛在勢阱內(nèi)部．另外，對(duì)比兩類勢阱中的概率分布，我們發(fā)現(xiàn)，在V0取值0.1和1時(shí)，拋物勢阱中的概率分布要比方勢阱中的概率分布稍寬一些，而在V0取值10和100時(shí)卻情況相反．原因在于，當(dāng)V0很大時(shí)，勢阱內(nèi)的拋物勢斜率也大，從而阻礙粒子向阱壁運(yùn)動(dòng)；當(dāng)V0較小時(shí)，拋物勢斜率也小，對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)影響較弱，但拋物勢阱相對(duì)于方勢阱有更大些的基態(tài)能量，從而提高了隧道穿透的概率．

圖4 基態(tài)粒子的位置概率分布(已歸一化)

圖5 基態(tài)能量與勢阱深度 V0 的關(guān)系圖

3 結(jié)論

本文介紹了利用多項(xiàng)式插值推導(dǎo)差分公式的方法．本方法既可以推導(dǎo)出精度更高的差分公式(例如用七點(diǎn)插值)，也可以推導(dǎo)出任意階導(dǎo)數(shù)的差分公式．當(dāng)然，差分公式的精度越高，計(jì)算量也會(huì)越大，我們需要結(jié)合實(shí)際情況選擇最合適的差分公式．

在差分法求解一維定態(tài)薛定諤方程時(shí)，我們建議選擇四階精度的差分公式，因?yàn)槠溆?jì)算量并不比二階精度的差分公式大太多，但能把計(jì)算精度提高兩個(gè)階次．