劉旭光，趙汝卿，張雅男

“三力”模型下籃球投籃最佳角度的實(shí)驗(yàn)研究

劉旭光1，趙汝卿2，張雅男3

1.南京信息工程大學(xué)體育部，江蘇 南京，210014；2.南京信息工程大學(xué)長(zhǎng)望學(xué)院，江蘇 南京，210014；3.南京信息工程大學(xué)工程訓(xùn)練中心，江蘇 南京，210014。

投籃時(shí)出手狀態(tài)是指籃球的出手速度、出手角度及球的旋轉(zhuǎn)速度?；@球的飛行軌跡與這些因素有關(guān)，“三力”模型以重力、空氣阻力及瑪格努斯力三種力為基礎(chǔ)，推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)方程，利用仿真求解籃球的飛行軌跡，通過命中率得到投籃時(shí)的最佳出手狀態(tài)。三力模型下，出手速度更快，投籃更用力，但后旋球會(huì)減小出手角度，達(dá)到省力的目的。通過計(jì)算出最佳出手狀態(tài)，給出運(yùn)動(dòng)員平時(shí)訓(xùn)練的狀態(tài)范圍，可以指導(dǎo)訓(xùn)練，從而提高運(yùn)動(dòng)員在比賽時(shí)的命中率。

動(dòng)力學(xué)方程；運(yùn)動(dòng)軌跡；瑪格努斯力；最佳狀態(tài)

1 問題的提出

籃球運(yùn)動(dòng)是以進(jìn)球得分多少來評(píng)定勝負(fù)的體育運(yùn)動(dòng)，多數(shù)有關(guān)籃球運(yùn)行軌跡的研究都是對(duì)提高投籃命中率的定性分析，或者基于籃球出手后僅受重力影響的軌跡方程分析。牛成龍、朱仁坤、許文斌等[1-3]分析了投籃的過程和影響命中率的各種因素，提出了技術(shù)因素、身體素質(zhì)因素、心理因素和時(shí)空因素4個(gè)影響籃球命中率的因素，但僅限于定性分析，并沒有給出定量的結(jié)果。石平、趙軍[4]提出后旋可以使入射角最大化，并提高命中率。王成軍等[6]考慮了前旋和后旋對(duì)籃球軌跡的影響，提出在行進(jìn)間或在籃下，通過前旋可以縮短飛行距離，加快下落，提高空心入網(wǎng)的命中率；而通過后旋球則可使籃球在中遠(yuǎn)距離的投籃中增加穩(wěn)定性和飛行時(shí)間，提高空心入網(wǎng)的命中率，但同樣沒有給出定量的結(jié)果。葛文中[5]分析了高度、距離和投射角對(duì)籃球命中率的影響，提出高度、距離和投射角的增加都對(duì)命中率有很大影響。

楊愛茜等[7]運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)二次函數(shù)關(guān)系的籃球運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，采用控制變量法找出了出手速度、出手角度、水平距離和垂直高度等4個(gè)方面影響因素的最佳范圍，但研究方法和結(jié)論都是基于籃球僅受重力影響的假設(shè)。高秀明等[8]通過變分法給出了抗角度偏差最佳角和最省力投籃角，提出當(dāng)出手點(diǎn)和籃筐的連線正好為出手角的平分線時(shí)投籃的抗角度偏差最佳且最為省力；但沒有考慮阻力和球的旋轉(zhuǎn)帶來的影響，同時(shí)也忽視了籃球入射截面對(duì)籃球入筐的影響。段然[9]對(duì)籃球入射角度進(jìn)行了分析，通過入射截面的大小，給出了不同入射角投籃時(shí)可允許誤差范圍，并指出當(dāng)入射角小于33°時(shí)籃球不可能入籃；同時(shí)，指出可通過后旋球增大籃球入射角從而提高命中率。但并沒有考慮阻力所帶來的影響。

本文根據(jù)實(shí)際情況，考慮重力、空氣阻力以及瑪格努斯力三種力同時(shí)存在時(shí)，建立“三力”模型，推導(dǎo)籃球飛行滿足的動(dòng)力學(xué)方程。通過模擬仿真計(jì)算，分析后旋球、前旋球及無旋球飛行軌跡，出手速度及角度之間的關(guān)系。根據(jù)不同投籃者的自身?xiàng)l件，具體討論最佳的出手狀態(tài)，以及訓(xùn)練時(shí)的出手狀態(tài)范圍。為了驗(yàn)證模型的有效性，通過蒙特卡洛方法將“三力”模型與“單力”模型的命中率進(jìn)行對(duì)比。

2 運(yùn)動(dòng)中籃球的受力分析

在標(biāo)準(zhǔn)投籃過程中，運(yùn)動(dòng)員會(huì)通過一系列的連續(xù)動(dòng)作將力從腿部沿腰部、大臂一直傳導(dǎo)到手腕、手指，并最后將球“撥出”；有經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)動(dòng)員會(huì)通過控制手腕及手指的發(fā)力使得籃球產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)從而達(dá)到籃球在飛行中達(dá)到更穩(wěn)定或飛行時(shí)間更長(zhǎng)的目的。投籃命中率受較多因素的影響[13]，因而有必要對(duì)其進(jìn)行理論分析，本文對(duì)籃球的受力進(jìn)行了較為細(xì)致的分析，具體如下：

2.1 籃球在空中的受力分析

對(duì)于籃球初學(xué)者，不標(biāo)準(zhǔn)的投籃動(dòng)作有點(diǎn)類似推鉛球。手腕手指直接發(fā)力將球推出。這種情況下，籃球是無旋轉(zhuǎn)或者旋轉(zhuǎn)速度很小的在空中飛行。專業(yè)籃球運(yùn)動(dòng)員實(shí)際訓(xùn)練時(shí)，教練員都要求籃球運(yùn)動(dòng)員利用手腕手指將籃球“撥動(dòng)”。即手腕發(fā)力，手指要與籃球有摩擦，籃球在空中飛行時(shí)，有一定的旋轉(zhuǎn)速度。此時(shí)，將籃球作為質(zhì)點(diǎn)分析其運(yùn)動(dòng)顯然是不合適的。根據(jù)剛體力學(xué)，此時(shí)的籃球可以看成是剛體。在手指與籃球摩擦力的作用下，對(duì)籃球產(chǎn)生了轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，可以簡(jiǎn)化為籃球剛體在做平面運(yùn)動(dòng)?；@球質(zhì)心在做有阻力的拋物運(yùn)動(dòng)，籃球本身也在繞過球心的某條直徑做轉(zhuǎn)動(dòng)。

為了更準(zhǔn)確的分析籃球的飛行軌跡，假設(shè)籃球在飛行時(shí)受到重力、空氣阻力、瑪格努斯力。流體力學(xué)中，物體所受到的空氣阻力與物體的速度有關(guān)。投籃后籃球飛行過程中，由于其速度相對(duì)而言較小，因此受到的阻力和速度可以看作成一次比例關(guān)系[8]，且阻力方向與速度方向相反[12]。即

瑪格努斯力[9，11]是指物體因旋轉(zhuǎn)而帶動(dòng)周圍氣流的流動(dòng)，從而使得周邊的氣流流速不同，因而產(chǎn)生壓強(qiáng)差，此壓強(qiáng)差會(huì)產(chǎn)生一個(gè)垂直于物體運(yùn)動(dòng)方向的力，即瑪格努斯力，其表達(dá)式為

2.2 籃球飛行的動(dòng)力學(xué)方程

通過受力分析，建立籃球飛行時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

為了使方程形式簡(jiǎn)單，便于分析，將（4）式代入（3）式并分解為水平和豎直兩個(gè)方向，可以得到下式：

3 仿真驗(yàn)證

3.1 方程的離散化

將上述方程（5）離散化，可得如下方程：

方程（6）在給定初值條件及邊界條件后，即可求得籃球飛行到籃圈平面時(shí)的入射角，根據(jù)文獻(xiàn)[9]的計(jì)算方法，利用籃球在籃圈平面的投影判斷其是否命中。

考慮到球員在賽場(chǎng)上實(shí)際的投籃情況，常微分方程解得的軌跡最高點(diǎn)大于1.5的值均被舍去。其中，表示籃筐的豎直高度，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)取3.05m。

3.2 旋球?qū)︼w行的影響

利用前文所述模型，分別計(jì)算籃球前旋、無旋、后旋三種情況的飛行軌跡、飛行速度和出手角度之間的對(duì)比關(guān)系，結(jié)果如圖1所示。圖1a說明后旋球的飛行軌跡明顯與無旋和前旋方式不同，并且入射角度相對(duì)較大；圖1b顯示，飛行同樣距離，后旋球的飛行速度最小。圖1c得到結(jié)論，飛行同樣距離，后旋球所需出手角度最小。這些與現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)相符的特點(diǎn)都可以用簡(jiǎn)單的物理原理解釋，本文不再贅述。從已發(fā)表的文章中[9]可知，到達(dá)籃筐時(shí)入射角度越大，命中率越高。投籃以后旋球方式出手，會(huì)增大入射角度。但是否旋轉(zhuǎn)速度越大就命中率越高呢？在考慮運(yùn)動(dòng)員的體能消耗時(shí)，投籃的出手角度和出手速度是否略作調(diào)整呢？這樣的研究少有人涉及。本文正是根據(jù)現(xiàn)實(shí)中籃球飛行時(shí)受力情況，建立“三力”模型進(jìn)行數(shù)值模擬，求解籃球飛行軌跡。在保證命中率基礎(chǔ)上，討論出手角度、出手速度以及籃球旋轉(zhuǎn)之間的相互關(guān)系，試圖對(duì)實(shí)際的籃球投籃訓(xùn)練給予理論性指導(dǎo)。

圖1 后旋、前旋和無旋球的對(duì)比

（a）飛行軌跡 （b）飛行速度 （c）出手角度

3.3 三種因素對(duì)命中率的綜合影響

3.3.1 最佳出手狀態(tài) 現(xiàn)實(shí)中的投籃，不管是訓(xùn)練中，還是賽場(chǎng)上，命中率都受到很多因素的制約。本文建立的模型相較于其他研究，考慮更多的受力，與現(xiàn)實(shí)情況更符合。此外，只考慮一種因素對(duì)命中率的影響并不能指導(dǎo)平時(shí)訓(xùn)練。因?yàn)橥痘@時(shí)，通常都是多種因素影響命中率。而且，各種因素彼此之間也會(huì)相互干擾。本文建立“三力”模型，將出手速度，出手角度，籃球旋轉(zhuǎn)角速度同時(shí)設(shè)定為影響投籃命中率的參量，通過計(jì)算，試圖發(fā)現(xiàn)彼此之間的關(guān)系以及對(duì)命中率的綜合影響。根據(jù)分析結(jié)果，用以指導(dǎo)籃球運(yùn)動(dòng)員的平時(shí)訓(xùn)練，使運(yùn)動(dòng)員在各種因素最適合的范圍內(nèi)加以練習(xí)，形成對(duì)身體肌肉的條件反射。這樣，在比賽時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率才能得以提高。

投籃者自身的條件并不相同，本文主要是討論出手速度、出手角度及籃球旋轉(zhuǎn)角速度對(duì)命中率的影響。因此，固定投籃者的出手高度=1.9m，以籃筐為中心點(diǎn)，以罰球線與籃筐距離為半徑作半圓，投籃者位于半圓的任意位置上（投籃者與籃筐距離=4.325m）。

表1 命中率與出手狀態(tài)

通過對(duì)比可以看出，低于模型計(jì)算出的最佳出手狀態(tài)時(shí)，其命中率較低；而高于該速度的出手狀態(tài)，則命中率幾乎沒有太大變化。因此，運(yùn)動(dòng)員以模型計(jì)算出的最佳出手狀態(tài)范圍進(jìn)行訓(xùn)練，會(huì)獲得最大的“性價(jià)比”。圖3計(jì)算的結(jié)果是固定投籃者的身高，出手點(diǎn)高度，出手點(diǎn)離籃圈水平距離等因素，當(dāng)投籃的條件變化時(shí)，可以求出不同的出手狀態(tài)最佳訓(xùn)練范圍，做到因人而異，因環(huán)境變化而改變。

圖2 命中投籃的出手狀態(tài)

圖3 尋找最佳投籃狀態(tài)范圍

3.3.2 籃球的旋轉(zhuǎn)速度分析 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為，籃球的旋轉(zhuǎn)一定會(huì)提高命中率，但對(duì)此進(jìn)行原理性分析以及比較旋球和非旋球命中率的研究卻非常少見。本文3.2中只是簡(jiǎn)單討論旋球有利于增大入射角度及減小出手速度和出手角度，但后旋球是否可以與其它因素同時(shí)影響命中率仍未給出明確的結(jié)論。表2中給出了具體的對(duì)比結(jié)果?？梢悦黠@看出，與前旋和無旋球相比，后旋球的確可以提高命中率。表中得到的較低命中率，是因?yàn)橐詿o旋球最佳投籃狀態(tài)為基準(zhǔn)范圍，選取了臨近的三個(gè)范圍求出平均命中率。此種比較只是為了顯示后旋球?qū)γ新实挠绊?。如果以?中后旋球最佳出手狀態(tài)計(jì)算，命中率便會(huì)顯著提高。

表2 旋球?qū)γ新实挠绊?/p>

3.4 “三力”模型與“單力”模型對(duì)比分析

只考慮重力對(duì)籃球軌跡的影響，投籃軌跡需滿足如下條件：

考慮到球性[14]對(duì)籃球投籃的影響，本文將“單力”（只受重力）和“三力”模型下相同出手角度和出手速度的命中率進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3所示。分析時(shí)，選取了專業(yè)運(yùn)動(dòng)員和普通人在兩種模型下命中率的對(duì)比。目的是證明本文模型也適用于普通籃球愛好者進(jìn)行訓(xùn)練指導(dǎo)。考慮到專業(yè)運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過訓(xùn)練，出手狀態(tài)的起伏要小于普通人。顯然，“三力”模型的命中率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于單力模型。而三分球命中率的降低是因?yàn)橥痘@距離較遠(yuǎn)，出手速度自然提高，出手力將迅速增大。此時(shí)無論是專業(yè)運(yùn)動(dòng)員還是普通籃球愛好者，即便是出手狀態(tài)的起伏仍在5%和10%，但出手速度范圍將擴(kuò)大，導(dǎo)致命中率會(huì)降低，這也符合實(shí)際情況。

表3 “單力”模型與“三力”模型命中率比較

為何“三力”模型的命中率會(huì)更高，是因?yàn)槠洳粌H考慮三種力作用在籃球上，更符合真實(shí)情況。同時(shí)，“三力”中的瑪格努斯力是由于籃球因旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生上下壓強(qiáng)變化形成的力，這是前文比較后旋球、前旋球和無旋球的目的所在。圖4中給出“單力”模型與“三力”模型在出手速度與出手角度方面的對(duì)比。以模型計(jì)算得到的命中投籃為樣本，“三力”模型因?yàn)榭紤]力較多，相對(duì)出手速度大，更費(fèi)力。但由于后旋球會(huì)減小出手角度，增大入射角度，這一特點(diǎn)卻恰好可以彌補(bǔ)因出手速度大而耗費(fèi)的體力。

圖4 “單力”模型與“三力”模型出手角度與出手速度比較

4 總 結(jié)

籃球運(yùn)動(dòng)員平時(shí)訓(xùn)練主要目的是產(chǎn)生肌肉的條件反射，在任何距離投籃都要形成習(xí)慣。如果能以科學(xué)分析指導(dǎo)訓(xùn)練，則會(huì)事半功倍。本文建立“三力”模型，真實(shí)的反應(yīng)了籃球飛行中的受力情況。將出手角度、出手速度及籃球旋轉(zhuǎn)速度三種參數(shù)輸入模型，通過命中率求解不同投籃距離時(shí)的最佳出手狀態(tài)。通過對(duì)比，可以看出，在最佳出手狀態(tài)附近范圍內(nèi)命中率最高，也最節(jié)約體力。而“三力”模型中的瑪格努斯力是因籃球旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的，因此導(dǎo)致后旋球投籃可以增加命中率。“三力”模型與“單力”模型比較，精確的計(jì)算出了出手速度和出手角度的差別，并且命中率也有顯著提高。

本文對(duì)投籃最佳狀態(tài)范圍的確定是以模型求解值為中心，以該值的5%為鄰域，取隨機(jī)正態(tài)分布而構(gòu)成。自然，鄰域范圍也可以相對(duì)擴(kuò)大，這樣訓(xùn)練時(shí)的可以由大范圍逐漸減小。本項(xiàng)工作受到南京信息工程大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃支持，后續(xù)工作以設(shè)計(jì)傳感器為主要目標(biāo)，可以實(shí)時(shí)的測(cè)量運(yùn)動(dòng)員投籃時(shí)出手速度、出手角度即籃球旋轉(zhuǎn)速度，根據(jù)模型的理論結(jié)果，對(duì)運(yùn)動(dòng)員的訓(xùn)練給予監(jiān)測(cè)和指導(dǎo)。

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Research on the Best Shooting State Based on the “Three Forces” Model

LIU Xuguang1, ZHAO Ruqing2, ZHANG Yanan3

1.Nanjing University of Information Science&Technology, Nanjing Jiangsu, 210014, China;2.Nanjing University of Information Science&Technology, Nanjing Jiangsu, 210014, China;3.Nanjing University of Information Science&Technology, Nanjing Jiangsu, 210014, China.

The shooting state during shooting refers to the basketball's shooting speed, shooting angle and the ball's rotation speed. The basketball flight path is also related to these factors. based on the three forces of Gravity, Air Resistance and Magnus Force, the "Three Forces" model is established, the Kinetic equations are derived, the basketball flight trajectory is solved by simulation, and the best shot state when shooting is obtained through the hit rate. In the “Three Force” model, the shot speed is faster and the shot is harder, the backspin will reduce the angle of the shot and achieve the goal of saving effort. By calculating the best shot state and giving the athlete's usual training state range, you can guide the training, thereby improving the athlete's hit rate during the game.

Kinetic equations; Trajectory; Magnus Force; Best state

1007―6891（2021）05―0057―05

10.13932/j.cnki.sctykx.2021.05.13

G841

A

2020-11-30

2021-01-07

南京信息工程大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（課題編號(hào)：201910300292）。