程春蕊，毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450015)

混沌系統(tǒng)具有不可預(yù)測性,是一類非常復(fù)雜的非線性動力學(xué)系統(tǒng)，對初始條件和系統(tǒng)參數(shù)變化都異常敏感.混沌系統(tǒng)的同步問題引起了許多研究者的關(guān)注，并在很多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.到目前為止，各種控制技術(shù)已經(jīng)成功地應(yīng)用于混沌系統(tǒng)的同步.隨著分數(shù)階微積分的發(fā)展，人們已經(jīng)認識到，許多跨學(xué)科領(lǐng)域的系統(tǒng)可以用分數(shù)階微分方程精確描述.分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制方法也被相繼提出.文獻[12]研究兩個不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題,設(shè)計了一種強魯棒性的分數(shù)階滑模面和自適應(yīng)滑?？刂破?實現(xiàn)兩個混沌系統(tǒng)的同步.文獻[13]運用分數(shù)階微積分的穩(wěn)定性理論,通過設(shè)計適當(dāng)?shù)目刂破?實現(xiàn)不同節(jié)點復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混合投影同步.滑?？刂埔蚱鋵崿F(xiàn)簡單、響應(yīng)快、對外界干擾敏感性低等優(yōu)點引起人們越來越多的關(guān)注.文獻[14]基于自適應(yīng)控制研究方法,研究含有隨機擾動和未知參數(shù)的分數(shù)階Rayleigh-Duffing-like系統(tǒng)的同步問題，通過設(shè)計合適的控制器和參數(shù)的辨識規(guī)則,實現(xiàn)系統(tǒng)的廣義投影同步.文獻[15]給出一種有效的船舶混沌運動自適應(yīng)控制方法.文獻[16]結(jié)合自適應(yīng)控制和滑模控制方法，研究艦船混沌運動的單輸入自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)控制問題.而有關(guān)分數(shù)階的艦船混沌運動的同步方面的結(jié)果還不多見.論文研究一類不確定分數(shù)階艦船運動混沌系統(tǒng)的滑模同步控制問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論給出系統(tǒng)取得同步的充分性條件，結(jié)果表明選取適當(dāng)?shù)目刂坡梢约白赃m應(yīng)控制律下，艦船誤差系統(tǒng)取得了滑模同步.

1 主要結(jié)果

研究如下一類艦船轉(zhuǎn)首操縱運動混沌模型

(1)

定義1

函數(shù)

x

(

t

)的

α

階Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

考慮分數(shù)階艦船運動混沌系統(tǒng)

(2)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)

a

=-0

.

320 8,

b

=0

.

271 5,

c

=-4

.

394 5,

d

=0

.

103 68,

l

=0

.

077 8,

ω

=0

.

8,

α

=0

.

93時，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài). 以上述系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)，設(shè)計響應(yīng)系統(tǒng)為

(3)

定義同步誤差

e

=

y

-

x

,

e

=

y

-

x

,則誤差系統(tǒng)為

(4)

由于海上航行處于復(fù)雜的環(huán)境中，受到多種不確定因素的影響，又因為分數(shù)階系統(tǒng)能更準確地描述實際系統(tǒng)，因此在上述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，考慮如下不確定艦船混沌運動

(5)

以上述系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)，設(shè)計響應(yīng)系統(tǒng)為

(6)

定義同步誤差

e

=

y

-

x

,

e

=

y

-

x

,則

(7)

假設(shè)1

‖

Δf

(

y

,

t

)-

Δf

(

x

,

t

)‖≤

ρ

<+∞

.

定理2

設(shè)計控制器為

設(shè)計滑模面

所以

s

(

t

)是平方可積的，根據(jù)引理1可知

2 數(shù)值仿真

定理1中，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)

a

=-0

.

320 8,

b

=0

.

271 5,

c

=-4

.

394 5,

d

=0

.

103 68,

l

=0

.

077 8,

ω

=0

.

8,

α

=0

.

93時，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài). 用MATLAB進行數(shù)值仿真，采取4階Rung-Kutta方法,仿真步長取為0.01 s,系統(tǒng)初始值設(shè)置為(

x

(0),

x

(0))=(0,0)，(

y

(0),

y

(0))=(-1

.

75,-0

.

75)，(

e

(0),

e

(0))=(-1

.

75,-0

.

75),設(shè)定艦船初始航向為(0,45°)，其系統(tǒng)誤差曲線如圖1所示.從圖1可以看出，系統(tǒng)開始時刻，兩變量的誤差曲線距平衡點較遠，隨著時間的推移，系統(tǒng)誤差曲線漸趨平衡點.定理2中用MATLAB進行數(shù)值仿真，采取4階Rung-Kutta方法, 系統(tǒng)參數(shù)

a

=-0

.

320 8,

b

=0

.

271 5,

c

=-4

.

394 5,

d

=0

.

103 68,

l

=0

.

077 8,

ω

=0

.

8,

α

=0

.

93，初始值(

x

(0),

x

(0))=(0,0),(

y

(0),

y

(0))=(-2

.

25,-1

.

25),(

e

(0),

e

(0))=(-2

.

25,-1

.

25),不確定項

Δf

(

x

,

t

)=

圖1 定理1中的系統(tǒng)誤差曲線 圖2 定理2中的系統(tǒng)誤差曲線

3 結(jié)束語

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論研究一類不確定分數(shù)階艦船運動混沌系統(tǒng)的滑模同步控制問題，研究表明，一定條件下艦船誤差系統(tǒng)能夠取得滑模混沌同步.如何將系統(tǒng)的外部擾動也考慮在內(nèi)是需要進一步研究的課題.