雷英杰，郭雪娟

(中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051)

Jacobi矩陣的逆特征值問題在數(shù)學(xué)及其他領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，如振動(dòng)方程、航空動(dòng)力等領(lǐng)域.Jacobi 矩陣是對(duì)稱三對(duì)角矩陣，形式為

論文研究以下一類偽Jacobi矩陣的逆特征值問題

(1)

由于此類矩陣不能通過相似變換化為Jacobi矩陣，故稱之為偽Jacobi矩陣.該偽Jacobi矩陣的研究主要應(yīng)用于非Hermitian量子物理領(lǐng)域中.近年來，人們對(duì)偽Jacobi矩陣逆特征值問題的研究也取得了一些進(jìn)展.

規(guī)定

(2)

約定

σ

()記為矩陣的譜，考慮

(3)

論文首先分析的譜性質(zhì)；然后研究此類偽Jacobi矩陣的一些逆特征值問題，給出其有解的充分必要條件和數(shù)值算法；最后，給出數(shù)值實(shí)例予以驗(yàn)證.

1 偽Jacobi矩陣譜的性質(zhì)

引理1

已知是一個(gè)

m

階Jacobi矩陣,其次對(duì)角元為

γ

,

γ

,…,

γ

-1

.

令特征值

ξ

對(duì)應(yīng)的單位特征向量為

s

,

i

=1,2,…,

m

，則

χ

′(

ξ

)

s

1

s

,=

γ

γ

…

γ

-1,

i

=1,2,…,

m

，其中：

χ

′(

ξ

)是

χ

(

ξ

)的導(dǎo)數(shù),

χ

(

ξ

)=det(

ξ

-),

s

1和

s

,分別是

s

的第一個(gè)和最后一個(gè)分量.

定理1

已知矩陣∈

J

(

n

,

ε

,

β

)且和+2,如(2)所示，

μ

和

μ

如(3)所示，則對(duì)于任意的

j

=1,2,…,

n

-1，當(dāng)且僅當(dāng)

μ

∈

σ

()∩

σ

(+2,)時(shí),

μ

∈

σ

()

.

根據(jù)前面的介紹可知和正交且滿足

從而矩陣=⊕

I

⊕也是正交矩陣,滿足==，

其中

=，=⊕-⊕，=，=diag(1,

ε

+2,

ε

+2

ε

+3,…,

ε

+2…

ε

-1)，

則

det(

λ

-)=det(

λ

-)=

(4)

定理2

若

σ

()∩

σ

(+2,)=?，則的特征值是函數(shù)

(5)

的

n

個(gè)零點(diǎn).

證明

由于

σ

()∩

σ

(+2,)=?，所以

μ

?

σ

(),

j

=1,2,…,

n

-1

.

否則，如果

μ

∈

σ

()，則由定理1可知

μ

也為和+2,的公共特征值，這與條件矛盾.由(4)可知det(

λ

-)=0

等價(jià)于

證畢.

的

n

-

k

個(gè)零點(diǎn).

證明

因?yàn)?p>μ

∈

σ

()∩

σ

(+2,),

i

=1,2,…,

k

，則

μ

,

μ

,…,

μ

是的特征值，因此由(4)可知，剩余的特征值是多項(xiàng)式

的零解.由于

μ

?

σ

()∩

σ

(+2,),

i

?{1,2,…,

k

}∪{

r

+1,

r

+2,…,

r

+

k

}，

時(shí)，

G

(

λ

)=0

.

此時(shí)

G

(

λ

)有

n

-

k

個(gè)零解，因此

F

(

λ

)也有

n

-

k

個(gè)零解.

引理2

已知{

ξ

,

ξ

,…,

ξ

,

η

,

η

,…,

η

-1}是由2

n

-1個(gè)成對(duì)且互不相同的復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，則線性代數(shù)方程組

2 PJIEP有解的充要條件

對(duì)于如(3)所示的

λ

，

μ

和

μ

，按照

μ

∩

μ

=?和

μ

∩

μ

≠?兩種情形討論P(yáng)JIEP的可解性.

定理4

對(duì)于如(3)所示的集合

λ

，

μ

和

μ

.

假設(shè)

μ

∩

μ

=?，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件時(shí)PJIEP有唯一解：

證明

必要性.假設(shè)存在一個(gè)形如(1)的偽Jacobi矩陣∈(

n

,

ε

,

β

)，

σ

()=

λ

，

σ

()=

μ

，

σ

(+2,)=

μ

，因?yàn)?p>μ

∩

μ

=?，由定理2可知的特征值為(5)中

F

(

λ

)=0的解.由引理2可得

因此條件(ii)成立.又因?yàn)?/p>

因此條件(iii)成立.

充分性.假設(shè)條件(i)～(iii)成立，此時(shí)考慮符號(hào)向量

ε

和非零實(shí)數(shù)

(6)

定義

(7)

(8)

則當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件時(shí)PJIEP有解：

(i) 存在任意實(shí)數(shù)

θ

?{0,1}，使得

θ

x

+>0,

δ

++1(1-

θ

)

x

+>0,

j

=1,2,…,

k

；

(iv) 定理4中的條件(iii)成立.

(9)

取任意實(shí)數(shù)

θ

?{0,1}，使得

(10)

充分性.如果條件(i)～(iv)均成立，此時(shí)考慮符號(hào)向量

ε

和非零實(shí)數(shù)

(11)

對(duì)于選定的

θ

?{0,1},

j

=1,2,…,

k

，定義

(12)

(13)

(14)

最后，驗(yàn)證已構(gòu)造的偽Jacobi矩陣就是PJIEP的解.由公式(11)～(14)可知

對(duì)于任意的

j

=1,2,…,

k

，取

由引理2可知

對(duì)所有的

j

=

k

+1,

k

+2,…,

n

成立，于是由定理3可得det(

λ

-)=0,

i

=

k

+1,

k

+2,…,

n

，且

λ

+1,

λ

+2,…,

λ

是的特征值，又已知

λ

=

μ

∈

μ

∩

μ

,

i

=1,2,…,

k

是的其余特征值，因此

λ

=

σ

()，即是PJIEP的解.

3 數(shù)值算法

根據(jù)定理4,5，建立如下算法來構(gòu)造集合(

n

,

ε

,

β

)中的偽Jacobi矩陣

.

算法 PJIEP的解

輸入：如PJIEP中所示的

ε

,

λ

,

μ

,

μ

.輸出:

J

(

n

，

ε

,

β

)

.

以下為各步驟：

1. 若

μ

∩

μ

=?成立，接步驟2，否則接步驟6；

3. 如果滿足定理4中的條件(1)～(2)，接步驟4，否則該問題無解；

4. 由(7)計(jì)算

β

和

β

+1；

8. 如果滿足定理5中的條件(1)～(3)，接步驟9，否則該問題無解；

10. 由(12)計(jì)算

β

和

β

+1；

15. 輸出

J

(

n

,

ε

,

β

)，結(jié)束.

4 數(shù)值實(shí)例

例子

令

n

=9,

r

=4，給定向量

ε

=(1,1,1,1,1,1,-1,1)和偽Jacobi矩陣∈

J

(9,

ε

,

β

)

表的主對(duì)角元與下次對(duì)角元

圖1 原始譜數(shù)據(jù)λ,μ1,μ2和計(jì)算得到的譜數(shù)據(jù)的對(duì)比結(jié)果