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        從一個博弈論問題看資優(yōu)生培養(yǎng)

        2021-09-10 16:49:49孫曉麗
        天府數(shù)學(xué) 2021年1期
        關(guān)鍵詞:博弈論平均值智力

        孫曉麗

        博弈論又稱為對策論,往往用于研究具有斗爭或競爭性質(zhì)現(xiàn)象的理論和方法,它不光是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個新分支,也是運籌學(xué)的一個重要學(xué)科。博弈論思想古代就有,最初主要用于究象棋、橋牌、賭博中的勝負問題,但是當時人們對博弈局勢的把握只停留在經(jīng)驗上,沒有向理論化發(fā)展,正式發(fā)展成一門學(xué)科則是在20世紀初。我國古代的《孫子兵法》就不僅是一部軍事著作,而且算是最早的一部博弈論專著?,F(xiàn)在博弈論在在很多領(lǐng)域都有研究應(yīng)用,在教學(xué)方面也已經(jīng)有了廣泛的研究。類比博弈論在其它學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用,在教學(xué)中則是貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū),讓問題與學(xué)生的思維產(chǎn)生博弈,從而研究相關(guān)的問題。

        幾年以前看博弈論的時候,發(fā)現(xiàn)一個有趣的問題:如果讓每位同學(xué)寫一個介于1與100之間的正整數(shù)(包括1和100) ? ?,然后求出所有這些數(shù)字的平均數(shù),如果你所寫的數(shù)字最接近該平均數(shù)的二分之一,那么你就在游戲中勝出。

        在這個問題(后面稱為二分之一問題)中,如果每個同學(xué)寫的都是隨機產(chǎn)生的數(shù)字(沒有考慮別人寫出的數(shù)字的話)結(jié)果應(yīng)該在25這里穩(wěn)定。但是提出了這樣的問題,必然有同學(xué)考慮別人會如何思考。

        假設(shè)參與的同學(xué)是理性的話,應(yīng)該不會寫50以上的數(shù)。因為即使所有的人都寫了100,那么平均值也只有100,那么平均數(shù)的二分之一當然也不可能大于50。

        進一步,如果所有參與的同學(xué)都是理性且認真思考的話,那么當意識到?jīng)]有人會寫50以上的數(shù)之后,平均值的二分之一就不可能大于25了。

        再進一步,如果所有的同學(xué)都是理性且進一步思考的話,那么當意識到?jīng)]有人會寫25以上的數(shù)之后,平均值的二分之一就不可能大于12了。

        ……

        如果所有參與的同學(xué)都是足夠理性并且完整思考的話,那么必然會明白,且所有人都會寫1。然而現(xiàn)實中,前面這些假設(shè)是否成立呢?當然不會完全成立。事實上甚至?xí)幸徊糠謱W(xué)生寫大于50的數(shù)。

        現(xiàn)在選取本人任教的某中學(xué)初二實驗班的數(shù)據(jù)進行該問題的分析。

        該中學(xué)實驗班只有兩個班級,甲班和乙班,兩班分班時按照成績隨機分配。在拓展課教學(xué)過程中,按照分數(shù)分班,分成A班和B班,成績在前面一半的分為A班,成績?yōu)楹竺嬉话氲姆譃锽班,每學(xué)期流動一到兩次,流動人數(shù)為三到四名學(xué)生。在某次測驗中,記錄學(xué)生的成績和二分之一問題的結(jié)果,考察二者的相關(guān)性。

        本次測驗滿分為120分,其中最高分105分,最低分0分,平均分為52.08分。

        A班和B班共75位同學(xué),在二分之一問題中記錄得到的平均值為30.8。這其中共有7名同學(xué)寫了50以上(含100)的數(shù);5名同學(xué)寫了50;34名同學(xué)寫了25-49之間(含49)的數(shù);22名同學(xué)寫了13-24之間(含24)的數(shù);7名同學(xué)寫了12及以下(含1)的數(shù)。

        二分之一問題和成績兩者相關(guān)系數(shù)為-0.363,具有較顯著的負相關(guān)。其負相關(guān)性具有相當?shù)暮侠硇?。事實上理性而善于思考的學(xué)生,成績是應(yīng)該更好一些。

        那7名寫了50以上的數(shù)的同學(xué),成績的平均分為38.3分,而7名寫了12以下的數(shù)的同學(xué),成績的平均分為67.3分。這里兩名最高分105分的同學(xué)中,其中一位寫了4,另一位寫了18。事后我詢問兩位同學(xué),其中寫4的那位同學(xué)說應(yīng)該寫1,但是覺得同學(xué)們不會那么聰明,所以寫了4;而寫18的那位同學(xué)在旁邊還嘲笑他,“你還是把同學(xué)們想的太聰明了?!?/p>

        由如上數(shù)據(jù)得到如下相關(guān)結(jié)論:

        結(jié)論1:學(xué)生填寫二分之一問題的結(jié)果大小和該學(xué)生的成績有一定的負相關(guān)性。

        整理數(shù)據(jù)時,不小心將填寫最大和最小的數(shù)的各7名同學(xué)從樣本中去除,二分之一問題平均值降為28.4,相關(guān)系數(shù)也降為-0.316。這里平均值降低是可以預(yù)期的,但相關(guān)系數(shù)的絕對值下降卻是出乎意料的。于是進行了進一步的如下分析。

        如果將學(xué)生按照甲、乙班和A、B班分開統(tǒng)計,得到下表:

        但是這里A班的相關(guān)系數(shù)降至-0.112,這個數(shù)據(jù)也就是說A班中二分之一問題的值和學(xué)生的成績不具有明顯的相關(guān)性。

        結(jié)論2:對于成績較差的學(xué)生,其成績和其智力和思考能力具有一定的負相關(guān)性;成績較好的學(xué)生,其成績和其智力和思考能力的相關(guān)性很弱。

        為了進一步驗證結(jié)論,若現(xiàn)在將A班人數(shù)縮小5人,相關(guān)系數(shù)會降至-0.032,這樣就幾乎沒有相關(guān)性了??紤]到學(xué)校還是需要在提高學(xué)生能力的同時提高學(xué)生成績的。那么什么因素對提高學(xué)生成績有幫助還是需要進一步分析一下的。

        最容易量化分析的就是孩子的作業(yè)質(zhì)量,如果在A班學(xué)生的數(shù)據(jù)中加入作業(yè)分。作業(yè)分和成績分的相關(guān)系數(shù)為0.376,具有較強的正相關(guān)性。那么作業(yè)分明顯的體現(xiàn)了學(xué)生的認真程度。

        結(jié)論3:對于成績較好的學(xué)生,其成績和認真程度具有較強的正相關(guān)性。

        綜上所述。對于普通的學(xué)生,智力水平基本上決定了其所能取得的成績。但是對于相對優(yōu)秀的學(xué)生,智力水平和能取得的成績相關(guān)性較弱,而非智力因素和能取得的成績具有較強的正相關(guān)性。

        因此對于資優(yōu)生的培養(yǎng),不應(yīng)該僅僅從智力方面進行培養(yǎng),對于非智力因素,比如認真、努力、堅持不懈等,也是需要著力培養(yǎng)的方面。

        由于以上結(jié)論來自于單次的實驗,必然有其局限性。在未來教學(xué)工作中,還將繼續(xù)這方面的實驗。對同一批學(xué)生的不同類型的測試,以及不同批次的學(xué)生對同一類型的測試。并且研究更多的因素對學(xué)生的能力的影響。爭取能得到更詳盡的數(shù)據(jù),以對學(xué)生的成長做出更好的指導(dǎo)。交流日期:2019.12

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