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        2021-09-10 07:22:44董衛(wèi)鳳
        天府數(shù)學 2021年1期
        關鍵詞:例題解決問題意義

        董衛(wèi)鳳

        當新課程不再“新”,解決問題也不再是“問題”,“解決問題”還是讓老師們感到困惑。

        教師困惑之一, “解決問題”的信息呈現(xiàn)花花綠綠可以接受,一個例題出來后,并不像以往“應用題”那樣有“相似情境、相似結構、相似問題”的練習也接受,但是例題和練習不匹配,練習范圍廣、變化多,讓人難以捉摸,學生錯誤多。教師困惑之二,當教師引導學生關注怎么解決問題的過程和方法,卻發(fā)現(xiàn)教材不再提供數(shù)量關系的分析,數(shù)量關系到底怎么控制一個“度”,教材沒有“完整總結”,“解決問題”似乎變得教學結構不清,思路難定。

        問題即挑戰(zhàn),面對教師在解決問題教學中的困惑,我們確立校本教研以“解決問題教學”為研究主題,主要探求幾個問題:怎樣正確解讀解決問題教學的教材?怎樣定位解決問題教學中的學生難點?怎樣進行解決問題學法指導?筆者和同事們以《有余數(shù)除法解決問題》教學節(jié)為例,對以上問題進行探索和研究。

        一、解讀教材文本

        我們首先思考教材,教材是否存在問題?我們教師究竟怎樣解讀教材?

        思考一:解決問題的教材,真的很凌亂嗎?

        解決問題的教材,真的是零打碎敲嗎?真的沒有章法嗎?真的是例題一類練習一類嗎?教研組的老師對二年級下冊“有余數(shù)除法解決問題”的第67-71頁進行了分析,選擇典型分析列表如下

        教材解讀分析:

        根據(jù)上表所示,人教版二年級下冊《有余數(shù)除法解決問題》的教材編寫,應該說教材的編寫者確實有其獨到之處。

        (1)仔細解讀文本,類型全面并不凌亂:人教版二年級下冊第67頁到第71頁的有余數(shù)除法15道解決問題,涵蓋了有余數(shù)除法的幾大類型。第一類,與有余數(shù)除法計算教學緊密結合的問題,類似“可以坐滿幾輛車,會有剩余的人嗎?”的“兩問式”典型問題;第二類“至少要租幾條船”的“求至少”的“進一類”問題,第三類“最多可以買幾瓶?”的“求最多”的“去尾類”;第四類 “再過多少天是星期幾?”的等余問題類;如練習十五第6題;第五類“這條彩帶有多長”,有余數(shù)除法的逆用類。第六類綜合應用,多種情境組合的有余數(shù)除法解決問題。

        (2)通讀2-5年級教材,呼應緊密一脈相承:

        本課教學,對于有余數(shù)除法的計算,包括口算、筆算,學生已有了能力上的儲備。有余數(shù)除法為三年級學習一位數(shù)除多位數(shù)打基礎,解決問題部分與五年級的用“去尾法”“進一法”“四舍五入法”求商的近似值一脈相承,余數(shù)在周期性問題中的運用是一二年級“找規(guī)律”從圖形到式題的一次思維提升。

        (3)橫向比較6個版本教材,思路相似目標接近:

        筆者查找了人教版、蘇教版、北師大版、現(xiàn)代小學數(shù)學等幾個版本的關于有余數(shù)除法解決問題的電子課本。蘇教版、北師大版的教材把“有余數(shù)的除法”放在二年級下冊,西南師大版安排在二年級下冊,現(xiàn)代小學數(shù)學比較側重有余數(shù)除法解決問題的意義理解,而北師大版的數(shù)學關于有余數(shù)除法解決問題中的《租船》更具典型性,特別是其中關于最多與最少的闡述最明確,最清楚,對有余數(shù)除法的余數(shù)進行合理取舍能有明確的認識,而人教版關于此節(jié)的編寫優(yōu)點是起點低,但最后的提升深度綜合性特強,事實上各個版本的編寫形式不同,編排總體目標大略相同,各個側重點其實是一脈相承。

        (4)再讀《課程標準》,更關注溝通思維聯(lián)系

        為什么一個解決問題例題后面有這么多“看似不配套”的練習題,通過課程標準對解決問題的目標定位的再學習,解決問題的編排必然更具應用性,為構建良好的認知結構,溝通知識間的聯(lián)系,必然有相對豐富的編排形式,其目的是關注讓學生關注解決問題的過程,揭示思維的關鍵,溝通知識、方法之間的聯(lián)系。

        教材解讀結論:

        解決問題的教材并不凌亂,它對學生學習興趣激發(fā)、應用意識增強、創(chuàng)造意識提高方面的作用不容置疑,而且囊括各個類別,相對 “一個范例進行訓練” 要求更高,更注重內在數(shù)量關系的理解和聯(lián)系。

        二、解讀學習難點

        教師經(jīng)常抱怨,學生對于解決問題的掌握得不好。那么解決問題的學生難點,難在何處?

        思考二:解決問題的教材,學生學習的難點在哪?

        分析人教版教材而下第六單元練習十五第8題(如圖),此題難度系數(shù)最大.

        此題的題意為:

        有康乃馨22枝、玫瑰16枝,蘭花10枝,請用7枝康乃馨、3枝玫瑰、2枝蘭花扎成一束。這些花最多可以扎成多少束這樣的花束?

        22÷7=3(束)……1(枝)16÷3=5(束)……1(枝)10÷2=5(束)

        結論:這些花最多可以扎成3束這樣的花束。

        我們對此內容進行前測和后測。

        前測:二年級未上過該內容的同學前測正確率為4%。

        后測:二年級非實驗班和三年級同學已經(jīng)學過該內容,后測正確率32%和37%。學生的錯誤樣式如下:

        后測錯誤樣式

        錯誤樣式一:

        22÷7=3(束)……1(枝)16÷3=5(束)……1(枝)10÷2=5(束)

        結論:最多可以扎成5束

        分析原因:學生理解可能“最多”要找商中最大的那個數(shù)的。

        錯誤樣式二:

        22+16+10=48(枝) 7+3+2=12(枝) 4 8÷12=4(束)

        結論:最多可以扎成4束

        分析原因:可能,受有余數(shù)除法結構思維定勢影響,人為構造一個總數(shù)和一個每份數(shù)。

        錯誤樣式三:

        22÷7=3(束)……1(枝)16÷3=5(束)……1(枝)10÷2=5(束)

        3+5+5=13(束)

        結論:最多可以扎成13束

        分析原因:學生理解幾個扎在一起,就是把幾個商合并起來。

        老師們很困惑——(1)教材為什么編寫綜合性這么強的解決問題?(2)此題歸結到哪一種數(shù)學思想呢?(3)此題與前面所學的有余數(shù)除法到底是什么樣的關系呢?

        教師關于解決問題的抱怨,其實并不僅僅因為解決問題的練習數(shù)量少范圍廣,更在于教材關于解決問題凸顯“數(shù)學思考”的發(fā)展,綜合性較原來要強多了,而我們的學生探究和分析能力彰顯薄弱。

        老師們很期待——(1)有什么辦法讓學生比較順暢地理解類似題目的題意?(2)可以建構怎樣的模型讓突破學生認知難點?(3)怎樣讓學生的模糊識記變成意義理解,形成分析理解探究能力?

        結論:既然是難點,就有必要把此類題目進行研究,在學生感覺困惑之處加以點撥,幫助學生突破難點。

        三、關于解決問題學法指導

        鑒于以上對課程標準及教材的解讀和對學生認知發(fā)展水平的分析,教研組的成員認為:學生解決問題的難點已經(jīng)明確,解決問題的目標已可以準確定位,由此歸結為學法指導方面的問題:解決問題如何使教學“形神均不散”,有效突破教學難點,從而構建良好的認知結構(知識同化),提升數(shù)學思考的能力?

        策略一:抓內核主干,殊途同歸體現(xiàn)“神不散”

        著名數(shù)學家華羅庚曾有句名言:讀書要從薄到厚,再從厚到薄。數(shù)學學習更是如此。人教版教材,有余數(shù)除法解決的問題,共編排六種類型,屬于“大而全”,而一個例題是無論如何無法囊括所有類型的,那這些類型必然有一個核心主干。

        分析有余數(shù)除法解決問題的類型,盡管千變萬化,但都可以歸結到運算意義——有余數(shù)除法的意義、商和余數(shù)的意義。而抓住這一點,等于抓住了解決問題的主干。

        比如《有余數(shù)除法解決問題》的導入部分,筆者安排了一組辨析題:

        ①扇子隊有25人,演出時隊形變換,每個圓圈站4人,可以站成幾個圈,還剩幾人?

        ②扇子隊有25人,演出時隊形變換,站成4個圓圈,每個圓圈幾人,還剩幾人?

        解題1:25÷4=6(圈)……1(人)

        解題2:25÷4=6(人)……1(人)

        這一組題,從外在形式上看,是結果單位名稱的不同,但是從數(shù)學角度看,當學生解決問題后,最后歸結到對除法意義的理解上,實際是映射了數(shù)學課程標準的這句話:解決問題教學必須讓學生經(jīng)歷從現(xiàn)實背景中感受和體驗數(shù)學,發(fā)展學生根據(jù)運算意義解決問題的能力。

        “這一組題非常有意思”,有位特級教師這樣評價,“解答后,讓孩子們辨析這組題的題目和答案的異同,那就會真正去想商和余數(shù)的意義。”

        思考:課程標準指出,將小學應用題教學與運算教學緊密結合,讓學生在建立數(shù)學概念、原理和方法的過程中理解和解答應用題,發(fā)展學生根據(jù)實際情況和運算意義解決問題的能力。

        凸顯概念意義,挖掘運算意義,溝通內在聯(lián)系,正確理解商和余數(shù)的意義,理解除法的意義,可以溝通六大類問題之間的內在聯(lián)系,萬變不離其宗,使解決問題從“大而全”到“少而精”,從而使學生的數(shù)學學習有完整而系統(tǒng)的建構,書由此從厚而薄。

        策略二:揭思維關鍵,溝通知識方法聯(lián)系

        學生解決問題,因為個體生活背景和認知水平的差異,會出現(xiàn)各種各樣的解題策略與思考,這其實是很好的教學資源,通過典型題例辨析,可以促感性認知升華,去除表象抽取特征,實現(xiàn)數(shù)學模型的意義建構。

        例:二年級34位師生去參加跨湖橋美食節(jié),每張桌子限坐4人,至少需要幾張桌子?

        跨湖橋美食節(jié),洪七公叫化雞每份8元,20元錢最多可以買幾份?

        解決這個問題,我們讓學生進行“三辨”。

        第一辨:商加1與商不加1的辨析

        對于第一問,學生有兩種解法。

        解法1:34÷4=8(張)……2(人);……………………(×)

        解法2:34÷4=8(張)……2(人)8+1=9(張)?!?? ?(√)

        兩種解法的區(qū)別,第一種是兩問式典型有余數(shù)除法解題思維定勢,第二種是商和余數(shù)進行合理取舍。通過兩種方法的辨析,歸結到商和余數(shù)的意義,強調余下2人必須要給他們安排座位,去掉余數(shù),所以商8必須加上1。

        第二辨:“至少需要幾張桌子?”與典型“兩問式”問題的差異

        孩子們解決問題時其實已經(jīng)明白了余數(shù)要合理的取舍。重點引導對“至少”認識,明確“至少”在保證人人有座位的情況下的“至少”,這樣讓孩子們在理解商為什么要加1時,不僅僅是一種直覺和感性認識,而是學會了對題目信息的剖析,使自己的解答顯得有理有據(jù),在感性認識的基礎上升華。

        第三辨:“至少”與“最多”辨析

        至少需要幾張桌子?最多可以買幾份?

        最多與至少,是一組很值得回味的概念情境,通過組題辨析,學生能從實際問題的解決中理解有余數(shù)除法的應用,而且引導孩子們關注題中信息的剖析,能豐富孩子們對有余數(shù)除法解決問題不同的表達形式。

        結論:“第一辨”實質是學生解決問題的原點,從實際生活中理解有余數(shù)除法的意義,關注學生剖析、梳理、提煉、處理數(shù)學信息的能力,讓他們根據(jù)信息提出數(shù)學問題。“第二辨”是觸發(fā)學生對不同問題情境不同目標指向的思考,讓學生明確“問題不同”導致解決問題的答案和思考不同,讓學生們理解小學數(shù)學學習不是也不可能所有問題都是典型的“問題”和“解決問題”,它必然需要有意義的接受——思維的訓練?!暗谌妗笔墙鉀Q問題后的思路整理和回顧,從前面兩個梯度的問題對比,引發(fā)學生對于“至少”與“最多”的理解,讓學生自主探索、合作交流中分析。這樣的“三辨”,由低到高,揭示了數(shù)學思考的思維本質,溝通了知識方法的聯(lián)系,實現(xiàn)解決問題的意義建構。

        策略四:情境串接,一線串珠 “形不散”?

        由于解決問題類型各不相同,如果老師只是照本宣科地按照順序一題一題呈現(xiàn),學生一則興趣不大,二則目標定位較高,學習效果肯定不會很理想。所以考慮創(chuàng)設數(shù)學情境,就像主題圖一樣,把每部分的題材串起來,既凸顯數(shù)學性,又照顧學生的生活和年齡實際,讓課堂“形神都不散”

        為此,一線串珠,把不同目標取向的數(shù)學素材用適當?shù)那榫秤行Т?。在教學預案設計時,我們充分利用了“跨湖橋美食節(jié)”這個實實在在的地方資源,有機容納四個類別問題(如下表),達到形不散。

        本課的教學,教師選取的是“跨湖橋文化節(jié)”的主題情境,但在教學中每一個環(huán)節(jié)教師都盡量少說“廢話”,關于生活主題情境的闡述,除了課前談話1分鐘左右以外,其它各個環(huán)節(jié)連結語總時間不超過1分鐘。

        “我覺得整體的課結構很好。能夠緊密結合當?shù)氐奈幕M行教育。不過請注意,課的引入過程中,介紹當?shù)氐囊恍┗顒樱煲恍┎灰瘯r間太多。這些事學生是相對比較熟悉的,所以不必太詳細?!保ㄌ丶壗處熤笇А#?/p>

        結論:教學情境既激發(fā)興趣,又始終明確數(shù)學教學的目標要求,達到形神都不散。

        策略五:化靜為動,直觀表象構建思維支撐點

        人教版練習十五的第8題,無論前測還是后測,都顯示一個事實,學生獨立解決這個問題有難度。下面是根據(jù)教材改編的教學素材:跨湖橋文化節(jié)十大名菜展評中推出一道“孔雀開屏”。

        癥狀:根據(jù)前測和后測,學生近50%的學生能得到三個算式,

        14÷3=4(盤)……2(個)7÷1=7(盤)19÷2=9(盤)……1(個)

        但是得到正確答案“4 ”很難

        難點分析:為什么此題對學生而言很難,綜合性體現(xiàn)在哪?

        設計這道題目的編寫者的意圖,除了讓學生鞏固理解“最多”的余數(shù)取舍方法,此題蘊含的數(shù)學思想是什么?筆者感覺此題設計是兩次“最多”的綜合運用,第一次是余數(shù)的取舍,“蘋果多余的只數(shù)”要去掉,“菠蘿多余的只數(shù)”要去掉;第二次是組合事物商的取舍,“橙子多余的盤數(shù)”要去掉,“菠蘿多余的盤數(shù)”要去掉,蘊含的數(shù)學思想的根據(jù)是“包含與排除”的初步理解,7、4、9只能共同擁有4,所以最多只能做4盤“孔雀開屏”。

        難點根源:多樣物體進行“兩次取舍”,其中蘊含的數(shù)學思想,學生缺乏感性經(jīng)驗支撐

        采取對策:抽象的“數(shù)學思想”,用具體直觀演示做支撐。第一層面讓學生從數(shù)學數(shù)量和數(shù)學思想方法的角度尋找解決問題的策略,第二層面借助課件直觀地演示,用動態(tài)的形式,讓學生在感性認知的基礎上理解剛才的知識,形成同化。

        課堂片段:同學們有很多答案,咱們用課件幫助我們證明一下。(先放菠蘿,再放蘋果,最后放橘子。)(生隨著課件演示,說出每次變化。)

        動態(tài)演示—————————————————————

        逐步演示后提問:最多能放幾盤?為什么?

        學生思考后回答:4盤。此時有學生已經(jīng)能表達自己的思維:因為4是三個商中最小的,大家都包含有的量,所以當幾樣東西組合在一起,要選擇商最少的,咱們把這句話讀一讀。我們發(fā)現(xiàn):幾類事物組合在一起,取商最小的。這是數(shù)學思考的飛躍。

        結論收獲:現(xiàn)行小學數(shù)學教材為教師提供了豐富的教學資源,教材例題和習題內容也比較貼近學生的生活實際,符合學生的年齡特點,但這些畢竟是靜止的東西,要引起學生的注意和興趣還有很大的欠缺,而學生往往對活動的事物更感興趣。如果遭遇思維過程相對復雜、學生理解有一定的困難的內容,適當改變習題呈現(xiàn)方式,把這些靜止的資源活動化,可以增加直觀性、趣味性,更利于突破難點。

        上例中抽象的“數(shù)學思想”,用具體直觀演示做支撐,化靜為動,在學生有了直觀感受以后,再留時間讓學生自查、內化,并有提升和總結性的語言,幫助學生表達自己的認識,這樣他們對這類問題的解決就會比較到位。

        綜上所述,解決問題在內容上,并不局限典型例題,關注解決問題的思維過程;在形式上,突破了例題和練習“單打一”形式,更豐富更廣闊,感覺上給教師帶來很多困難。實質上,解決問題這樣的編排更關注原先“應用題”編排的目標的落實——重視思維方法的訓練(分析思維、綜合思維)和思維品質的培養(yǎng);

        所以,突破“解決問題”教學疑難,對教師而言,必須對教材深入剖析,包括挖掘教材每道題的編排意圖和代表類型,包括數(shù)學知識和生活情境之間的生長點聯(lián)結點,包括眾多版本的的教材的比較分析,這需要創(chuàng)新和探索;必須對學生進行深入分析,包括剖析學生已有生活經(jīng)驗和認知起點,包括剖析學生思維困惑的成因和對策,這需要創(chuàng)新和探索;必須對學生進行適恰的學法指導,重視算式意義的理解、思路的表述和思維關鍵的揭示,重視分析方法的討論和數(shù)量關系的提煉,任何數(shù)學問題的解決都不能直接依賴已有的知識和方法,只有通過對已掌握的知識和方法的重新組合并生成新的策略和方法,才能實現(xiàn)問題的解決,這也需要創(chuàng)新和探索。

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