沈虹

【內(nèi)容摘要】初中方程這一單元的整體建構(gòu)教學，其設(shè)置核心是幫助學生自主建構(gòu)方程相關(guān)知識的框架，更為上位的整體規(guī)劃學生核心素養(yǎng)的發(fā)展，為一元一次方程的后續(xù)學習和其他方程的繼續(xù)研究提供方向、方法和動力。

【關(guān)鍵詞】整體架構(gòu) ?章起始課 ?方程

近年來，核心素養(yǎng)的研究與培養(yǎng)成為國際教育界的熱點問題。我國也明確提出了對學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系的要求，學界再次聚焦單元整體建構(gòu)教學，希望通過單元的整體設(shè)計落實核心素養(yǎng)的養(yǎng)成①。下面，筆者將結(jié)合自己在某次比賽中執(zhí)教的“一元一次方程”章起始課，分享初中方程教學的整體架構(gòu)思路和類比遞進式的教學方法。

章起始課是從數(shù)學知識的生長脈絡(luò)出發(fā)，根據(jù)教學規(guī)律，為整章知識構(gòu)建了宏偉的藍圖，使學生了解一章內(nèi)容或幾個單元內(nèi)容的相關(guān)背景、應用價值，初步認識知識脈絡(luò)體系及其與其他知識的聯(lián)系②。本次方程章起始課的教學采用先行組織，類比思考，整體建構(gòu)的思路展開，現(xiàn)將教學主要環(huán)節(jié)及相關(guān)分析呈現(xiàn)如下。

一、教材分析

蘇科版教材七年級上冊第4章“一元一次方程”，主要研究一元一次方程的概念、方程的解、解方程及其應用，它是課本第三章代數(shù)式的后面一個章節(jié)內(nèi)容，可以理解為是對代數(shù)式的拓展與升華，也為后續(xù)研究不等式及其應用打下基礎(chǔ)，更為研究其他方程提供研究方向和方法。

二、學情分析

七年級學生的思維正從具象發(fā)展到抽象，而本節(jié)章起始課作為初中數(shù)學方程的第一節(jié)課，筆者認為很有必要通過設(shè)置一定的情境，讓學生主動感悟列方程的必要性和優(yōu)越性。學生在學習本節(jié)之前已有如下知識經(jīng)驗積累：（1）會通過設(shè)未知數(shù)列出簡單的方程（2）會通過等式的基本性質(zhì)解簡單的一元一次方程（3）代數(shù)式的學習經(jīng)歷概念、分類、代數(shù)式的值。

基于以上學情，筆者確定了本節(jié)課的研究路徑;類比已有的認知經(jīng)驗，自主生成本節(jié)知識的大致框架。

三、教學目標

（1）初步認識、體會方程與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系;

（2）感悟方程的起源，了解一元一次方程的概念;

（3）建立初中方程體系的知識框架。

四、教學過程

（一）先行組織，學習回顧，感悟研究方程的一般方法

本次方程章起始課的導入考慮從第三章代數(shù)式出發(fā)，通過結(jié)合學生對代數(shù)式的分類，從而自覺喚醒學生的前經(jīng)驗，尤其是回顧的情境中不僅包含整式、分式，更有方程、不等式的滲透，再通過結(jié)合生活中的等量關(guān)系與不等關(guān)系的大量事實，讓學生感受到生活中處處有方程，從而自然過渡到本屆新授課方程的研究。而方程研究的一般方法與代數(shù)式類似，甚至后續(xù)不等式的研究也是如此。

（二）為什么學，充分感悟方程研究的必要性

對于首次接觸方程和用方程解決問題的初中生來說，研究方程的難點在于對方程必要性的感悟和復雜情境中等量關(guān)系的尋找。本節(jié)課作為方程章起始課，讓學生感悟列方程的必要性是首要前提。而蘇教版數(shù)學書中關(guān)于“丟番圖的墓志銘”可以作為課堂探究的有效素材，該事例的引用不僅可以讓學生初步感受方程解題的優(yōu)越性，還能在課堂中滲透數(shù)學史的教授。課堂中結(jié)合學生的反饋，可以了解到對于與數(shù)學重要公式相關(guān)或有杰出成就的數(shù)學家，大家還是較為熟悉，而對于國外的名人大咖還是了解較少，因此引導到大家并不熟悉的丟番圖，并介紹其墓志銘，自然過渡到丟番圖生平年齡問題的解決上。學生起初在本題的解決過程中還是躍躍欲試，其中用算術(shù)方法的同學約占全體一半，而能用算術(shù)方法解出本題的屈指可數(shù);另外一部分則嘗試用方程的方法解題，其中能列出正確方程的也為數(shù)不多。最終，本題的兩種解法都由學生代表闡述，其中算術(shù)方法由于其逆向思維的運用要求較高，這也是部分同學沒有得到結(jié)果的原因之一;而方程思想的直接、簡潔是大部分同學都能接受的。因此本題所要達到的目的就在于此，充分凸顯方程解決問題時的便捷與有效，充分刻畫方程是表達數(shù)量之間相等關(guān)系的“天平”，從而逐步開始建立方程模型思想。

（三）什么是方程，初步構(gòu)建探究方程內(nèi)容的框架

想讓學生重新認識、重新接受方程解題，其實對于部分習慣算數(shù)方法解題學生來說是一個很重要的轉(zhuǎn)折點，小學數(shù)學的教學過程中，方程只是作為一種解題工具，大部分學生對于方程還是感到陌生和不便的。因此，對于方程的起源，筆者從“方”與“程”的來源探究，借此引入部分數(shù)學史內(nèi)容，讓學生深層感知方程起源，并積發(fā)學習方程的興趣。中國古代在描述未知數(shù)表示的一組式子（即方程組）時，通過用算籌（古代一種計數(shù)工具）擺出各組系數(shù)，形成類似方陣的形狀，此為“方”的含義。我國古代數(shù)學家劉徽注釋《九章算術(shù)》說，“程，課程也。二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程?！睌?shù)學史的滲透是學生數(shù)學素養(yǎng)的積累過程，再通過結(jié)合相關(guān)現(xiàn)實情境，列出一系列方程，其中包含一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程、二元一次方程、三元一次方程、二元二次方程，通過小組合作探究以上不同方程的分類，利用不重復不遺漏的分類原則，及小組合作，匯總學生的不同分類標準，大致分為兩類，一類是按照未知數(shù)（元）的個數(shù)分類，可以分為一元、二元、三元……更多元等，另外一類是按照未知數(shù)的次數(shù)來分類，可以分為一次、二次、三次……更高次等，在該過程中，學生仿照未知數(shù)個數(shù)，提到未知數(shù)次數(shù)，而在此時，筆者通過引導3x+4y=20與xy=12的分類區(qū)別，幫助學生總結(jié)出這里的次數(shù)應該是“未知數(shù)所在項的次數(shù)”，這些話語的引導只需要借助第三章代數(shù)式的相關(guān)多項式各項系數(shù)的內(nèi)容回顧，學生的前經(jīng)驗就很容易被喚醒，并聯(lián)系到此次方程的概念教學中。掌握這部分內(nèi)容，對初中整個方程體系的概念及概念的應用都可以運用類比思想學習。

（四）如何來學，有序展開一元一次方程內(nèi)容的學習

初中階段的方程學習體現(xiàn)研究方法的一致性，這也是方程章起始課存在的價值所在。以上內(nèi)容，由學生自主歸納總結(jié)出一元一次方程的特點，給出一元一次方程的概念，滲透從一般到特殊的思想方法，也是研究復雜問題往往從最簡單的類型著手的思維方式，再通過類比得出黑板上其他方程的命名，感悟從特殊到一般的數(shù)學思想。而丟番圖最后的年齡之謎則涉及方程的解和解方程，并最終通過方程建模解決實際問題中的各個難題。一元一次方程的研究思路“概念—方程的解—解方程—應用”與初中后續(xù)的二元一次方程和一元二次方程類似，在此加強學生對方程類比學習的意識，甚至在日后的不等式學習中也可以借鑒相關(guān)方法和思想。

（五）課堂小結(jié)，鞏固研究探究方程的活動經(jīng)驗

這個環(huán)節(jié)代替了小結(jié)與思考，通過總結(jié)“實際問題—建立模型—求解驗證—解決問題”的探究思路，從而完成本節(jié)課的學習，也是一次初中生與數(shù)學建模思想近距離接觸的機會。本節(jié)課作為方程的章起始課，方法的教授明顯更重于內(nèi)容的灌輸，對于活動經(jīng)驗進行及時的總結(jié)，才能真正達到“授之以魚不如授之以漁”的效果。學生通過本節(jié)課的學習，已基本能掌握方程學習的一般思路，并通過類比代數(shù)式的學習，對整式方程、分式方程甚至不等式也有一定的了解，為后續(xù)方程的學習奠定扎實的基礎(chǔ)。

五、教學分析

（一）科學定位，內(nèi)容重整，發(fā)揮整體建構(gòu)功能

放眼長遠看全局，章起始課的教學對全節(jié)教學有提綱挈領(lǐng)的作用，能讓學生感受數(shù)學知識的整體性和系統(tǒng)性，讓學生明白本節(jié)內(nèi)容的由來和學習的必要性，從而增強學生學習的主動性和自覺性。筆者在對蘇教版數(shù)學七上方程一單元的教學內(nèi)容進行完全的解讀后，聯(lián)系之前所學的代數(shù)式、聯(lián)想后面要學的不等式，將部分代數(shù)式的研究方法正遷移到方程的研究中來，強化初中方程研究的一般思路的相似性，對教學內(nèi)容進行整合、重組，學生能通過本節(jié)章起始課對本單元形成一個框架性認識，形成整個方程學習的認知地圖，養(yǎng)成了學生的全局思維能力，明確本單元后續(xù)階段學習的方向和研究方法。

（二）低位切入，引領(lǐng)學生數(shù)學思維自然生長

在章起始課的教學前，最重要的準備工作就是進行整體分析。根據(jù)學生實際，確定教學流程。只有全面了解學生的思維規(guī)律，把握學生的認知特點，才能真正地理解學生。對于初中方程的學習，學生既具備小學時學習方程的大致印象，又具備初中第三章關(guān)于代數(shù)式學習的相關(guān)經(jīng)驗，因此筆者通過展示不同代數(shù)式，讓學生分類，通過學生前經(jīng)驗的喚醒，低位切入本節(jié)課的教授內(nèi)容，大大提高了學生的參與度和積極性。

（三）精準設(shè)問，遞進式教學促進素養(yǎng)提升

章起始課沒有文本教材可以依據(jù)，沒有傳統(tǒng)的教學目標可以參考，內(nèi)容要涉及一章的核心知識和數(shù)學思想。除了給學生展示單元內(nèi)容及其內(nèi)在邏輯聯(lián)系外，還要體現(xiàn)本單元內(nèi)容或相關(guān)內(nèi)容的學習方法，從而引導學生學習該單元知識的基本方法。因此，章起始課的重要價值在于引導學生想要達到“欲窮千里目”的效果，此處需要“先上一層樓”，而在這里重要的登樓階梯就是課堂中一個個精準的設(shè)問。例如：問題1“你認為在這里只需要未知數(shù)的次數(shù)為1就是一次方程嗎？”這一問引導學生思考一元一次方程概念的表述需要更嚴謹，問題2“根據(jù)一元一次方程的研究思路，請你大膽猜測二元一次方程和一元二次方程的研究思路會是怎樣？”這一問則體現(xiàn)方程章起始課在初中方程教學中的引領(lǐng)作用。

六、結(jié)論與思考

通過本節(jié)方程章起始課的教學實踐證明，單元整體建構(gòu)教學有利于學生先從宏觀上構(gòu)建認知的整體方向，讓學生從整體上把握研究方向，研究路徑，進而習得學習方法。充分發(fā)揮正遷移作用，引領(lǐng)學生利用舊知得到新知。由于學生有了積極的情感，就可以實現(xiàn)減負增效的良性循環(huán)。而課堂中筆者恰當?shù)剡\用多模態(tài)教學，通過相關(guān)視頻、圖片的展示，把抽象內(nèi)容可視化，靜態(tài)內(nèi)容動態(tài)化。雖然數(shù)學的內(nèi)容很難通過一節(jié)課或一個知識點就將其本質(zhì)表述清楚，但數(shù)學知識之間并不是孤立存在的，章起始課只需要讓學生經(jīng)歷概念的形成過程，充分體會數(shù)學知識內(nèi)部的邏輯聯(lián)系，對數(shù)學的理解深刻了，應用時才能得心應手，也就真正能達到從“數(shù)學知識”到“數(shù)學思想”再到“數(shù)學素養(yǎng)”的逐步提升，充分發(fā)揮數(shù)學學科的育人價值。

【注釋】

① 章飛、顧繼玲. 單元教學的核心思想與基本路徑[J]. 數(shù)學通報，2019，58（10）：23-28.

② 周遠方、方延偉、葉俊杰. “章引言”是起始課教學指路的明燈[J]. 數(shù)學通報，2015，54（5）：29-34.

（作者單位：江蘇省常州市東青實驗學校）