武建文 張應龍

（甘肅省特種設備檢驗檢測研究院）

我國資源的分布與工業(yè)水平發(fā)展的不平衡，導致了大量的液化氣體需要長距離的運輸，其中液化氣罐車是眾多運輸工具中使用最廣泛的運輸設備之一。 罐車的罐體本質(zhì)上就是一臺臥式容器，目前已經(jīng)有很多的方法可以計算臥式壓力容器不同液位高度所對應的容積［1～5］，但對求解任意容積下的液位高度都很少涉及。 筆者通過微積分的方法推導出罐體容積與液位的關系，利用數(shù)值算法求解了罐體任意容積下的液位高度，為現(xiàn)場判斷不同容積下的液面高度和液位計的準確度提供理論依據(jù)。

1 計算公式推導

為了方便計算罐體容積V，公式中的液位高度H 都從罐體底部開始算起。由于常見的液化氣體罐車的封頭有橢圓形和球形兩種，所以只需推導含這兩種封頭的罐體容積與液位高度的關系方程。

1.1 筒體計算公式

罐體的筒體結(jié)構如圖1 所示。

圓心為O（0，0）、半徑為R 的筒體截面圓的

標準方程為：

按照圖1 取微元dy積分，得筒體容積的計算式：

1.2 球形封頭計算公式

罐體都有兩個封頭，將兩個球形封頭結(jié)合在一起就是一個完整的球體，如圖2 所示。

圖2 球體示意圖

故球體容積與液位高度方程式為：

1.3 橢圓形封頭計算公式

將兩個橢圓形封頭結(jié)合在一起就是一個完整的橢球體，如圖3 所示。

圖3 橢球體示意圖

故1/2 橢球體容積與液位高度方程式為：

2 罐體容積與液位高度方程

將以上方程式整合，得到含球形封頭、橢圓封頭和標準橢圓封頭的罐體容積與液位高度方程式分別為：

3 方程求解方法

3.1 二分法

二分法是以區(qū)間的中點先進行試算，不斷地縮小求解區(qū)間，直到達到求解精度，即求出所需的解。 求解主程序如下：

3.2 牛頓法

牛頓法也稱切線法，在求解時需預先給定一個初值x0，然后不斷地迭代求解，直到達到求解精度。 求解程序如下：

牛頓法雖然可以求解， 但初值的給定太關鍵，若初值不合適，會導致收斂速度慢或者不收斂。 為了避免初值引起不必要的麻煩，可采用牛頓下山法求解，牛頓下山法的求解方程如下：

3.3 適易求解法

二分法雖然可以求得方程的解，但充裝率K改變時（即容積改變時），需要調(diào)整求解區(qū)間，否則可能導致求解速度慢或者不收斂；牛頓下山法雖可方便求解，但求解速度慢，對于正常的使用也不方便。

為了方便求解和使用，先采用Matlab 軟件畫出整個罐體H（V）方程的曲線，畫曲線時盡量用小間隔，這樣就能直接導出部分K 值對應的液位高度。 對于沒有得到的少量解，可用牛頓法結(jié)合畫圖法得到的數(shù)據(jù)給定初值，就能快速求解。 因此，計算時應采用牛頓法與畫圖法相結(jié)合的方法求解不同容積所對應的液位高度。

4 實例驗算

以某單位制造的56.1m3球形封頭液化石油氣罐車為例，驗證以上計算方法，罐車罐體結(jié)構如圖4 所示。

圖4 罐車罐體結(jié)構示意圖

罐體內(nèi)部具有隔板等附件，但這些附件占有的總體積相對于罐車的容積很小，所以在計算時忽略內(nèi)部附件占據(jù)的空間。 利用二分法與牛頓法分 別 求 解K 為0.10、0.20、0.30、0.40、0.50、0.60、0.70、0.80、0.90、0.95 時的液位高度H。求解時，為了提高求解速度，設置二分法的精度為10-5，牛頓法的精度為10-8。求解結(jié)果、畫圖法繪制的罐體容積與液位高度曲線如圖5 所示。

圖5 不同求解方法結(jié)果對比

由圖5 可見，雖然二分法與牛頓法的求解精度不一樣，但求解的液位高度一樣，說明這兩種方法對求解容積與液位高度方程的近似解是等同的。 以K=0.50 為例，其近似解與理論解的相對誤差為：

故此誤差完全能夠滿足現(xiàn)場使用及其工程的需要。

5 結(jié)束語

用微積分的方法推導出了橢圓形封頭和球形封頭的罐體容積與液位高度的關系。 借助軟件用二分法、牛頓法分別求解了特定罐體不同充裝率所對應的液面高度，得出牛頓法結(jié)合畫圖的方法能快速求解此方程，并且能夠滿足現(xiàn)場使用。