2606設(shè)凸四邊形ABCD的邊長(zhǎng)和對(duì)角線長(zhǎng)分別為BC=a,CD=b,DA=c,AB=d,AC=m,BD=n，四邊形的面積為Δ，則

(a+c)2+(c+d)2-m2-n2≥4Δ，

當(dāng)且僅當(dāng)四邊形為正方形時(shí)等號(hào)成立.

(山東省泰安市寧陽(yáng)第一中學(xué) 劉才華 271400)

證明如圖，設(shè)P,Q分別為線段BD,AC的中點(diǎn)，直線BD和AC所成角為θ，

則mn(1-sinθ)+2PQ2≥0.

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=1且P與Q重合即四邊形ABCD為正方形時(shí)成立.

由托勒密定理ac+bd≥mn知(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形時(shí)成立)

①式?2ac+2bd+4PQ2≥4Δ.②

又由結(jié)論：任意四邊形四條邊長(zhǎng)的平方和等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和再加上對(duì)角線中點(diǎn)連線長(zhǎng)平方和的4倍，知

②式?a2+b2+c2+d2+2ac+2bd-m2-n2

≥4Δ.

故(a+c)2+(c+d)2-m2-n2≥4Δ，

當(dāng)且僅當(dāng)四邊形為正方形時(shí)等號(hào)成立.

2607設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467001)

證明由{an}的通項(xiàng)公式可知該數(shù)列即為

0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,…,0,0,0,1,1,1,….

這是一個(gè)周期T=6的周期數(shù)列，且

a1=a2=a3=0，a4=a5=a6=1.

設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則由周期數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

上式取極限得

(1)

再設(shè)n=6k+rn，其中k，rn均為非負(fù)整數(shù)，

且rn=0,1,2,3,4,5.則

于是

(2)

(3)

由(1)，(2)，(3)三式可得

2608已知a,b,c∈R，且a,b,c中至多一個(gè)為0，則有

(云南省大理州漾濞縣第一中學(xué) 秦慶雄 范花妹 672500)

證明因?yàn)?a+b)2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)(a2+b2)

=(a+b)2(a2+b2)+(a+b)2c2-2(ab+bc+ca)(a2+b2)

=(a2+b2)2+(a+b)2c2-2c(a+b)(a2+b2)

=(a2+b2)2-2c(a+b)(a2+b2)+(a+b)2c2

=[(a2+b2)-(a+b)c]2≥0，

所以

(a+b)2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)(a2+b2)，

同理可證

將以上三式兩邊分別相加，可得

(浙江臺(tái)州市洪家中學(xué) 鄔天泉 318015)

證明設(shè)A(acosθ,bsinθ)，B(acosφ,

bsinφ)(θ-φ≠kπ,k∈Z)，則

聯(lián)立(1)(2)得

設(shè)Q(acosγ,bsinγ)，同理可得

=(X1,Y1)，

同理，得

=(X2,Y2).

=(X1Y2-X2Y1)2，

2610設(shè)任意△ABC的三邊長(zhǎng)及對(duì)應(yīng)的三中線分別為a、b、c、ma、mb、mc，則有

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.

(安徽省太和縣第二小學(xué) 任迪慧 張小林 236630)

(1)

(2)

(3)

(1)+(2)+(3)整理得

(4)

一方面在△ABC中 ，易證

(5)

另一方面

(6)

由(4)、(5)和(6)可證得

2021年7月號(hào)問(wèn)題

(來(lái)稿請(qǐng)注明出處——編者)

2611設(shè)△ABC的外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，三邊長(zhǎng)分別為R,r,a,b,c,三個(gè)內(nèi)角∠BAC,∠ABC,∠ACB對(duì)應(yīng)的旁切圓圓心分別為D,E,F，證明：

(安徽省岳西縣湯池中學(xué) 蘇岳祥 楊續(xù)亮 246620)

2612如圖1，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與AB邊相切于點(diǎn)D，⊙O，⊙O1和⊙O2分別為△ABC，△ACD和△CDB的旁切圓，設(shè)⊙O，⊙O1，⊙O2的半徑分別為r，r1，r2，⊙O與AC相切于點(diǎn)E，則

圖1

(四川省成都華西中學(xué) 張?jiān)迫A 610051)

(江蘇省徐州市第一中學(xué) 張培強(qiáng) 221140)

(河南省方城縣教研室 邵明憲 473200)