林欽

數(shù)形結(jié)合思想將“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、抽象的問題直觀化，而且能夠變抽象的數(shù)學(xué)語言為直觀的圖形，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生解決問題的能力。通過以形析數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形相融等方式，教師可以使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、抽象的問題直觀化，提升學(xué)生的思維能力。

一、以形析數(shù)，變抽象為形象

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師借助直觀形象的幾何圖形、位置關(guān)系來分析抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系，降低數(shù)學(xué)解題難度，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維。

1.以形助數(shù)，清晰地認(rèn)識(shí)數(shù)

“數(shù)”與“形”是一種特定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有的數(shù)量比較抽象，學(xué)生難以把握，而“形”具有直觀、形象的特點(diǎn)，能夠表達(dá)具體形象的思維，在解決問題中起著直觀可視的作用。為此，教學(xué)時(shí)我們可以把“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系找出來，借助直觀圖形來認(rèn)識(shí)抽象的數(shù)，幫助學(xué)生樹立用直觀圖形來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意識(shí)。例如，在教學(xué)“1～5的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師從生活中的具體事物入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察主題圖，從中找到數(shù)學(xué)的生活原型，如1只狗、2只鵝、3只鳥、4只雞、5個(gè)南瓜等，再讓學(xué)生把這些具體事物抽象為用數(shù)字1、2、3、4、5表示。接著，為了凸顯這些數(shù)的本質(zhì)特征，反映數(shù)量逐個(gè)增加的過程，教師可以借助幾何直觀，引出這些數(shù)可以用1根小棒、2根小棒、3根小棒（擺成三角形）、4根小棒（擺成正方形）、5根小棒（擺成五邊形）表示。為此，用圖形表示數(shù)，把抽象的數(shù)量的增加轉(zhuǎn)化成學(xué)生眼睛看得見、手摸得到的真真切切的小棒的增加，幫助學(xué)生抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，建立數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，以形助數(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然融合。

2.以形析數(shù)，厘清數(shù)量關(guān)系

小學(xué)生理解能力與分析能力有限，在面對(duì)一些復(fù)雜問題時(shí)往往不知如何下手，很難厘清這些復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系。而借助數(shù)形結(jié)合，則可讓復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、具體化，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，依據(jù)數(shù)學(xué)題目的文字描述，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單圖形，從而降低數(shù)學(xué)解題難度。例如，在解決分?jǐn)?shù)知識(shí)相關(guān)問題時(shí)，有這樣一道題：“有一箱蘋果，小明一家吃了3/4，還剩下18個(gè)蘋果，這箱蘋果總共有多少個(gè)？”由于學(xué)生倒推能力較弱，加上里面出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，學(xué)生解題時(shí)往往茫然無措。這時(shí)，教師可以先畫一個(gè)正方形，相當(dāng)于題目中裝蘋果的箱子，然后將正方形平均分為4部分，其中三部分涂上紅色，代表已經(jīng)吃掉的3份，剩下的一份不涂顏色，告訴學(xué)生是18個(gè)蘋果。這樣，學(xué)生知道剩下的1/4是18個(gè)蘋果，自然用18÷（1-3/4）計(jì)算出正確答案。原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，在教師所畫圖形的引導(dǎo)下，學(xué)生就能正確梳理其中的數(shù)量關(guān)系，從而解答問題。

二、以數(shù)解形，變感性為理性

在小學(xué)階段，學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算圖形的周長(zhǎng)、平面圖形的面積、立體圖形的體積時(shí)，通常運(yùn)用以“數(shù)”解“形”的方法，把“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的形式，用已學(xué)過的知識(shí)將圖形用代數(shù)式表達(dá)出來，再根據(jù)條件和結(jié)論的聯(lián)系，利用相應(yīng)的公式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。

例如，在教學(xué)“三角形的分類”一課時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察三角形中角的度數(shù)大小與三條邊的情況，辨別三角形的種類。然后，教師放手讓學(xué)生獨(dú)立思考：如何分類？分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？再組織學(xué)生小組交流，最后指名匯報(bào)。這時(shí)，學(xué)生可能會(huì)采取各種各樣的分類方式，教師再引導(dǎo)學(xué)生以角為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。這樣，學(xué)生通過親身體驗(yàn)、操作測(cè)量，充分感知不同類型的三角形的角的度數(shù)所包含的圖形特征。通過“數(shù)”和“形”的結(jié)合，讓學(xué)生辨別三角形與角的大小之間的關(guān)系。這樣，學(xué)生只要結(jié)合三角形內(nèi)角和與已知三角形中兩個(gè)角的度數(shù)，都能借助角的度數(shù)去判斷三角形的種類問題。學(xué)生一看到相關(guān)三角形的度數(shù)時(shí)，馬上能聯(lián)系到不同的三角形的特征，在頭腦中建立起三角形的不同模型。從而感受以“數(shù)”解“形”的過程，形成良好的數(shù)感，也培養(yǎng)了邏輯思維能力。

三、數(shù)形相融，變現(xiàn)象為本質(zhì)

“形”與“數(shù)”相融就是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，需要“形”與“數(shù)”互相滲透融合，不僅從“數(shù)”聯(lián)想到直觀的“形”，而且還由直觀的“形”變成“數(shù)”，從中找出“形”與“數(shù)”內(nèi)在的聯(lián)系，做到看“形”思“數(shù)”，見“數(shù)”想“形”。

例如，在計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32時(shí)，按照一般的方法，學(xué)生可能先進(jìn)行通分，再按同分母分?jǐn)?shù)加法的法則計(jì)算出結(jié)果。從題目中可以看出，這不是一般意義上的計(jì)算題，應(yīng)透過一般現(xiàn)象找到本質(zhì)的東西來加以解決。為此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察每一個(gè)加數(shù)的特點(diǎn)，把每一個(gè)加數(shù)通過圖1表現(xiàn)出來。

通過觀察圖1中各加數(shù)的關(guān)系，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)，計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32，實(shí)際就是計(jì)算1-1/32。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察圖形，學(xué)生卻不明白圖形要表達(dá)的意思，只要在圖1中標(biāo)上數(shù)據(jù)，當(dāng)“數(shù)”與“形”相互融合時(shí)學(xué)生就能一目了然，從而順利解決問題。

又如在教學(xué)“組合圖形的面積”時(shí)，我們可以從生活情境導(dǎo)入，借助圖形，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，去探究，去解決問題，有效地培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維與求異思維。在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，教師出示這樣的一道練習(xí)題：如圖2，大家能否算一算，制作一面中隊(duì)旗要用多少布？面對(duì)組合圖形的面積，學(xué)生不可能有現(xiàn)成的公式進(jìn)行計(jì)算，必須思考如何進(jìn)行割補(bǔ)轉(zhuǎn)化。

第一種：分割成兩個(gè)梯形，第二種：分割成一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)三角形，第三種：添補(bǔ)成一個(gè)大長(zhǎng)方形減去三角形。

……

在探究、解決問題的過程中，借助數(shù)形結(jié)合，可以把復(fù)雜內(nèi)容具體化、形象化。學(xué)生在對(duì)直觀圖形的觀察、分析、轉(zhuǎn)化等一系列過程中，讓解決問題的方法多樣化，從而提高思維能力。

（作者單位：福建省福清市教師進(jìn)修學(xué)校）