李冬英 李瑤 梁睿

摘 要：機械產(chǎn)品裝配精度與裝配誤差源和誤差傳遞規(guī)律相關(guān)。論文研究了裝配結(jié)合面變形影響下零部件的建模方法，并建立了誤差模型。通過分析兩零部件粗糙表面結(jié)合處的相互作用，得出結(jié)合面變形特性。通過坐標(biāo)變換和位姿描述，構(gòu)建了零部件在結(jié)合面變形下的誤差模型。此外，分析了零部件的誤差傳遞路徑，建立了誤差累積傳遞模型并進(jìn)行了計算。

關(guān)鍵詞：裝配誤差建模;結(jié)合面變形;小位移旋量;誤差傳遞

0 引言

裝配結(jié)合面一般指機械零部件在裝配過程中微觀表面相互擠壓形成的接觸面。機械零部件相互結(jié)合由于摩擦、磨損、潤滑等特性發(fā)生結(jié)合面形變，這種類型的形變通過累積和傳遞，對于機械結(jié)構(gòu)將成為一個極大的影響因素。據(jù)研究，機床結(jié)合面處的變形量占機床整體靜變形量的比例可達(dá)85%～90%[1]。

張慧鋒[2]等人根據(jù)法向壓力與界面變形之間的關(guān)系設(shè)計了固定結(jié)合面的靜態(tài)特性實驗。楊紅平[3]等分別采用分形理論和力學(xué)理論，對微觀粗糙表面和接觸結(jié)合面進(jìn)行了分析，構(gòu)建了接觸過程中不同受力階段的接觸模型。Megalingam和Mayuram[4]利用有限元分析對粗糙表面之間的接觸進(jìn)行建模分析，得到了接觸面之間的壓強。莊艷[5]等提出了分水嶺分割的計算法，得到了較準(zhǔn)確的粗糙表面結(jié)合面接觸剛度。王世軍[6]等，通過實際零件表面尺寸測量，構(gòu)建了裝配預(yù)測模型，采用罰函數(shù)法對模型進(jìn)行了求解，實現(xiàn)裝配精度的預(yù)測。楊國慶[7]等采用數(shù)值方法分析了剛性光滑面與粗糙面之間的接觸，獲得了結(jié)合面間理想化的接觸特性，但是與實際情況存在一定偏差。

近年來，關(guān)于裝配誤差建模，很少考慮由于結(jié)合面形變而產(chǎn)生的影響，且建模也是假定配合面為兩個剛性面或一剛性面與粗糙面相互配合，與實際裝配精度存在較大偏差[8]。隨著時代的發(fā)展，科技的進(jìn)步，企業(yè)對于數(shù)控機床的整機性能要求越來越高，所以需要人們綜合考慮機械裝配零件中形變對裝配精度的影響。

1 構(gòu)建零部件裝配變形的誤差模型

1.1 坐標(biāo)變換與位姿描述

裝配過程誤差模型是在零件制造誤差的基礎(chǔ)上考慮裝配過程中的變形，并用旋量參數(shù)不等式表示和描述不同幾何特征的變化，從而體現(xiàn)零件理想幾何特征與實際幾何特征間的相互關(guān)系[9]。相比傳統(tǒng)裝配誤差模型，慮及裝配零部件形變的誤差模型更容易表達(dá)實際的裝配情況。

在坐標(biāo)空間中，產(chǎn)品裝配精度主要通過局部坐標(biāo)系中的零件誤差以及坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換來表示。如圖1所示，存在三個坐標(biāo)系，，。的原點相對的位置可用來表示，相對的位置可用來表示， 相對的位置可用表示。則存在以下關(guān)系：

因此，不同左邊系之間的一般變換可通過下式獲得：

式中表示坐標(biāo)系相對于坐標(biāo)系的位置;，，分別表示各坐標(biāo)系下的矢量。

空間兩物體之間的相對位置關(guān)系可通過齊次坐標(biāo)矩陣進(jìn)行描述[10]。因此，前式可利用下式來描述：

即，

式中，表示坐標(biāo)發(fā)生平移或旋轉(zhuǎn)的矩陣。

如圖1所示，若坐標(biāo)系相對于坐標(biāo)系的軸先平移后，再旋轉(zhuǎn)、、角，則：

其中;表示旋轉(zhuǎn)矩陣，表示平移矩陣。

若空間幾何體發(fā)生微小量平移或旋轉(zhuǎn)時，，，則：

1.2 構(gòu)建誤差模型

對于高端數(shù)控機床來說，數(shù)控轉(zhuǎn)臺的裝配精度對整機的精度有很大的影響。零部件制造后，其表面總會出現(xiàn)一些細(xì)微的凹凸缺陷，造成制造誤差，而制造誤差也同樣影響著裝配誤差。因此，生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的零件缺陷所引起的制造誤差不同，對最終裝配精度的影響也不同。如圖2所示，顯示了具有不同制造誤差的裝配示意圖。

從圖2可以看出，零部件在相互配合的過程中，由于具有不同制造誤差，導(dǎo)致微觀表面接觸的位置不同而產(chǎn)生偏差，造成末端位姿有所變化。因此，需要考慮零部件制造誤差在數(shù)控轉(zhuǎn)臺的裝配過程中產(chǎn)生的影響。

在裝配過程中由于零部件間接觸變形的存在，造成裝配誤差。圖3為考慮零部件變形對裝配精度影響示意圖。

在空間中，物體運動引起的微小變形可以用小位移旋量表示，進(jìn)而形成由旋量參數(shù)表示的幾何特征變化矩陣。零件裝配過程中，小變形引起的外力在產(chǎn)品聯(lián)合表面可以通過翻譯向量計算D = （DX， dy DZ） ^ t和旋轉(zhuǎn)矢量在三個坐標(biāo)方向θ= [Dθ_ x y DθDθ_ _ Z] ^ t有效表達(dá)在零部件裝配過程中，采用三個坐標(biāo)方向上的平動矢量及轉(zhuǎn)動矢量來描述外力作用在產(chǎn)品結(jié)合面中產(chǎn)生的微小變形，將總矢量稱為小位移旋量（SDT）：

式中，分別表示沿軸的轉(zhuǎn)動量。分別表示沿軸的平移量。

圖4表示考慮產(chǎn)品制造誤差、結(jié)合面形變誤差模型構(gòu)建信息。

從圖4中的a）中可以看出，在結(jié)合面中不包含形變誤差時，經(jīng)過測試的制造誤差都有偏差。需要對結(jié)合面進(jìn)行調(diào)整才能得到較為準(zhǔn)確的制造誤差。即將實測基準(zhǔn)面調(diào)為理想基準(zhǔn)面，得到的結(jié)合面制造誤差才是有效的。圖中經(jīng)過誤差實測獲取的虛線即為擬合面。因此，得到結(jié)合面誤差模型和，有。

此外，在圖4b）中可知實測局部坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系存在一定偏差。為了使裝配精度更符合實際情況，有必要將基準(zhǔn)擬合面調(diào)平到理想基準(zhǔn)。若配合端面擬合面及調(diào)平后實際擬合面的誤差模型及，則。

通過上述分析，準(zhǔn)確獲取裝配體配合面在載荷作用下的擬合變形面是構(gòu)建機械結(jié)構(gòu)誤差模型的基礎(chǔ)和前提[11]。本文中針對裝配機械結(jié)構(gòu)，采用數(shù)值分析方法，得到各配合表面節(jié)點處的變形點云數(shù)據(jù)，進(jìn)而獲得擬合變形表面。假設(shè)零部件結(jié)合面上存在個節(jié)點，經(jīng)最小二乘法得到的擬合變形面為：

其中，。

平面特征位姿旋量參數(shù)的求解方法如圖5所示。

從圖5中可以看出擬合變形平面相當(dāng)于繞X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)，沿Z軸平移。根據(jù)前式可得：

式中，為擬合平面相對于基準(zhǔn)面繞X軸的旋轉(zhuǎn)角度，為擬合平面相對于基準(zhǔn)面繞Y軸的旋轉(zhuǎn)角度，其正負(fù)嚴(yán)格按照右手螺旋法則確定。

將得到的平面特征各旋量參數(shù)代入，得到包含制造誤差與裝配變形因素零部件配合表面位姿旋量表達(dá)式：

由于載荷作用下零部件配合面變化較小，根據(jù)和的表達(dá)式，考慮制造誤差和裝配變形的平面特征誤差模型如下：

2 誤差傳遞模型

零部件誤差的傳遞與累積決定了產(chǎn)品最終裝配精度對結(jié)合面誤差累積傳遞分析是構(gòu)建數(shù)控轉(zhuǎn)臺精度預(yù)測模型必要步驟。

2.1 誤差傳遞路徑

為了確定機械結(jié)構(gòu)誤差的累積傳遞機理，建立裝配精度模型，必須先建立產(chǎn)品各零部件的坐標(biāo)系。如圖6所示，為零件1和零件2的裝配示意圖，其中O_A、O_P以及O_F分別代表基準(zhǔn)坐標(biāo)系、名義坐標(biāo)系以及特征坐標(biāo)系。

由圖6可知，零部件配合過程中各坐標(biāo)系的關(guān)系為：

，

式中，，和分別為其在各坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)。其中為一個的旋轉(zhuǎn)矩陣，表示旋轉(zhuǎn)變換。為一個1×3的平面向量，表示平移變換。

2.2 累積誤差計算

在實際裝配過程中，各個零件的結(jié)合面都受到制造誤差和變形因素的影響，且隨著裝配的進(jìn)行，各結(jié)合面之間的誤差會不斷積累和傳遞，從而影響整機的性能。

各零部件配合誤差的累積，形成了裝配體的系統(tǒng)誤差。若5個零部件相互配合，則其末端變換矩陣為

。

這里

分別為不同坐標(biāo)系間的綜合變換矩陣，其中、、為沿坐標(biāo)軸X、Y、Z的旋量，、、為沿坐標(biāo)軸X、Y、Z的平移量。

綜上所述，在個接觸結(jié)合面的系統(tǒng)中，最終的誤差是n個結(jié)合面誤差的相互累加。因此，個接觸結(jié)合面系統(tǒng)的整體裝配精度為：

式中，為系統(tǒng)末端坐標(biāo)，為第n個零件坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

3 結(jié)論

零部件其裝配結(jié)合面所產(chǎn)生的形變受多因素作用，并且其形變?yōu)榉蔷€性關(guān)系，因此，考慮結(jié)合面形變構(gòu)建誤差模型比較困難。本章采用旋量參數(shù)不等式法很好的解決了這個問題。

首先對坐標(biāo)變換和姿態(tài)描述進(jìn)行了分析和表達(dá)。其次，對零件制造誤差和裝配變形誤差進(jìn)行了分析，形成螺旋參數(shù)誤差模型。最后，根據(jù)機械結(jié)構(gòu)誤差累積傳遞機理，建立了模型產(chǎn)品零件的坐標(biāo)系和誤差傳遞矩陣。因此，基于結(jié)合面形變的誤差分析和描述得到了較好的解決。

參考文獻(xiàn)：

[1]張學(xué)良.機械結(jié)合面動態(tài)特性及應(yīng)用[M].中國科學(xué)技術(shù)出版社，2002.

[2]張慧鋒，關(guān)立文，李金峰.固定結(jié)合面法向靜態(tài)特性模型研究[J].制造技術(shù)與機床，2012（8）：45-49.

[3]楊紅平，傅衛(wèi)平，王雯，等.基于分形幾何與接觸力學(xué)理論的結(jié)合面法向接觸剛度計算模型[J].機械工程學(xué)報，2013，49（1）：102-107.

[4]A Megalingam and MM Mayuram. Effect of surface parameters on finite element method based deterministic Gaussian rough surface contact model[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part J：Journal of Engineering Tribology，2014，228（12）：1358-1373.

[5]莊艷，李寶童，洪軍，等.一種結(jié)合面法向接觸剛度計算模型的構(gòu)建[J].上海交通大學(xué)學(xué)報（自然版），2013， 47（2）：180-186.

[6]王世軍，趙金娟，張慧軍，等.一種結(jié)合部法向剛度的預(yù)估方法[J].機械工程學(xué)報，2011，47（21）：111-115+122.

[7]楊國慶，熊美華，洪軍，等.3D粗糙表面的數(shù)字化表征與接觸特性分析[J].西安交通大學(xué)學(xué)報，2012，46（11）： 58-63.

[8]A.Korbi et al.CAD/tolerancing integration：a new approach for tolerance analysis of non-rigid parts assemblies[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2018，98（5-8）：2003-2013.

[9]Sitong Xiang et al.Geometric error analysis and compensation for multi-axis spiral bevel gears milling machine[J].Mechanism and Machine Theory， 2018，121：59-74.

[10]粟時平，李圣怡.五軸數(shù)控機床綜合空間誤差的多體系統(tǒng)運動學(xué)建模[J].組合機床與自動化加工技術(shù)，2003（5）：

17-20+23.

[11]蘇妙靜.數(shù)控機床誤差補償及單軸受力對幾何誤差影響的研究[D].廣東海洋大學(xué)，2020.