馮國(guó)奇，崔東亮，代學(xué)武，俞勝平

(1.東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110819 ；2.東北大學(xué) 流程工業(yè)綜合自動(dòng)化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 遼寧 沈陽(yáng) 110819)

0 引言

渦輪盤是燃?xì)鉁u輪發(fā)動(dòng)機(jī)壽命限制件之一，渦輪轉(zhuǎn)子工作在高溫、高壓、高轉(zhuǎn)速和高速氣流環(huán)境下，其設(shè)計(jì)是一個(gè)多學(xué)科多部門協(xié)同的知識(shí)密集型優(yōu)化過程，渦輪盤的設(shè)計(jì)水平直接影響發(fā)動(dòng)機(jī)的基本性能。在任務(wù)定義、概念設(shè)計(jì)和初步設(shè)計(jì)等階段展開渦輪盤多學(xué)科多目標(biāo)綜合優(yōu)化，對(duì)提高發(fā)動(dòng)機(jī)甚至飛機(jī)整體性能具有極其重要的意義。

從執(zhí)行層面看，高壓渦輪盤減重有利于提高其低循環(huán)疲勞壽命可靠度和疲勞—蠕變耦合壽命可靠性[1]；渦輪盤徑向形變帶來葉尖間隙管理問題，即緊密葉尖間隙有助于提高氣動(dòng)效率，過緊葉尖間隙將導(dǎo)致轉(zhuǎn)子碰磨。重量管理和徑向形變管理因緊密耦合而需要協(xié)同優(yōu)化。

航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪體系設(shè)計(jì)常采用有限元分析(Finite Element Analysis，F(xiàn)EA)、有限容積和有限差分等數(shù)值仿真代替物理實(shí)驗(yàn)，以節(jié)省設(shè)計(jì)成本，提高設(shè)計(jì)效率。然而，直接基于數(shù)值仿真，以進(jìn)化等智能算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)會(huì)因種群迭代產(chǎn)生高額計(jì)算費(fèi)用[2]。在學(xué)術(shù)和工程界逐漸得到重視的“數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的進(jìn)化優(yōu)化”(data-driven evolutionary computation)[3]，也稱代理模型輔助進(jìn)化算法(Surrogate-Assisted Evolutionary Algorithm, SAEA)，通過降低計(jì)算費(fèi)用提升優(yōu)化算法的生命力，其處理邏輯為：先用真實(shí)問題產(chǎn)生的數(shù)據(jù)建立代理模型逼近原問題，再在優(yōu)化過程中通過代理模型和真實(shí)問題合作來評(píng)估個(gè)體。這種體系可減少真實(shí)問題仿真評(píng)估的次數(shù)，同時(shí)通過真實(shí)問題評(píng)估并修正代理模型，提高代理模型在感興趣區(qū)域?qū)υ紗栴}的逼近度，為計(jì)算密集型多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供良好的解決方案。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Network，ANN)能以高度準(zhǔn)確性捕捉任何物理過程的非線性和復(fù)雜性，其建模精度和泛化能力依賴訓(xùn)練樣本數(shù)量和質(zhì)量[4-5]，然而渦輪盤設(shè)計(jì)成本很高，難以提供充裕的訓(xùn)練樣本來支持高質(zhì)量ANN建模。自展法(bootstrap)通過獨(dú)立隨機(jī)再抽樣擴(kuò)充樣本集[6]；虛擬樣本技術(shù)通過基于分布的方法、基于領(lǐng)域先驗(yàn)知識(shí)的方法或基于擾動(dòng)的方法，在問題空間合理補(bǔ)充樣本來豐富樣本集[7-8]，填補(bǔ)因樣本不足造成的空隙，提高模型預(yù)測(cè)能力并抑制過擬合。這些傳統(tǒng)虛擬樣本技術(shù)所需的信息和知識(shí)依賴于基礎(chǔ)樣本，因此基礎(chǔ)樣本構(gòu)造策略影響著ANN模型的性能。

在樣本量受限的情況下，通過改進(jìn)試驗(yàn)設(shè)計(jì)(Design of Experiments，DOE)可有效提升ANN模型對(duì)原問題的表達(dá)能力。相對(duì)于“均勻分散”和“整齊可比”的正交設(shè)計(jì)(orthogonal design)，均勻設(shè)計(jì)(uniform design)通過舍棄“整齊可比”來安排試驗(yàn)，通過降低偏差(discrepancy)提高樣本分布的均勻性，對(duì)試驗(yàn)變量取值范圍大、考慮水平多的問題具有很強(qiáng)的適用性[9]；拉丁超立方設(shè)計(jì)(Latin hypercube designs)采用隨機(jī)抽樣進(jìn)行設(shè)計(jì)以充滿空間，雖然通過總均值進(jìn)行無偏估值而且方差較小，但是點(diǎn)集偏差具有不定性[10]。更多學(xué)者在此基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行研究，LEATHERMAN等[11]指出，基于空間填充(space-filling)和最大投影(maximumprojection)的計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)在提高強(qiáng)非平穩(wěn)問題的預(yù)測(cè)精度方面優(yōu)勢(shì)突出；熊世峰等[12]調(diào)研發(fā)現(xiàn)，嵌套拉丁超立方設(shè)計(jì)(nested Latin hypercube design)在混合精度計(jì)算機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)中應(yīng)用很廣，但是并不總能很好地填充整個(gè)設(shè)計(jì)區(qū)域的空間[13]，因此需要考慮面向穩(wěn)定性填充的樣本設(shè)計(jì)。

增量建模和在線建模[14]從另一個(gè)角度同時(shí)解決了減小樣本量需求和提高建模精度的問題。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的進(jìn)化優(yōu)化(data-driven evolutionary optimization)通過模型管理，將真實(shí)問題評(píng)估解加入訓(xùn)練數(shù)據(jù)集修正代理模型[3]，來提高尋優(yōu)的效率和質(zhì)量，該過程充分挖掘增量樣本和既有樣本之間的差異，將有助于提高建模質(zhì)量。例如，遺忘機(jī)制建模方法在這種差異研究基礎(chǔ)上，用增量樣本代替既有失效樣本，增強(qiáng)了對(duì)非平穩(wěn)系統(tǒng)的跟蹤能力[15]。

具有群體搜索和種群迭代特征的進(jìn)化算法基于達(dá)爾文生物進(jìn)化論展開研究，通過“繁殖—競(jìng)爭(zhēng)”進(jìn)行優(yōu)勝劣汰，螺旋式逼近復(fù)雜問題的最優(yōu)解，是通過計(jì)算智能(computationalintelligence)求解復(fù)雜組合優(yōu)化問題，避免組合爆炸的首選策略。作為進(jìn)化算法的一種高級(jí)別應(yīng)用，多目標(biāo)進(jìn)化算法(Multi-Objective Evolutionary Algorithm，MOEA)是多目標(biāo)優(yōu)化的主要分支；強(qiáng)度Pareto進(jìn)化算法(Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2,SPEA2)基于近鄰規(guī)則環(huán)境選擇和歸檔集截?cái)嗖呗?，提高了解的均勻性和收斂性[16]，但是其局部搜索能力相對(duì)較弱，解的多樣性會(huì)隨進(jìn)化的推進(jìn)而衰減[17]；Pareto存檔進(jìn)化策略(Pareto Archived Evolution Strategy，PAES)通過引進(jìn)空間超格來保持種群的多樣性，并采用精英保留策略保留其中較好的結(jié)果，但是其計(jì)算復(fù)雜，容易陷入局部最優(yōu)；基于Pareto包絡(luò)選擇算法(Pareto Envelope-based Selection Algorithm，PESA)基于個(gè)體選擇策略，導(dǎo)致計(jì)算難度和費(fèi)用均隨解集規(guī)模的增加而劇增，針對(duì)這一問題，PESA2用網(wǎng)格選擇代替?zhèn)€體選擇，在提高計(jì)算速度的同時(shí)保證了解集的多樣性；帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(fast elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm，NSGA-Ⅱ)通過快速進(jìn)行非支配排序提高算法速度，以適應(yīng)度和分布度保證解的分布性[18]，但在收斂過程中存在個(gè)體重復(fù)問題，且難以找到孤立點(diǎn)；多目標(biāo)粒子群優(yōu)化(Multi-Objective Particle Swarm Optimization，MOPSO)算法處理流程簡(jiǎn)單、收斂速度快且搜索效率高，非常適用于多目標(biāo)優(yōu)化問題的工程求解[19-20]，但是多樣性較差。

基于此，本文擬針對(duì)渦輪盤優(yōu)化設(shè)計(jì)需求，全方位改進(jìn)多目標(biāo)優(yōu)化的“樣本生成—代理模型—多目標(biāo)優(yōu)化”流程。首先，研究降低仿真費(fèi)用的樣本管理技術(shù)，其次基于不同精度混合樣本研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模技術(shù)，然后研究多目標(biāo)粒子群提升技術(shù)，最后以某型渦輪盤優(yōu)化設(shè)計(jì)為例，驗(yàn)證方法的有效性和可用性。

1 增量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)支持的多目標(biāo)優(yōu)化

對(duì)復(fù)雜問題而言，樣本量約束對(duì)原問題域覆蓋的不完備性，必定降低代理模型刻劃問題的精準(zhǔn)度，如何在不影響質(zhì)量前提下避免“過設(shè)計(jì)(over-engineering)”一直是工業(yè)界追求的目標(biāo)。本文擬采用圖1所示的體系架構(gòu)，在設(shè)計(jì)指標(biāo)約束下，從降低樣本量和提高Pareto前沿質(zhì)量?jī)煞矫孢M(jìn)行研究。其中基于FEA費(fèi)用特性建立混合樣本集，以此訓(xùn)練ANN模型，為多目標(biāo)優(yōu)化提供適應(yīng)度函數(shù)，為提高M(jìn)OPSO算法均勻性提供幫助；在優(yōu)化前沿中選取方案進(jìn)行仿真，將仿真結(jié)果充實(shí)到建模樣本進(jìn)行遺忘式增量學(xué)習(xí)，從而逐步優(yōu)化ANN模型，推進(jìn)多目標(biāo)問題求解的螺旋進(jìn)化，提高計(jì)算密集型多目標(biāo)優(yōu)化的綜合能力。

1.1 樣本管理

圖1中，在均勻設(shè)計(jì)表的基礎(chǔ)上，通過控制偏差對(duì)空間進(jìn)行整數(shù)倍增補(bǔ)采樣，形成基于均勻設(shè)計(jì)的混合樣本集管理策略：

(1)基于均勻設(shè)計(jì)基礎(chǔ)表進(jìn)行高精度有限元分析，形成基礎(chǔ)樣本集U。

(2)在偏差控制下構(gòu)造均勻設(shè)計(jì)補(bǔ)充表，進(jìn)行低精度試驗(yàn)，形成補(bǔ)充樣本集E。

(3)在基礎(chǔ)樣本集U的基礎(chǔ)上增加擾動(dòng)，形成虛擬樣本集V1。

(4)將高、低精度仿真樣本和虛擬樣本形成混合樣本集M來訓(xùn)練ANN，進(jìn)而輔助MOPSO算法。

(5)隨著多目標(biāo)優(yōu)化的推進(jìn)，優(yōu)選部分方案，重新進(jìn)行高精度有限元分析，形成增量仿真樣本集A，并將A及對(duì)應(yīng)的虛擬樣本集V2融入M中，替換部分已有樣本，再次進(jìn)行代理模型建模并尋優(yōu)，直到滿足進(jìn)化精度為止。

1.2 迭代控制

對(duì)迭代的控制策略直接決定了設(shè)計(jì)費(fèi)用，很多研究人員對(duì)迭代控制策略進(jìn)行了研究，從優(yōu)化角度避免“過設(shè)計(jì)”。本文存在MOPSO算法和“建?！獌?yōu)化”兩個(gè)層次迭代，因此從工程應(yīng)用角度設(shè)計(jì)如下兩個(gè)迭代控制策略：

(1)MOPSO迭代控制 基于試算確定控制參數(shù)。試算時(shí)，根據(jù)進(jìn)化過程中的多樣性、均勻性和收斂性指標(biāo)[21]，確定每輪次的迭代收斂估計(jì)次數(shù)ITConvergence和迭代總次數(shù)IT。在每輪次迭代中，以ITConvergence為分界線執(zhí)行不同的檔案粒子維護(hù)邏輯：按照粒子類型(高精度樣本、低精度樣本、模型預(yù)測(cè)樣本)，分別設(shè)置不同的擁擠距離擴(kuò)展系數(shù)，盡量刪除虛擬樣本，保留高精度樣本；在進(jìn)化后期，3類粒子采用相同的擁擠距離擴(kuò)展系數(shù)，展開無區(qū)別的檔案維護(hù)。

(2)“建?！獌?yōu)化”迭代控制 每輪經(jīng)過IT次MOPSO算法迭代后，在Pareto前沿中優(yōu)選粒子，其中高精度樣本直接保留，然后根據(jù)前沿的分布密度，選擇若干低精度樣本和模型預(yù)測(cè)樣本進(jìn)行高精度仿真，形成增量樣本集A，評(píng)估A的分析結(jié)果以及對(duì)應(yīng)Pareto尋優(yōu)結(jié)果之間的誤差統(tǒng)計(jì)指標(biāo)(絕對(duì)誤差、誤差均值、方差)和分布趨勢(shì)，不滿足指定閾值則繼續(xù)進(jìn)行下一輪次“建模—優(yōu)化”，滿足指定閾值則終止迭代。

以上過程即為增量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)支持的多目標(biāo)優(yōu)化，相關(guān)的混合樣本管理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模、改進(jìn)MOPSO算法將在后續(xù)章節(jié)分別介紹。

2 混合樣本管理

在圖1所示的增量建模支持的多目標(biāo)優(yōu)化框架中，混合樣本管理研究最為重要。這是因?yàn)椋瑢?duì)于結(jié)構(gòu)為“m-p-n”的三層反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Back Propagation Neural Network, BPNN)，若交叉驗(yàn)證比例為ρ，則樣本總量M′的需求為

(1)

對(duì)于FEA，在單元選定、計(jì)算假設(shè)、網(wǎng)格劃分均合理的前提下，網(wǎng)格單元數(shù)越多，單元階次越高，仿真結(jié)果越接近理論解。然而，網(wǎng)格單元數(shù)和單元階次雖然能夠決定仿真分析的精度，但是并不改變分析的定論。

即使目前高性能計(jì)算和GPU等計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展大幅提升了計(jì)算能力，也遠(yuǎn)不能滿足任意精度網(wǎng)格設(shè)置對(duì)計(jì)算量的需求，而且該問題在多場(chǎng)耦合場(chǎng)景下更加突出。因此，高精度FEA試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本量M常遠(yuǎn)小于M′，可以考慮混合安排高低精度，從樣本管理的角度避免建模出現(xiàn)過設(shè)計(jì)。

在圖1所示的螺旋形“建?！獌?yōu)化”迭代進(jìn)程中，初始樣本集具有圖2a所示良好的均勻分布性，隨著進(jìn)化的推進(jìn)，通過逐步豐富該樣本集并選擇性替換部分樣本，使樣本集向圖2b所示的分布態(tài)勢(shì)演變。新增樣本均對(duì)應(yīng)局部極小值，而局部極大值在尋優(yōu)過程中被抑制和舍棄，這種處理方法在不影響優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的前提下，能夠弱化對(duì)不關(guān)注問題域的尋優(yōu)，聚焦于搜索極小值。

ANN訓(xùn)練過程中對(duì)訓(xùn)練樣本一視同仁，忽略了樣本質(zhì)量的差異。在圖1所示的體系下，本文采用如下策略來增加高精度仿真樣本對(duì)建模的貢獻(xiàn)：

(1)基于高精度仿真樣本集(基礎(chǔ)樣本集U和增量樣本集A)建立虛擬樣本集V(由虛擬樣本集V1和增量虛擬樣本集V2構(gòu)成)，基礎(chǔ)樣本集U、增量樣本集A和虛擬樣本集V一起構(gòu)成混合樣本集M，基于M訓(xùn)練代理模型，提升高精度仿真樣本對(duì)建模的貢獻(xiàn)。

(2)和基礎(chǔ)仿真樣本集U相比，尋優(yōu)過程中產(chǎn)生的增量樣本集A應(yīng)該對(duì)代理模型的螺旋更新(update)貢獻(xiàn)更大，因此在遺忘機(jī)制建模執(zhí)行過程中，基于增加的新仿真樣本創(chuàng)建虛擬樣本，同時(shí)逐步刪除舊的虛擬樣本，用于訓(xùn)練ANN代理模型。

3 ANN建模

為避免ANN代理模型過設(shè)計(jì)，需要以誤差管理為導(dǎo)向，根據(jù)前述混合樣本管理策略和樣本量構(gòu)建合適的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)為“m-p-n”的三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要訓(xùn)練優(yōu)化(m+1)p+(p+1)n個(gè)權(quán)值，因此模型誤差的構(gòu)成為

總誤差=逼近誤差+泛化誤差+樣本誤差。

(2)

各誤差的分析及應(yīng)對(duì)策略如下：

(1)逼近誤差 由所采用的訓(xùn)練算法決定。本文的BPNN模型采用雙極性Sigmoid傳遞函數(shù)，均勻設(shè)計(jì)時(shí)，因?yàn)楦饕蛩卦凇白畲笾怠钚≈怠敝g設(shè)立水平值，所以可以將樣本各因素(對(duì)應(yīng)的各決策變量和目標(biāo)變量)分別歸一化到[-1，1]。各樣本的目標(biāo)變量只是抽樣點(diǎn)的仿真分析結(jié)果，不具有可預(yù)測(cè)的最大最小值，常采用整體趨勢(shì)擴(kuò)散技術(shù)(mega-trend-diffusion)處理。

(2)泛化誤差 由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和樣本對(duì)問題域的覆蓋率決定。Bishop[7]指出，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本中加入噪聲可以提高泛化能力。

從本質(zhì)上看，對(duì)同一問題進(jìn)行ANN建模時(shí)，隨著隱含層節(jié)點(diǎn)的增多，逼近誤差逐漸減小，泛化誤差逐漸增大，因此針對(duì)問題定義及訓(xùn)練樣本細(xì)節(jié)必定存在合適的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)。

(3)樣本誤差 對(duì)于FEA，樣本誤差由樣本精度決定。根據(jù)FEA的精度特點(diǎn)，假定高精度分析樣本為真實(shí)解，從虛擬樣本以及低精度樣本和高精度樣本間的差異入手指導(dǎo)樣本設(shè)計(jì)：假定基礎(chǔ)表的樣本量為U，通過查詢偏差隨基礎(chǔ)表倍數(shù)的變化趨勢(shì)確定合適的擴(kuò)展設(shè)計(jì)表倍數(shù)u。根據(jù)式(1)確定建模所需的最小樣本總量M′，為了弱化仿真誤差的不確定性，設(shè)定虛擬樣本和低精度仿真樣本量相等。此時(shí)，虛擬樣本量

V=max{?(M′-(u+1)U)/U?U,

(u+1)U}=vU。

(3)

虛擬樣本是基于均勻設(shè)計(jì)基礎(chǔ)樣本集創(chuàng)建的，通過向上取整保持虛擬樣本量為基礎(chǔ)樣本的整數(shù)倍，可以保證虛擬樣本分布的均勻性。

定義第i個(gè)DOE樣本為Si={xi1,…,xij,…,xi(m+n)}，xij∈[-1，1]，其中xi(m+k)=yik為目標(biāo)變量，m為ANN模型的輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)，n為輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)。采用式(4)在樣本Si各元素中增加噪聲，構(gòu)建虛擬樣本：

(4)

式中：dij∈[-1，1]為0均值白噪聲；β∈[-0.5，0.5]為噪聲強(qiáng)度。當(dāng)j≤m時(shí)，各決策變量以[-1，1]為上下界進(jìn)行鏡像映射。目標(biāo)變量以xij+βdij無約束的方式加噪。

式(4)保證虛擬樣本適用于雙極性Sigmoid函數(shù)。根據(jù)式(4)，所得虛擬樣本的噪聲能量

(5)

εsample≈V(m+n)β2εd。

(6)

基于均勻設(shè)計(jì)表樣本量的U方案進(jìn)行高精度有限元分析，u倍擴(kuò)展方案采用低精度FEA。相對(duì)高精度FEA，低精度FEA引入的誤差能量

(7)

(8)

根據(jù)式(2)和式(3)，節(jié)點(diǎn)數(shù)p的取值范圍為

(9)

4 MOPSO改進(jìn)算法

ANN代理模型為MOPSO算法提供適應(yīng)度函數(shù)，從根源上提高了尋優(yōu)速度，然而基于非支配計(jì)算的MOPSO算法仍需在粒子群維護(hù)方面支付大量計(jì)算成本。

粒子群算法從隨機(jī)解出發(fā)，用式(10)更新粒子速度，用式(11)更新粒子位置，借助個(gè)體之間的協(xié)作和信息共享，通過迭代尋找最優(yōu)解[19]。

(10)

(11)

式中：i為粒子序列；t為迭代級(jí)數(shù)；v為速度；x為位置；pbest為個(gè)體最優(yōu)；gbest為全局最優(yōu)；ω為慣性權(quán)重；c1為個(gè)體加速因子；c2為全局加速因子；r1和r2為[0,1]間的隨機(jī)數(shù)。

和單目標(biāo)粒子群算法相比，MOPSO算法的解以Pareto前沿的方式存在，是非劣解的集合，在迭代進(jìn)化過程中可以借助外部檔案保存該前沿，指導(dǎo)算法演進(jìn)。每輪迭代后，執(zhí)行如下檔案維護(hù)工作：

步驟1計(jì)算種群的前沿，加入外部檔案。

步驟2重新生成外部檔案前沿，若檔案粒子數(shù)超限，則根據(jù)擁擠度排序移除粒子。

計(jì)算常規(guī)擁擠度排序時(shí)，粒子數(shù)為K的檔案計(jì)算復(fù)雜度為O(K2)，背景網(wǎng)格法可以簡(jiǎn)化這一操作[19]，具體是以網(wǎng)格內(nèi)的粒子數(shù)為擁擠指標(biāo)定位網(wǎng)格，在網(wǎng)格內(nèi)隨機(jī)刪除粒子。該方法雖然提高了計(jì)算效率，但是存在明顯的理論缺陷：

(1)網(wǎng)格尺寸影響擁擠度計(jì)算的準(zhǔn)確性，例如圖3中2，3，12號(hào)網(wǎng)格都有2個(gè)粒子，因此擁擠度相同，但是這與實(shí)際情況不符。

(2)隨機(jī)刪除策略影響前沿分布，并容易遺失前沿的邊界和孤立點(diǎn)。

基于此，本文提出如下改進(jìn)的背景網(wǎng)格法[22]：

(1)基于有效擁擠度進(jìn)行定位 待刪除網(wǎng)格在各背景網(wǎng)格內(nèi)求解有效的最小包圍盒，以包圍盒內(nèi)的粒子密度為網(wǎng)格擁擠度指標(biāo)進(jìn)行指數(shù)擴(kuò)展，然后以輪盤賭法定位網(wǎng)格。

(2)基于擁擠距離選擇待刪除粒子 在網(wǎng)格鄰域內(nèi)計(jì)算各粒子的擁擠距離指標(biāo)，刪除指標(biāo)值最小的粒子。

(3)定位群體最優(yōu)所在的網(wǎng)格 對(duì)網(wǎng)格擁擠度指標(biāo)進(jìn)行負(fù)指數(shù)擴(kuò)展，以輪盤賭定位群體最優(yōu)所在的網(wǎng)格。

(4)基于擁擠距離選擇群體最優(yōu) 在步驟(3)定位的網(wǎng)格內(nèi)，選擇擁擠距離最大者為群體最優(yōu)。

5 案例分析

5.1 案例簡(jiǎn)介

民用飛機(jī)完成一次飛行任務(wù)需要經(jīng)過滑行—起飛—爬升—巡航—下降—著陸幾個(gè)階段，特殊情況下還需要熱機(jī)重啟。

圖4所示為一個(gè)典型飛行任務(wù)中葉尖間隙的變化情況[23]，可以看出起飛和熱機(jī)重啟工況的葉尖間隙問題最嚴(yán)峻。因此本文以起飛加速階段為對(duì)象，確定渦輪優(yōu)化邊界。

某型渦輪盤的設(shè)計(jì)目標(biāo)為[22]：①質(zhì)量W≤80 kg；②徑向形變D≤1.95 mm。約束條件為：盤內(nèi)徑105 mm，外徑280 mm。

起飛工況的關(guān)鍵載荷和邊界條件為：輪轂上安裝68個(gè)重0.144 kg、高56 mm的葉片；安裝邊固定，內(nèi)徑徑向位移；流道燃?xì)鉁囟葹? 650 K，換熱系數(shù)為2 200 W/(m2k)；流道燃?xì)鈮毫?5個(gè)大氣壓；輪盤密度為8 210 kg/m3，轉(zhuǎn)速為12 500 rpm。采用圖5a所示的4條冷卻氣流為渦輪盤降溫，氣流(流量，溫度)的配置為A(0.191 8,907)，B(2.475 4,968)，C(0.513 9,681)，D(0.766 6,791)。其中流量單位為kg/s,溫度單位為K。盤體及安裝邊參數(shù)如圖5b和圖5c所示，相關(guān)的幾何參數(shù)如表1所示。

表1 “盤體—安裝邊”模型參數(shù)列表

不失一般性，忽略陀螺和氣動(dòng)載荷等負(fù)載以簡(jiǎn)化計(jì)算，此時(shí)渦輪盤的主要載荷為葉片和渦輪盤高速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力，以及非均勻分布的氣流產(chǎn)生的熱載荷，主要載荷的處理方式如下：

(1)壓力

(12)

式中：PGas為流道氣流的壓力，PGas=35ATM，nb為每個(gè)渦輪盤上安裝的葉片數(shù)，nb=68；mb為每個(gè)葉片的質(zhì)量，mb=0.144 kg；Rb為葉片中心到旋轉(zhuǎn)軸的距離，Rb=R1+56/2；ω為渦輪盤的角速度，ω=12 500 rpm；r為渦輪盤外緣半徑，r=R2；L為盤緣寬度，L=W1。

(2)體積力

體積力是連續(xù)分布在構(gòu)件內(nèi)部各點(diǎn)處的力，是一種場(chǎng)力，此處為渦輪盤旋轉(zhuǎn)的離心力，表示為

fr=ρrω2。

(13)

(3)流道氣流的熱傳遞

(14)

為描述物體與環(huán)境對(duì)流換熱現(xiàn)象的傳熱問題第三類邊界條件的數(shù)學(xué)方程。式中：α為考慮葉片和渦輪盤間熱接觸而引入的經(jīng)驗(yàn)性調(diào)整系數(shù)；h為換熱系數(shù)，h=2 200 W/(m2·K)；T為固體溫度，此處為渦輪盤外緣各點(diǎn)的溫度；Tf為流體介質(zhì)溫度，此處為燃?xì)庵髁鞯赖臏囟?，燃?xì)庵髁鞯雷鳛闇u輪盤的熱源，為簡(jiǎn)化計(jì)算，可視作本模型的無限熱源，因忽略不計(jì)其溫度變化，起飛爬升時(shí)，Tf設(shè)定為1 650 K。

(4)冷卻氣流的降溫效應(yīng)

圖5a所示為從壓氣機(jī)引入A，B，C，D 4股冷空氣對(duì)渦輪盤進(jìn)行降溫，圖6所示為該“流—熱”耦合問題的有限元表達(dá)。

對(duì)0-1標(biāo)識(shí)的有限元邊界而言，氣流熱量變化等于固體邊界段的熱量變化，其數(shù)理方程為

mfC(Tf1-Tf0)=hA(Tf-Tw)。

(15)

式中：mf為該氣流邊界段的質(zhì)量；C為氣流比熱，C=1 005 J/(kg·K)；Tf0和Tf1分別為兩個(gè)氣流節(jié)點(diǎn)的溫度；h為換熱系數(shù)，h=2 200 W/(m2·K)；A為“0-1”邊界段的長(zhǎng)度；Tf=0.5(Tf1+Tf0)，Tw=0.5(Tw1+Tw0)，Tw0和Tw1分別為兩個(gè)固體節(jié)點(diǎn)的溫度。

5.2 樣本設(shè)計(jì)及ANN建模

圖5b和圖5c所示的盤體和安裝邊模型中，盤緣外徑R1、盤緣寬度W1、內(nèi)緣半徑R2、左安裝邊軸向定位參數(shù)W5、徑向定位參數(shù)H3、左安裝邊徑向長(zhǎng)度H4、右安裝邊軸向定位參數(shù)W7和徑向定位參數(shù)H5(H6)由渦輪裝配需求總體確定，(W1,W5,W7,H3,H4,H5,H6,R1,R2,R5,R6)=(45.0,42.0,60.0,195.0,35.0,140.0,170.0,280.0,105.0,5.0,5.0)，置W8=W6以簡(jiǎn)化計(jì)算。

從減重角度分析，輻板和盤轂所占比重最大，盤緣和安裝邊所占比重較小，因此輻板外側(cè)厚度W3、輻板內(nèi)側(cè)厚度W4、輻板外徑R3、輻板內(nèi)徑R44個(gè)參數(shù)決定了輻板重量，盤轂厚度W2和高度H2決定了盤轂重量。從徑向形變角度分析，離心載荷和熱載荷是主要矛盾；從離心載荷角度看，盤緣和安裝邊的影響比輻板和盤轂更大；從氣冷效果角度分析，安裝邊的影響相對(duì)較強(qiáng)。安裝邊寬度W6影響離心載荷所致應(yīng)力分布，盤緣厚度H1影響盤緣離心載荷[22]。

因此以(W6,H1,R4,W3,W4,R3,H2,W2)為因子，基于表2的U17(1716)均勻設(shè)計(jì)表和使用列(1,4,5,6,9,1,14,15)組織試驗(yàn)，因子取值范圍分別為W6[5.0,9.0],H1[15.0,25.0],H2[14.0,28.0],W2[90.0,110.0],W3[15.0,25.0],W4[45.0,55.0],R3[235.0,247.0],R4[150.0,175.0]。

表2 U17(1716)均勻設(shè)計(jì)表

續(xù)表2

為避免高檔次或低檔次水平相遇，如圖7所示，將各因子排列為閉合環(huán)，逆時(shí)針滾動(dòng)形成新編號(hào)，進(jìn)而形成新的方案組合方式。

圖中內(nèi)圈編號(hào)為原水平號(hào)，外圈編號(hào)為滾動(dòng)距離15(即逆向滾動(dòng)距離為2)調(diào)整后所得的水平號(hào)。結(jié)合滾動(dòng)循環(huán)性和水平數(shù)得到滾動(dòng)距離，如表3所示。

表3 各因子滾動(dòng)距離

采用六節(jié)點(diǎn)三角形單元，以8.2 mm為基本網(wǎng)格尺寸劃分幾何自適應(yīng)網(wǎng)格，通過熱固耦合分析平臺(tái)ThermoSolid[24]得到各樣本仿真結(jié)果，如表4所示。

表4 17個(gè)DOE樣本的高精度仿真分析結(jié)果

續(xù)表4

采用三節(jié)點(diǎn)三角形單元，以16 mm為基本網(wǎng)格尺寸劃分幾何自適應(yīng)網(wǎng)格，加載邊界條件和載荷并進(jìn)行分析，所得低精度仿真結(jié)果如表5所示。

表5 17個(gè)DOE樣本的低精度仿真分析結(jié)果

基于均勻設(shè)計(jì)表U17(1716)進(jìn)行多倍擴(kuò)展，偏差隨擴(kuò)展倍數(shù)變化的情況如圖8所示?？梢钥闯?，在3倍樣本后，“投入—產(chǎn)出”性價(jià)比開始惡化。根據(jù)該曲線，綜合考量偏差、建模最小樣本量、建模精度和泛化能力等因素，選擇3倍樣本進(jìn)行混合精度有限元分析：安排U17(1716)高精度仿真，在此基礎(chǔ)上安排兩倍的低質(zhì)量仿真樣本。

選擇交叉驗(yàn)證比例ρ=0.9，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)

p≤

(16)

表6 不同拓?fù)銪PNN的最小測(cè)試誤差

可以看出，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為8的各模型誤差隨著樣本量的增加而降低，這是訓(xùn)練樣本充足的優(yōu)勢(shì)?；?號(hào)組合(v,p,β)=(3,8,0.023 8)訓(xùn)練所得的模型誤差最小，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的升高，最小測(cè)試誤差逐漸升高，這是因?yàn)樘摂M樣本過量稀釋了真實(shí)樣本的有效性。因此，選擇4號(hào)組合訓(xùn)練所得的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為8的BPNN為代理模型。

5.3 多目標(biāo)優(yōu)化

以BPNN代理模型為適應(yīng)度函數(shù)，采用改進(jìn)MOPSO算法進(jìn)行基于遺忘式增量建模的多目標(biāo)尋優(yōu)，步驟如下：

(1)根據(jù)試算，確定MOPSO算法迭代次數(shù)IT和迭代收斂估計(jì)次數(shù)ITConvergence。

(2)構(gòu)建初始解集，對(duì)于首輪次MOPSO算法，其粒子群為高精度仿真基礎(chǔ)樣本集U(17個(gè))、補(bǔ)充的低精度仿真樣本集E(34個(gè))和ANN模型預(yù)測(cè)樣本集UANN(51個(gè))組成，其中獲取UANN的方法如下：根據(jù)U17(1716)基礎(chǔ)表進(jìn)行3倍擴(kuò)充得到U3均勻設(shè)計(jì)表，U3加倍再擴(kuò)充得到U6試驗(yàn)表，將U6試驗(yàn)表中相對(duì)U3均勻設(shè)計(jì)表增補(bǔ)的部分(即再擴(kuò)充部分U6-U3)作為模型預(yù)測(cè)樣本集UANN。相應(yīng)地，擴(kuò)充的低精度仿真樣本集E=U3-U。后續(xù)輪次MOPSO算法的初始粒子群由高精度仿真基礎(chǔ)樣本集U、前期所有增量高精度仿真樣本集A、殘余低精度仿真樣本子集E和殘余模型預(yù)測(cè)樣本子集UANN組成。

(3)標(biāo)識(shí)粒子來源，高精度仿真樣本、低精度仿真樣本、ANN模型預(yù)測(cè)樣本的粒子類型分別為1，-1，0。

(4)執(zhí)行改進(jìn)的MOPSO算法尋優(yōu)，設(shè)置檔案規(guī)模為50。在進(jìn)化前期(ITConvergence次迭代前)刪除檔案粒子時(shí)，首先在網(wǎng)格鄰域內(nèi)計(jì)算粒子擁擠距離，并對(duì)3類樣本擁擠距離分別進(jìn)行系數(shù)擴(kuò)展，1,-1,0三類樣本的擁擠距離擴(kuò)展系數(shù)分別為1,0.93,0.9,這些擴(kuò)展系數(shù)可以通過多次試驗(yàn)確定。在進(jìn)化后期(ITConvergence次迭代后)，3類粒子的擁擠距離擴(kuò)展系數(shù)均為1。

(5)執(zhí)行完本輪IT次MOPSO算法迭代，在Pareto前沿優(yōu)選粒子，直接保留前沿中類型為1的粒子，以此為基礎(chǔ)，根據(jù)前沿的分布密度選擇若干“0”和“-1”類型粒子進(jìn)行高精度仿真，形成增量樣本集A。

(6)評(píng)估增量仿真集的分析結(jié)果和對(duì)應(yīng)Pareto尋優(yōu)結(jié)果之間的統(tǒng)計(jì)誤差與分布趨勢(shì)，如果不滿足指定閾值，則執(zhí)行(7)，繼續(xù)下一輪次的ANN建模和再尋優(yōu)；如果滿足閾值約束，則結(jié)束尋優(yōu)過程，在前沿中選擇若干粒子作為最終尋優(yōu)結(jié)果。

(7)按照距離測(cè)度，在E中尋找與增量樣本A各粒子距離最近的對(duì)象并刪除；評(píng)估基礎(chǔ)樣本集U和當(dāng)前檔案之間的差異，若某樣本和前沿之間的距離超出設(shè)定閾值，則將其從基礎(chǔ)樣本集中刪除。

(8)增量樣本A以比U更大的比例產(chǎn)生增補(bǔ)虛擬樣本，隨著“建模—優(yōu)化”輪次的推進(jìn)，該比例逐漸增加，U以逐漸減少的方式構(gòu)建虛擬樣本，最終確保訓(xùn)練樣本數(shù)不變，然后轉(zhuǎn)(2)，進(jìn)行下一輪次MOPSO算法尋優(yōu)。為提高上一輪次優(yōu)化成果的使用能力，在新一輪優(yōu)化時(shí)，初始解集的UANN為第一輪次UANN隨機(jī)選擇的若干樣本，采用新的ANN預(yù)測(cè)模型進(jìn)行目標(biāo)更新，以保證各輪次粒子數(shù)相同。

為保證檔案粒子數(shù)一致，選擇各輪次第50～100代檔案多樣性[21]統(tǒng)計(jì)指標(biāo)均值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖9a所示。圖中，在檔案各目標(biāo)分布區(qū)間近似的前提下，多樣性逐漸增大，從另一角度體現(xiàn)了ANN模型精度對(duì)MOPSO算法進(jìn)化的影響；MOPSO算法均勻性差別不大，原因是本文采用改進(jìn)型背景網(wǎng)格提高了檔案的分布質(zhì)量；MOPSO算法各輪次收斂性差別不大，原因是每輪次的50～100相鄰代間的支配個(gè)數(shù)均為2～4，即使擴(kuò)大到500次迭代，亦保持這種量級(jí)。

第5輪次100代檔案如圖9b所示。圖中“■”的位置由優(yōu)化目標(biāo)決定。有效區(qū)域內(nèi)25個(gè)粒子均滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)，分析增量高精度仿真子集發(fā)現(xiàn)徑向形變絕對(duì)誤差均值為0.090 4，誤差均值為-0.068 5，方差為0.097 4，再仿真的質(zhì)量和徑向形變指標(biāo)與檔案預(yù)測(cè)指標(biāo)的變化趨勢(shì)一致且差值較小，說明優(yōu)化結(jié)果已收斂到高精度仿真分析真值，不需再一輪“建?！獙?yōu)”。

為驗(yàn)證優(yōu)化的有效性，用兩種方法處理圖9b左下區(qū)域的25個(gè)粒子：

(1)直接采用基于集合理論多屬性決策選優(yōu)方法選得最優(yōu)解。

(2)對(duì)25個(gè)粒子再次仿真并建立前沿，在前沿中采用多屬性決策方法選得最優(yōu)解。

最終發(fā)現(xiàn)兩種方法結(jié)果相同。決策變量(W6,H1,R4,W3,W4,R3,H2,W2)=(9.0,15.7,155.37,15.0,45.0,247.0,18.64,90.35)，對(duì)應(yīng)的(重量，徑向形變)為(76.29，1.796)，滿足設(shè)計(jì)要求。

5.4 比較分析

分別采用傳統(tǒng)徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Radial Basis Function Neural Network, RBFNN)代理模型、Kriging代理模型，以及本文基于混合樣本的反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Mixed Sample based Back Propagation Neural Network, MS-BPNN)代理模型作為適應(yīng)度函數(shù)，采用改進(jìn)MOPSO算法，對(duì)本案例分別進(jìn)行多次優(yōu)化試算，以比較算法的優(yōu)越性。

采用本文的MS-BPNN代理模型，初始建模采用相同的高精度仿真基礎(chǔ)樣本，樣本量為17，在執(zhí)行兩次增量學(xué)習(xí)的過程中兩次對(duì)增量樣本進(jìn)行高精度仿真，每次優(yōu)選5個(gè)樣本作為增量，所得結(jié)果與分別采用RBFNN和Kriging代理模型進(jìn)行5次增量學(xué)習(xí)，每次迭代選擇5個(gè)增量樣本進(jìn)行高精度仿真所得的尋優(yōu)結(jié)果相近，說明基于本文MS-BPNN代理模型的改進(jìn)MOPSO算法，經(jīng)歷3輪次尋優(yōu)后，檔案的多樣性已經(jīng)近似于穩(wěn)定收斂，這和圖9a的檔案多樣性指標(biāo)變化情況一致。

從另一角度看，在高精度樣本均為42(17+5×5)的情況下，分別以傳統(tǒng)RBFNN代理模型、Kriging代理模型和本文的MS-BPNN代理模型為適應(yīng)度函數(shù)，采用改進(jìn)MOPSO算法對(duì)本案例進(jìn)行10次優(yōu)化試算，通過均值比較3種代理模型的優(yōu)缺點(diǎn)，如表7所示。表中的多樣性、均勻性和收斂性指標(biāo)均為60～100代的均值，從而保證數(shù)據(jù)的可信性。特別地，由于基于MS-BPNN代理模型的MOPSO算法的自動(dòng)執(zhí)行能力相對(duì)較差，僅進(jìn)行6次“建模—優(yōu)化”求解試驗(yàn)，所得結(jié)果差異較小，證明了結(jié)果的可信性。

表7 基于3種代理模型的改進(jìn)MOPSO算法效果比較

可以看出，本文MS-BPNN所得的前沿均勻性最好，原因是混合精度訓(xùn)練樣本集提供的泛化能力為優(yōu)化提供了幫助；基于RBFNN所得的多樣性指標(biāo)均值最小，基于Kriging所得的前沿多樣性指標(biāo)均值和方差均最大，說明Kriging模型的穩(wěn)定性最差；基于MS-BPNN所得前沿的多樣性指標(biāo)方差最小，說明其穩(wěn)定性最好，而且相對(duì)較優(yōu)的多樣性均值也滿足優(yōu)化需求?；?種代理模型的改進(jìn)MOPSO算法收斂性差別不大，前一代檔案中被后一代檔案所支配的粒子數(shù)大概率保持為0或1，因此MS-BPNN是本案例適應(yīng)度函數(shù)的最佳選擇。

綜上所述，本文基于混合樣本建模，降低了高質(zhì)量代理模型建模所需要的計(jì)算量費(fèi)用，通過改進(jìn)背景網(wǎng)格法，在保證搜索質(zhì)量的前提下提高了多目標(biāo)優(yōu)化速度，通過基于增量學(xué)習(xí)的多目標(biāo)優(yōu)化體系加速了尋優(yōu)的收斂性，降低了迭代次數(shù)?？傊?，本文提供的樣本管理和多目標(biāo)優(yōu)化體系，從根本上降低了仿真分析所需的樣本量，提高了模型穩(wěn)定性，降低了計(jì)算量，能夠保證優(yōu)化設(shè)計(jì)的質(zhì)量。

6 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)高壓渦輪盤多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中仿真分析費(fèi)用高的問題，本文在保證模型穩(wěn)定性需求的前提下，通過降低樣本量避免建模的過設(shè)計(jì)，通過兩個(gè)層面迭代控制避免優(yōu)化的過設(shè)計(jì)，從而提高渦輪盤多目標(biāo)優(yōu)化的可操作性。首先，采用偏差控制下的均勻設(shè)計(jì)技術(shù)得到不同精度的混合樣本設(shè)計(jì)；其次，基于混合樣本建立代理模型時(shí)，對(duì)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)、虛擬樣本量和噪聲強(qiáng)度進(jìn)行協(xié)同設(shè)計(jì)；再次，以改進(jìn)背景網(wǎng)格法在網(wǎng)格鄰域內(nèi)計(jì)算各粒子的擁擠距離，據(jù)此選擇待刪除粒子和群體最優(yōu)粒子，以稍微增加計(jì)算量為代價(jià)優(yōu)化檔案的分布性；最后，在以BPNN為代理模型的MOPSO算法優(yōu)化設(shè)計(jì)體系中，通過遺忘式增量學(xué)習(xí)提高尋優(yōu)目標(biāo)的導(dǎo)向性，從而提高代理模型建模的精度和泛化能力。目前看來，本文所提樣本管理方式聚焦于感興趣區(qū)域，可能會(huì)影響樣本的全面性，因此還有提升的空間。下一步將通過分區(qū)建模保留對(duì)整個(gè)問題域的描述能力，同時(shí)降低建模難度；隨后，需要研究不同區(qū)域間無縫切換代理模型的評(píng)估策略及實(shí)現(xiàn)方法。

另一方面，本文采用的遺忘式增量學(xué)習(xí)需要根據(jù)建模和MOPSO算法尋優(yōu)情況確定高精度FEA仿真樣本，在FEA仿真參數(shù)化程度不完善的情況下，這種體系架構(gòu)的自動(dòng)化能力相對(duì)較弱，對(duì)FEA仿真用戶的要求相對(duì)苛刻，將會(huì)影響該體系架構(gòu)的工程化應(yīng)用能力，但是這種影響會(huì)隨CAD/CAE日益提升的用戶友好程度而逐漸弱化。以渦輪盤參數(shù)化CAD建模和參數(shù)化FEA為突破口自動(dòng)生成仿真樣本，是未來一段時(shí)間內(nèi)提高“樣本—建模—優(yōu)化”自動(dòng)化能力的主要工作，下一步將繼續(xù)提升建模及優(yōu)化的自動(dòng)化集成能力，對(duì)增量樣本的自動(dòng)生成、螺旋優(yōu)化的自動(dòng)停止等進(jìn)行研究。