王 鑫，王 成+，李海波，賴雄鳴，陳葉旺

(1.華僑大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，福建 廈門 361021；2.廈門市企業(yè)互操作與商務(wù)智能工程技術(shù)研究中心,福建 廈門 361021；3.華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

模態(tài)參數(shù)識(shí)別是結(jié)構(gòu)健康與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中最重要的工具之一，在過(guò)去的幾十年中一直是表征和識(shí)別線性系統(tǒng)的最佳工具[1-4]。

在近十年中，盲源分離(Blind Source Separation, BSS)技術(shù)被越來(lái)越多的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究人員所關(guān)注，并被引入模態(tài)參數(shù)識(shí)別問(wèn)題中。2007年，PONCELET和ZHOU等[5-7]提出獨(dú)立分量分析(Independent Component Analysis, ICA)和二階盲識(shí)別(Second Order Blind Identification, SOBI)兩種基于BSS的模態(tài)識(shí)別方法，建立了分離成分和模態(tài)參數(shù)之間的一對(duì)一映射關(guān)系，較好地闡述了兩種方法應(yīng)用于模態(tài)識(shí)別的物理解釋。

然而B(niǎo)SS方法只能處理確定與超定下的模態(tài)參數(shù)識(shí)別問(wèn)題(即觀測(cè)傳感器數(shù)大于源信號(hào)數(shù))，在實(shí)際工程應(yīng)用中，源信號(hào)數(shù)量通常大于觀測(cè)傳感器數(shù)，此時(shí)盲源分離為欠定問(wèn)題，因此對(duì)欠定的盲源分離下的模態(tài)進(jìn)行識(shí)別具有研究意義。

稀疏成分分析(Sparse Component Analysis, SCA)是解決欠定盲源問(wèn)題的有效方法，該方法分為混合矩陣的估計(jì)和重構(gòu)源信號(hào)兩步。不同于ICA，SCA假設(shè)源信號(hào)在特定轉(zhuǎn)換域內(nèi)滿足稀疏性，稀疏變換的方法[8-11]很多，如短時(shí)傅里葉變換、小波變換。稀疏域下的觀測(cè)信號(hào)可以通過(guò)聚類方法得到模態(tài)振型矩陣，主要的聚類方法[12-17]有K-means聚類、模糊C-均值聚類(Fuzzy C-Means clustering, FCM)、基于密度的噪聲應(yīng)用空間聚類(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise, DBSCAN)等，近年來(lái)的改進(jìn)聚類算法有郭凌飛等[14]的改進(jìn)FCM算法、王飛宇等[15]的密度峰值聚類算法、GUAN等[8]的差分進(jìn)化的K-means聚類算法。在重構(gòu)信號(hào)時(shí)，BOYD等[17]利用l1范數(shù)最小優(yōu)化算法求最稀疏解，YONG等[12]采用l0數(shù)最小優(yōu)化算法恢復(fù)源信號(hào)。然而，以上文獻(xiàn)均未涉及欠定狀態(tài)下模態(tài)振型的特性問(wèn)題。

本文對(duì)欠定狀態(tài)下的模態(tài)置信準(zhǔn)則(Modal Assurance Criterion, MAC)評(píng)估方法、稀疏成分分析的模態(tài)評(píng)估以及模態(tài)陣型給出合理解釋，并通過(guò)數(shù)值和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，主要貢獻(xiàn)如下：①針對(duì)傳統(tǒng)BSS技術(shù)無(wú)法解決欠定的問(wèn)題，建立了基于SCA的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別框架，并與傳統(tǒng)BSS技術(shù)進(jìn)行對(duì)比；②對(duì)欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別振型的解釋和評(píng)價(jià)問(wèn)題提出欠定條件下識(shí)別振型的特點(diǎn)以及模態(tài)振型評(píng)價(jià)方法；③對(duì)欠定可識(shí)別模態(tài)數(shù)、模態(tài)遺漏和虛假模態(tài)問(wèn)題進(jìn)行討論并給出解釋。

1 基于BSS的工作模態(tài)識(shí)別

1.1 工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別的問(wèn)題描述

1.1.1 工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別理論

在振動(dòng)力學(xué)理論中，ndof自由度(Degrees of freedom, DOF)線性時(shí)不變系統(tǒng)的控制方程表示為

(1)

式中：M∈Rndof×ndof，C∈Rndof×ndof，K∈Rndof×ndof分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；F(t)∈Rndof×T，為外力矢量在T個(gè)時(shí)刻上的采樣樣本組成的矩陣。

根據(jù)振動(dòng)理論，對(duì)于一般工程結(jié)構(gòu)小阻尼，只要(系統(tǒng))結(jié)構(gòu)的各階固有頻率不相等，理論上就有ndof個(gè)模態(tài)，振動(dòng)位移響應(yīng)Xdet(t)=[x1(t),…,xi(t),…,xndof(t)]T可以在模態(tài)坐標(biāo)中分解為

(2)

Mr=(Φdet)TMΦdet；

Kr=(Φdet)TKΦdet。

(3)

各階模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)qi(t)相互獨(dú)立，利用單自由度(Single Degree of Freedom, SDOF)識(shí)別技術(shù)可以很容易地從各階模態(tài)響應(yīng)qi(t)中識(shí)別系統(tǒng)的第i階固有頻率fi和阻尼比ζi。

工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別是在沒(méi)有任何外力矢量F(t)(F(t)∈Rndof×T)先驗(yàn)信息的情況下，僅從位移響應(yīng)信號(hào)中識(shí)別模態(tài)振型和各階模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)，再?gòu)母麟A模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)中識(shí)別阻尼比和固有頻率。

1.1.2 工程中的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別

(4)

根據(jù)位移響應(yīng)傳感器個(gè)數(shù)n與系統(tǒng)自由度和理論模態(tài)數(shù)ndof之間的關(guān)系，有以下3種情況：

(1)為每個(gè)自由度布置的振動(dòng)傳感器多于1個(gè)，n>ndof，為超定狀態(tài)。

(2)為每個(gè)自由度布置1個(gè)振動(dòng)響應(yīng)傳感器，n=ndof，為正定狀態(tài)。

(3)n

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)一般都是連續(xù)體(可視作無(wú)限自由度系統(tǒng)，有無(wú)限個(gè)模態(tài))，應(yīng)用有限元理論，可離散化的自由度個(gè)數(shù)ndof也較大，而工程中可布置的位移響應(yīng)傳感器輸出個(gè)數(shù)n極為有限，難以為每個(gè)自由度布置1個(gè)傳感器，欠定情況大量存在。

1.2 盲源分離基本理論

在不考慮噪聲的情況下，BSS問(wèn)題的線性瞬時(shí)混合模型如圖1所示，可表示為

(5)

圖中:S(t)=[s1(t),…,sm(t)]T∈Rm×T,表示輸入的m個(gè)源信號(hào)在T個(gè)時(shí)刻上的采用樣本組成的矩陣;X(t)=[x1(t),…,xn(t)]Τ∈Rn×T,表示n個(gè)觀測(cè)信號(hào)在T個(gè)時(shí)刻上的采用樣本;A=[a1(t),…,am(t)]∈Rn×m,為混合矩陣。該模型的含義是m個(gè)源信號(hào)S(t)經(jīng)過(guò)A混合后得到的n個(gè)觀測(cè)信號(hào)X(t)。

(6)

在實(shí)際應(yīng)用下，根據(jù)盲信號(hào)分離中觀測(cè)信號(hào)數(shù)n與源信號(hào)數(shù)m的不同，有如下3種情況：①n>m，為超定盲源分離；②n=m，為正定盲源分離；③n

1.3 基于BSS的工作模態(tài)識(shí)別及存在的問(wèn)題

式(4)和式(5)的數(shù)學(xué)表達(dá)式有相似之處，而且模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)矩陣Q(t)和源信號(hào)S(t)各分量均相互獨(dú)立。獨(dú)立源信號(hào)個(gè)數(shù)m=ndof，工程模態(tài)振型矩陣Φ對(duì)應(yīng)混合矩陣A，模態(tài)響應(yīng)向量Q(t)對(duì)應(yīng)源信號(hào)的信號(hào)矩陣S(t)，顯然工作模態(tài)識(shí)別是一個(gè)特殊的BSS模型問(wèn)題，因此可以將BSS技術(shù)應(yīng)用于工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別領(lǐng)域，如圖2所示。

基于BSS的工作模態(tài)識(shí)別分為以下3類：①n>m=ndof，為超定狀態(tài)；②n=m=ndof，為正定狀態(tài)；③n

在傳統(tǒng)的BSS求解方法(如ICA和SOBI)中，分離系統(tǒng)W對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(7)

2 稀疏成分分析

SCA提供了解決BSS模型的替代方案，并可解決欠定問(wèn)題。

放棄獨(dú)立性假設(shè)，SCA假設(shè)源信號(hào)可以在轉(zhuǎn)換域中稀疏地表示(該轉(zhuǎn)換域稱為稀疏域)。基于此，將時(shí)域BSS模型線性變換為另一個(gè)稀疏ξ域(如傅里葉變換、小波變換[19]等)：

(8)

SCA識(shí)別的本質(zhì)是假設(shè)S(ξ)(S(ξ)=[s1(ξ),…,sj(ξ),…,sm(ξ)]Τ∈Cm×T)足夠稀疏且不相交，即在某個(gè)特定的稀疏域中，ξk∈Ω，最多有一個(gè)源向量sj′(ξ)(sj′(ξ)∈CT)是活躍的，且sj(ξ)=0(j=1,…,n)，其中j≠j′，則有

(9)

SCA涉及混合矩陣估計(jì)和實(shí)際源信號(hào)重建兩個(gè)主要階段，其中源信號(hào)能否恢復(fù)性能很大程度上取決于混合矩陣估計(jì)的準(zhǔn)確性?；赟CA的欠定BSS流程如圖3所示。

首先，通過(guò)稀疏變換(如短時(shí)傅里葉變換(Short-Time Fourier Transform, STFT))將時(shí)域觀測(cè)信號(hào)X(t)轉(zhuǎn)換為稀疏域X(ξ)；其次，采用單源點(diǎn)(Single Source Points,SSP)檢測(cè)算法[20]和聚類算法(如FCM聚類算法、改進(jìn)的K-means算法)估計(jì)混合矩陣；然后，重建稀疏域中的源信號(hào)(如采用最小二乘法)；最后，通過(guò)稀疏變換的逆變換(短時(shí)傅里葉逆變換)將稀疏域中的源信號(hào)從稀疏域轉(zhuǎn)換到時(shí)域。

2.1 混合矩陣估計(jì)

2.1.1 SSP探測(cè)

本節(jié)對(duì)SSP的原理進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。由式(8)可得，當(dāng)模態(tài)響應(yīng)sj′(ξk)在其轉(zhuǎn)化域非零，即為SSP時(shí)，式(9)表示為

X(ξk)=AS(ξk)=aj′sj′(ξk)。

(10)

式(10)兩邊取實(shí)部與虛部，可表示為：

Im(X(ξk))=aj′Im(sj′(ξk))；

Re(X(ξk))=aj′Re(sj′(ξk))。

(11)

因?yàn)橛^測(cè)向量的實(shí)部、虛部與混合矩陣中ai向量的方向一致，所以混合矩陣A可以通過(guò)聚類技術(shù)精確估算。

如果在時(shí)間頻率中同時(shí)激活多個(gè)源，則式(11)的實(shí)部與虛部可表示為：

(12)

因?yàn)楂@得SSP的條件非?？量?，需要在實(shí)際情況下適當(dāng)放寬條件，所以將稀疏域(如時(shí)頻域)中實(shí)部和虛部絕對(duì)方向之差小于給定閾值的點(diǎn)視為SSP[17]。判定為SSP的條件為

Re(X(t,f))ΤIm(X(t,f))/

(13)

2.1.2 聚類

聚類算法是混合矩陣估計(jì)的重要組成部分，直接影響其準(zhǔn)確性和可行性，同時(shí)矩陣估計(jì)的質(zhì)量也會(huì)影響源恢復(fù)的性能。值得注意的是，每個(gè)聚類算法都有其局限性，沒(méi)有一個(gè)能夠應(yīng)對(duì)所有應(yīng)用場(chǎng)景。例如，K-means聚類算法對(duì)初始中心選擇敏感，容易陷入局部最優(yōu)解；FCM算法對(duì)初始中心選擇敏感，收斂速度慢；基于直方圖對(duì)比(Histogram-based Contrast,HC)顯著性算法需要更高的時(shí)間復(fù)雜度；DBSCAN算法不適用于非均勻數(shù)據(jù)，超參數(shù)的確定對(duì)聚類結(jié)果影響很大[21-23]。

本文采用FCM算法，步驟如下：①確定分類數(shù)的值；②初始化一個(gè)隸屬度；③根據(jù)隸屬度計(jì)算聚類中心；④計(jì)算目標(biāo)函數(shù)；⑤根據(jù)聚類中心計(jì)算隸屬度，返回③，循環(huán)直到結(jié)束。

2.2 源的重構(gòu)

SCA利用源信號(hào)的稀疏性，從變換的稀疏轉(zhuǎn)換域中的不完整混合信號(hào)中恢復(fù)源信號(hào)。通?；謴?fù)源信號(hào)的方法是通過(guò)求解式(14)找到稀疏解：

s.t.

X(ξ)=AS(ξ)。

(14)

這種l1最小化技術(shù)旨在找到混合信號(hào)X(ξ)中的最稀疏解。式(14)是一種信號(hào)定義的凸優(yōu)化問(wèn)題，其解決方案能夠保證全局最優(yōu)，并可通過(guò)線性規(guī)劃求解方法進(jìn)行有效地求解。

3 基于稀疏成分分析的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別

3.1 稀疏成分分析與工作模態(tài)參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

3.2 欠定狀態(tài)下的模態(tài)振型評(píng)估和特點(diǎn)

3.3 可識(shí)別模態(tài)數(shù)、模態(tài)遺漏、虛假模態(tài)與重復(fù)模態(tài)

評(píng)估重復(fù)模態(tài)的判斷依據(jù)為：

(1)識(shí)別的頻率是否相同 若所識(shí)別的兩個(gè)模態(tài)頻率相同，則認(rèn)為識(shí)別的是重復(fù)模態(tài)，否則不是重復(fù)模態(tài)。該方法不適合密集模態(tài)的結(jié)構(gòu)。

(2)兩個(gè)估計(jì)模態(tài)振型的MAC值是否接近1 若模態(tài)重復(fù)，則模態(tài)振型的MAC圖會(huì)出現(xiàn)接近1的很大的數(shù)，表示兩個(gè)不同的模態(tài)振型很可能是重復(fù)的，為重復(fù)模態(tài)。

(2)時(shí)域采樣頻率f奈奎斯特采樣定理規(guī)定，可分析識(shí)別頻率小于等于時(shí)域采樣頻率f的一半，因此可識(shí)別最高階模態(tài)的固有頻率小于等于f的一半。

3.4 方法的適用范圍

由以上理論分析可知，本文提出的基于SCA工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法適用于如下情況：①線性時(shí)不變小阻尼結(jié)構(gòu)；②要求模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)Q(t)為稀疏信號(hào)；③超定、正定與欠定；④識(shí)別的模態(tài)振型失去幅值信息；⑤識(shí)別結(jié)果中仍然可能存在模態(tài)遺失和虛假模態(tài)等。

3.5 方法的理論分析和比較

與傳統(tǒng)BSS技術(shù)(如ICA)相比，本文所提基于SCA的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法能夠在保證識(shí)別參數(shù)準(zhǔn)確的情況下，識(shí)別出比傳感器數(shù)更多階的模態(tài)，如表1所示。

表1 基于SCA和ICA的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別比較

假設(shè)系統(tǒng)的自由度為4，采用同樣的3個(gè)傳感器，ICA識(shí)別出的模態(tài)響應(yīng)數(shù)為3，本文方法最多識(shí)別出的模態(tài)響應(yīng)數(shù)為4。

4 仿真驗(yàn)證

(1)實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

1)比較基于SCA的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法在正定、欠定狀態(tài)下的模態(tài)參數(shù)識(shí)別效果。

2)欠定狀態(tài)下，將建立的基于SCA的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別框架與傳統(tǒng)BSS技術(shù)(如ICA)的模態(tài)識(shí)別效果進(jìn)行對(duì)比。

3)在不同可識(shí)別模態(tài)數(shù)下，基于SCA的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法識(shí)別結(jié)果中模態(tài)遺漏與虛假模態(tài)的情況。

(2)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路

對(duì)于目的1)，首先模擬出正定、欠定兩種情況，并構(gòu)建基于SCA的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別框架，然后對(duì)識(shí)別出的模態(tài)參數(shù)(頻率、阻尼比、模態(tài)振型)進(jìn)行評(píng)估和比較。

對(duì)于目的2)，首先構(gòu)建出欠定狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)基于SCA的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法與傳統(tǒng)BSS方法(ICA方法)，然后比較兩種方法識(shí)別出的模態(tài)參數(shù)(頻率、阻尼比、模態(tài)振型)。

對(duì)于目的3)，將可識(shí)別模態(tài)數(shù)設(shè)置成大于、小于、等于自由度數(shù)，并評(píng)估識(shí)別出的模態(tài)參數(shù)是否存在模態(tài)遺漏與虛假模態(tài)。

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)生成

為驗(yàn)證所提方法，采用如圖5所示的5自由度質(zhì)量彈簧阻尼器模型[12]。設(shè)質(zhì)量矩陣M=diag([1 2 2 2 3])，剛度矩陣

K=

5自由度的振動(dòng)位移觀測(cè)信號(hào)如圖6所示。

4.2 評(píng)價(jià)方法與指標(biāo)

比較高維空間中兩個(gè)向量相關(guān)性的共同指標(biāo)為MAC，即

(15)

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的真實(shí)模態(tài)參數(shù)大致通過(guò)3種方式獲得：①通過(guò)公式推導(dǎo)獲得解析解；②有限元仿真；③實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析測(cè)定。在不存在錯(cuò)誤或嚴(yán)重誤差的情況下，3種方法中的任何一種都可以作為理論值的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)估工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的準(zhǔn)確性。本文的理論模態(tài)振型是通過(guò)方法①和方法②校驗(yàn)一致后得到的結(jié)果。

對(duì)于虛假模態(tài)，比較所識(shí)別模態(tài)振型的每一列與工程模態(tài)振型所有列的MAC值，取其中的最大值作為該振型的模態(tài)評(píng)估結(jié)果。

4.3 參數(shù)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)采用窗長(zhǎng)為800、步長(zhǎng)為4的漢寧窗對(duì)觀察混合信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理。ICA采用FastICA方法；SCA設(shè)置如下：稀疏變換采用STFT；SSP的值設(shè)為2°；聚類算法為FCM；模態(tài)響應(yīng)恢復(fù)采用-1最小化技術(shù)；采用SDOF識(shí)別技術(shù)從模態(tài)響應(yīng)信號(hào)中識(shí)別模態(tài)參數(shù)。

混合矩陣采用理論的模態(tài)振型進(jìn)行評(píng)估，而理論的模態(tài)振型φi采用femodal方法生成，該方法的輸入為質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K，輸出為固有頻率和模態(tài)振型。

假設(shè)有2個(gè)觀察信號(hào)如圖7a所示，稀疏變換前觀察信號(hào)是混亂的，稀疏變換后會(huì)在空間呈現(xiàn)如圖7b所示明顯的聚類現(xiàn)象，通過(guò)聚類方法可以估計(jì)出混合矩陣。

4.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.4.1 正定和欠定狀態(tài)下的SCA模態(tài)參數(shù)識(shí)別實(shí)驗(yàn)

圖8所示分別為振動(dòng)位移響應(yīng)信號(hào)數(shù)n=5時(shí)識(shí)別的時(shí)域和頻域模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)。模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果對(duì)比如表2所示。

表2 使用SCA在正定與欠定下的識(shí)別結(jié)果

4.4.2 SCA與ICA的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

表3 5自由度下SCA與ICA的對(duì)比

4.4.3 可識(shí)別模態(tài)數(shù)、模態(tài)遺漏、重復(fù)模態(tài)與虛假模態(tài)的評(píng)估實(shí)驗(yàn)

表4 3種欠定條件下的MAC值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表5 SCA的時(shí)的識(shí)別模態(tài)MAC表

4.5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

由表2可知，確定與欠定下，基于SCA的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法識(shí)別的模態(tài)參數(shù)非常接近，而且接近理論值。

由表5所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，識(shí)別出的模態(tài)之間的MAC值未出現(xiàn)趨于1的情況，因此沒(méi)有產(chǎn)生重復(fù)模態(tài)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文首先論述了SCA與工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后探討了基于SCA的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別中，3種欠定狀態(tài)下模態(tài)振型范圍與模態(tài)振型的評(píng)價(jià)問(wèn)題，最后經(jīng)過(guò)5自由度下的數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)表明，模態(tài)振型個(gè)數(shù)小于自由度數(shù)時(shí)為真實(shí)模態(tài)振型，超出自由度數(shù)的模態(tài)為虛假模態(tài)振型。

SCA算法的細(xì)節(jié)對(duì)工作模態(tài)參數(shù)的精度影響很大，本文僅采用經(jīng)典的SCA方法，其中稀疏變換采用STFT，聚類方法采用FCM，源信號(hào)恢復(fù)采用-1最小化技術(shù)，下一步可以考慮采用最新的稀疏變換、聚類和源信號(hào)恢復(fù)方法。另外，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證僅采用多自由度、結(jié)構(gòu)不變和沖擊激勵(lì)的振動(dòng)衰減信號(hào)仿真數(shù)據(jù)集，基于SCA的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法還需要在工程結(jié)構(gòu)和環(huán)境激勵(lì)更加復(fù)雜的實(shí)測(cè)振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)集上進(jìn)行驗(yàn)證。