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        基于均值半絕對偏差的一種投資組合最優(yōu)化模型

        2021-09-16 09:47:04
        關(guān)鍵詞:整數(shù)度量證券

        瑛 瑛

        (呼倫貝爾學(xué)院 內(nèi)蒙古 海拉爾 021008)

        1 引言

        現(xiàn)代投資組合理論是基于馬科維茨(1952年)[1]的工作。馬科維茨利用方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量把投資組合選擇問題數(shù)量化。在1991年,Konno和Yamazaki[2]首次提出以均值絕對偏差(MAD)為風(fēng)險(xiǎn)度量的投資組合選擇問題的線性規(guī)劃模型。在1993年,Speranza[3]利用均值半絕對偏差代替MAD并指出該風(fēng)險(xiǎn)度量等價(jià)于MAD,又減少了數(shù)學(xué)規(guī)劃模型中的約束個(gè)數(shù)。同年,F(xiàn)einstein和Thapa[4]又獨(dú)立地提出這兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量的等價(jià)性。利用均值半絕對偏差度量風(fēng)險(xiǎn)比方差度量風(fēng)險(xiǎn)更加科學(xué)合理,因?yàn)樵谶M(jìn)行投資時(shí),往往只擔(dān)心收益率低于期望收益的部分,只有低于期望收益率的投資才會帶來風(fēng)險(xiǎn)[5]。

        一般,在實(shí)際的投資組合中,股票的單位數(shù)必須是整數(shù),又結(jié)合我國證券市場實(shí)際情況,本文考慮一種帶有固定交易費(fèi)用和整數(shù)交易單位的投資組合,以均值半絕對偏差為風(fēng)險(xiǎn)度量建立了混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。

        2 模型建立

        假設(shè)一個(gè)投資者在種證券中分配他的資金,收益率是隨機(jī)的。令N=1,2,…,n表示有價(jià)證券集合,定義R=(R1,R2,…,Rn)為表示n種證券收益率的n個(gè)隨機(jī)變量組成的向量,均值為rj=E[Rj],j∈N.又假設(shè)每個(gè)隨機(jī)變量Rj,j∈N是離散的,它的值由其在特定場景下的實(shí)現(xiàn)值給出。

        均值半絕對偏差是指投資組合的實(shí)際收益率低于平均收益率的絕對值[6],將其簡單地稱為均值半偏差,可表示成數(shù)學(xué)表達(dá)式

        γ(X)=E[mzx{μ(x)-Rx,0}]

        (1)

        均值半偏差等于均值絕對偏差的一半,即

        因此,相應(yīng)的均值半絕對偏差模型等價(jià)于MAD模型。因?yàn)殡x散隨機(jī)變量是由其實(shí)現(xiàn)值表示的,所以,式(1)的均值半偏差為實(shí)現(xiàn)值μt的凸分段線性函數(shù),也是投資組合X本身的凸分段線性函數(shù),且LP可計(jì)算的,如:

        使yt≥μ(x)-μt,yt≥0,對t=1,…,T.

        (2)

        其中非負(fù)變量yt表示場景t=1,…,T下的下行偏差。

        引入一些附加的符號。設(shè)g表示證券投資所得稅,且cj,j∈N表示選擇證券j時(shí)投資組合的固定交易費(fèi)用。定義Sj,j∈N為證券j,j∈N在投資組合選擇日的報(bào)價(jià),令uj表示為證券j所購買的股票單位數(shù)量的上界。一般,單個(gè)證券投資的上界是以其日平均交易量的百分比計(jì)算。當(dāng)這些信息無法獲得時(shí),每個(gè)證券j的最大股票單位數(shù)可近似計(jì)算為[c/sj],其中c是可用于投資的資金。μ0表示投資者要求的最低收益率。當(dāng)μ0=0時(shí)可得到所謂的最大安全投資組合。

        每個(gè)變量xj,j∈N表示證券j選擇的股票單位數(shù)。變量zj,j∈N為二進(jìn)制變量,能夠表示證券j的交易費(fèi)用[7]。僅當(dāng)證券j被選擇時(shí)產(chǎn)生固定費(fèi)用cj.即

        (3)

        當(dāng)考慮固定交易費(fèi)用、實(shí)現(xiàn)收益的稅和整數(shù)交易單位時(shí),最大安全投資組合問題可以表述為以下混合整數(shù)線性規(guī)劃問題:

        (4)

        (5)

        (6)

        (7)

        xj-ujzj≤0,j=1,…,n

        (8)

        yt≥0,t=1,4,…,T

        (9)

        xj≥0整數(shù)j=1,…,n

        (10)

        zj∈{0,1},j=1,…,n

        (11)

        3 數(shù)值分析

        首先,選取滬深股市30只股票涉及到不同的行業(yè),下載了從2019 年 11 月 28 日至 2020 年 4 月 1 日90個(gè)交易日的日線于Excel表格中,計(jì)算出每只股票的日收益率及其平均值[8],并以這些數(shù)據(jù)為樣本,創(chuàng)建了三個(gè)數(shù)據(jù)集nd1,nd2,nd3。所有股票的固定交易成本水平設(shè)定為一個(gè)常數(shù),即cj=c,?j∈n.在第一和第三數(shù)據(jù)集的情況考慮固定成本等于2,第二數(shù)據(jù)集考慮固定成本等于0.5,假設(shè)三種情況投資資本的價(jià)值都等于2000。

        我們已經(jīng)在CPLEX20.1.0測試了數(shù)據(jù)集及投資組合模型的有效性。在本次實(shí)驗(yàn)中,假設(shè)g=0.06,λ=0.01,μ0=0.

        表1 數(shù)據(jù)集1中十種股票的日收益率均值

        表2 數(shù)據(jù)集2中十種股票的日收益率均值

        表3 數(shù)據(jù)集3中十種股票的日收益率均值

        表4 三種數(shù)據(jù)情況下最優(yōu)投資策略

        計(jì)算結(jié)果表明,取三種不同數(shù)據(jù)集的情況下,都得到了整數(shù)最優(yōu)解集。每個(gè)整數(shù)表示三種情況最優(yōu)投資組合中相應(yīng)股票的個(gè)數(shù),收益和風(fēng)險(xiǎn)分別表示三種情況下最大收益和最小風(fēng)險(xiǎn)值。由于考慮股票的時(shí)間段正是我國新冠肺炎疫情比較嚴(yán)重的時(shí)期,投資收益普遍低,尤其第二組數(shù)據(jù)所有股票表現(xiàn)都不好,在這種情況下已得到了最優(yōu)解表明本文建立的投資組合模型是合理有效的,在實(shí)際投資中有一定的指導(dǎo)作用。

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