瑛 瑛

(呼倫貝爾學(xué)院 內(nèi)蒙古 海拉爾 021008)

1 引言

現(xiàn)代投資組合理論是基于馬科維茨(1952年)[1]的工作。馬科維茨利用方差作為風(fēng)險度量把投資組合選擇問題數(shù)量化。在1991年，Konno和Yamazaki[2]首次提出以均值絕對偏差(MAD)為風(fēng)險度量的投資組合選擇問題的線性規(guī)劃模型。在1993年，Speranza[3]利用均值半絕對偏差代替MAD并指出該風(fēng)險度量等價于MAD，又減少了數(shù)學(xué)規(guī)劃模型中的約束個數(shù)。同年，F(xiàn)einstein和Thapa[4]又獨立地提出這兩個風(fēng)險度量的等價性。利用均值半絕對偏差度量風(fēng)險比方差度量風(fēng)險更加科學(xué)合理，因為在進行投資時，往往只擔(dān)心收益率低于期望收益的部分，只有低于期望收益率的投資才會帶來風(fēng)險[5]。

一般，在實際的投資組合中，股票的單位數(shù)必須是整數(shù),又結(jié)合我國證券市場實際情況，本文考慮一種帶有固定交易費用和整數(shù)交易單位的投資組合，以均值半絕對偏差為風(fēng)險度量建立了混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。

2 模型建立

假設(shè)一個投資者在種證券中分配他的資金，收益率是隨機的。令N=1,2,…,n表示有價證券集合，定義R=(R1,R2,…,Rn)為表示n種證券收益率的n個隨機變量組成的向量，均值為rj=E[Rj]，j∈N.又假設(shè)每個隨機變量Rj,j∈N是離散的，它的值由其在特定場景下的實現(xiàn)值給出。

均值半絕對偏差是指投資組合的實際收益率低于平均收益率的絕對值[6]，將其簡單地稱為均值半偏差，可表示成數(shù)學(xué)表達式

γ(X)=E[mzx{μ(x)-Rx,0}]

(1)

均值半偏差等于均值絕對偏差的一半，即

因此，相應(yīng)的均值半絕對偏差模型等價于MAD模型。因為離散隨機變量是由其實現(xiàn)值表示的，所以，式(1)的均值半偏差為實現(xiàn)值μt的凸分段線性函數(shù)，也是投資組合X本身的凸分段線性函數(shù)，且LP可計算的，如：

使yt≥μ(x)-μt，yt≥0，對t=1，…，T.

(2)

其中非負(fù)變量yt表示場景t=1,…,T下的下行偏差。

引入一些附加的符號。設(shè)g表示證券投資所得稅，且cj,j∈N表示選擇證券j時投資組合的固定交易費用。定義Sj,j∈N為證券j,j∈N在投資組合選擇日的報價，令uj表示為證券j所購買的股票單位數(shù)量的上界。一般，單個證券投資的上界是以其日平均交易量的百分比計算。當(dāng)這些信息無法獲得時，每個證券j的最大股票單位數(shù)可近似計算為[c/sj]，其中c是可用于投資的資金。μ0表示投資者要求的最低收益率。當(dāng)μ0=0時可得到所謂的最大安全投資組合。

每個變量xj,j∈N表示證券j選擇的股票單位數(shù)。變量zj,j∈N為二進制變量，能夠表示證券j的交易費用[7]。僅當(dāng)證券j被選擇時產(chǎn)生固定費用cj.即

(3)

當(dāng)考慮固定交易費用、實現(xiàn)收益的稅和整數(shù)交易單位時，最大安全投資組合問題可以表述為以下混合整數(shù)線性規(guī)劃問題：

(4)

(5)

(6)

(7)

xj-ujzj≤0,j=1,…,n

(8)

yt≥0,t=1,4,…,T

(9)

xj≥0整數(shù)j=1,…,n

(10)

zj∈{0,1},j=1,…,n

(11)

3 數(shù)值分析

首先，選取滬深股市30只股票涉及到不同的行業(yè)，下載了從2019 年 11 月 28 日至 2020 年 4 月 1 日90個交易日的日線于Excel表格中，計算出每只股票的日收益率及其平均值[8]，并以這些數(shù)據(jù)為樣本，創(chuàng)建了三個數(shù)據(jù)集nd1,nd2,nd3。所有股票的固定交易成本水平設(shè)定為一個常數(shù)，即cj=c,?j∈n.在第一和第三數(shù)據(jù)集的情況考慮固定成本等于2，第二數(shù)據(jù)集考慮固定成本等于0.5，假設(shè)三種情況投資資本的價值都等于2000。

我們已經(jīng)在CPLEX20.1.0測試了數(shù)據(jù)集及投資組合模型的有效性。在本次實驗中，假設(shè)g=0.06,λ=0.01,μ0=0.

表1 數(shù)據(jù)集1中十種股票的日收益率均值

表2 數(shù)據(jù)集2中十種股票的日收益率均值

表3 數(shù)據(jù)集3中十種股票的日收益率均值

表4 三種數(shù)據(jù)情況下最優(yōu)投資策略

計算結(jié)果表明，取三種不同數(shù)據(jù)集的情況下，都得到了整數(shù)最優(yōu)解集。每個整數(shù)表示三種情況最優(yōu)投資組合中相應(yīng)股票的個數(shù)，收益和風(fēng)險分別表示三種情況下最大收益和最小風(fēng)險值。由于考慮股票的時間段正是我國新冠肺炎疫情比較嚴(yán)重的時期，投資收益普遍低，尤其第二組數(shù)據(jù)所有股票表現(xiàn)都不好，在這種情況下已得到了最優(yōu)解表明本文建立的投資組合模型是合理有效的，在實際投資中有一定的指導(dǎo)作用。