摘? 要：大多數(shù)被試對(duì)數(shù)學(xué)公式表征具有不良的超高敏感度，不良性在于高敏感度表征源自機(jī)械操練，表現(xiàn)為機(jī)械記憶，導(dǎo)致被試的公式表征質(zhì)量低劣且表征形式單一，從而無(wú)法嵌入數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維之中，亦沒(méi)有與解題策略共生，啟示教師在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行“有目的練習(xí)”.

關(guān)鍵詞：公式表征;敏感度;有目的練習(xí)

一、問(wèn)題提出

公式表征是公式在頭腦中的存儲(chǔ)方式. 文獻(xiàn)[1]的實(shí)驗(yàn)證實(shí)，在高強(qiáng)度變式練習(xí)下，學(xué)生對(duì)頭腦中數(shù)學(xué)材料的提取形成自動(dòng)化，模糊了不同表征方式之間的界限，由理解性記憶產(chǎn)生的優(yōu)質(zhì)表征與由機(jī)械記憶產(chǎn)生的機(jī)械表征之間存在“認(rèn)知鴻溝”，機(jī)械表征對(duì)學(xué)生的傷害不僅表現(xiàn)在當(dāng)下，也表現(xiàn)為對(duì)學(xué)生的未來(lái)學(xué)習(xí)產(chǎn)生不利影響. 另外，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，公式記憶得越牢固解題能力越強(qiáng)，客觀事實(shí)卻是大部分學(xué)生雖熟記公式，卻仍然無(wú)法順利解答高考?jí)狠S題. 因此，有必要弄清文獻(xiàn)[1]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)論、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和客觀事實(shí)三個(gè)方面所產(chǎn)生的矛盾的根源.

我們用“公式表征敏感度”刻畫(huà)公式記憶熟練程度. 公式表征敏感度定義為：在解題過(guò)程中正確提取公式的被試人數(shù)與被試總?cè)藬?shù)的比值. 顯然，該比值大小與敏感度成正比，比值越大敏感度越高.

我們的問(wèn)題是：公式表征的高敏感度是否一定能轉(zhuǎn)化為解高考?jí)狠S題的優(yōu)勢(shì)？如果不能正向轉(zhuǎn)化，那么逆向轉(zhuǎn)化的結(jié)果是什么？它如何阻礙解題？為探求該問(wèn)題的底蘊(yùn)，本文設(shè)計(jì)一個(gè)解題實(shí)驗(yàn)，探求學(xué)生對(duì)公式表征敏感度與解答高考?jí)狠S題之間的關(guān)系. 讀者將會(huì)看到，該實(shí)驗(yàn)所獲得的關(guān)于公式表征敏感度對(duì)解題影響的結(jié)論令人十分憂心.

二、解題實(shí)驗(yàn)

1. 目的

以新進(jìn)入高三的數(shù)學(xué)優(yōu)等生為被試，探尋數(shù)學(xué)公式超高敏感導(dǎo)致解答高考?jí)狠S題失分的原因，以及復(fù)習(xí)對(duì)策.

2. 材料

選用2012年高考數(shù)學(xué)廣東卷理科第20題作為解題實(shí)驗(yàn)測(cè)試題. 當(dāng)年共有21道試題，此題是一道標(biāo)準(zhǔn)的解析幾何壓軸題. 試題解答中出現(xiàn)了解析幾何的基本公式，同時(shí)體現(xiàn)了解答高考解析幾何壓軸題的基本解題思路，滿足實(shí)驗(yàn)要求.

測(cè)試題去掉第（1）小題后，抄錄如下.

3. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

被試來(lái)自廣東省肇慶市重點(diǎn)中學(xué)高二升高三學(xué)生，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好. 由于新冠肺炎疫情，解析幾何為線上學(xué)習(xí)，因而訓(xùn)練沒(méi)有線下充分，但整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程依然充分操練. 測(cè)試時(shí)間為40分鐘，共收回38份答卷，剔除4份無(wú)效答卷，有效答卷共34份.

通過(guò)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的被試人數(shù)如下表所示.

第一列是節(jié)點(diǎn)（解題步驟），第二列是正確通過(guò)節(jié)點(diǎn)的被試人數(shù)，第三列是通過(guò)節(jié)點(diǎn)的被試人數(shù)與被試總?cè)藬?shù)的比值，即敏感度.

表中數(shù)據(jù)表明，數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)在上述四個(gè)區(qū)塊上，因此我們用區(qū)塊的平均敏感度來(lái)描述更為簡(jiǎn)潔.

根據(jù)上表，參數(shù)討論區(qū)塊敏感度是0，根與系數(shù)的關(guān)系區(qū)塊的平均敏感度為0.69，化簡(jiǎn)區(qū)塊敏感度為0.24，基本不等式區(qū)塊的平均敏感度為0.09.

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果討論

需要指出的是，化簡(jiǎn)區(qū)塊（[△7]）表面看起來(lái)是公式，實(shí)質(zhì)上它并非各種公式的代入，而是一系列符號(hào)運(yùn)算結(jié)果. 參數(shù)討論區(qū)塊亦非公式構(gòu)成，它涉及直線方程系數(shù)討論或直線的幾何形態(tài). 另外，由于僅3名被試達(dá)到基本不等式區(qū)塊，不具備討論的價(jià)值，故略去.

1. 公式表征沒(méi)有嵌入運(yùn)算能力中

由此可以推斷，被試所處的教學(xué)環(huán)境中，重公式記憶輕能力培養(yǎng)，被試犧牲提升能力的教學(xué)資源用于訓(xùn)練表征公式，這種犧牲僅僅換來(lái)被試圍繞解題思路熟練提取所需公式的能力，該項(xiàng)能力只是解壓軸題的第一步，在運(yùn)算中靈活運(yùn)用這些被提取的公式才是解題的關(guān)鍵.

2. 公式表征質(zhì)量不高

讀者或許已經(jīng)注意到實(shí)驗(yàn)結(jié)果中有一個(gè)十分奇特的數(shù)據(jù)，參數(shù)討論區(qū)塊（[△2]）的敏感度是0，即全體被試都沒(méi)對(duì)直線方程[mx+ny=1]進(jìn)行分類討論，形成鮮明對(duì)比的是，學(xué)生對(duì)直線方程有較高的表征敏感度（[△1=0.68]），有68%的被試正確求出了點(diǎn)到直線的距離. 一個(gè)合理的解釋是，被試關(guān)于直線方程表征不精確，因?yàn)樵诮忸}過(guò)程中有兩個(gè)機(jī)會(huì)引發(fā)被式進(jìn)行參數(shù)討論：從代數(shù)角度，解題需要從直線方程中解出[y]，則勢(shì)必考慮[n]是否為0;從幾何角度，則需要考慮直線的位置關(guān)系. 無(wú)論從哪一個(gè)角度考慮，都需要對(duì)變量[y]的系數(shù)字母[n]進(jìn)行討論. 究其原因，學(xué)生在解題訓(xùn)練中，將精力投放到對(duì)公式的提取速度，忽略了公式的條件、適用情境，以及與之相關(guān)知識(shí)的構(gòu)成. 這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，高敏感度且低質(zhì)量的公式表征對(duì)被試在解高考?jí)狠S題時(shí)起到破壞作用. 因?yàn)楫?dāng)被試迅速提取公式并不假思索地應(yīng)用于解題時(shí)，極易跳過(guò)落筆有據(jù)的內(nèi)部思考這一環(huán)節(jié)，顯然不利于發(fā)展數(shù)學(xué)思維的縝密性.

3. 公式表征游離于解題策略之外

實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，根與系數(shù)的關(guān)系區(qū)塊中的根與系數(shù)的關(guān)系節(jié)點(diǎn)（[△3]）的敏感度處于最高位，76%的被式遇到直線與圓錐曲線交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，根與系數(shù)的關(guān)系被迅速激活. 在回收的34份答題卷中，僅有3名被試采用幾何法，1名采用三角法，且都失敗了，余下的30位被試全部采用解析法. 可以合理推斷，到高考時(shí)，對(duì)根與系數(shù)的關(guān)系的敏感度將更高.

這一結(jié)果產(chǎn)生了尷尬和矛盾. 尷尬是因?yàn)楫?dāng)年廣東的考試大綱中并未把根與系數(shù)的關(guān)系作為考點(diǎn)，此題標(biāo)準(zhǔn)答案首推幾何法，命題人也是根據(jù)幾何法來(lái)確定試題難度的;矛盾在于求解此題雖然幾何法明顯優(yōu)于解析法，但被試的頭腦中仿佛有一條非常明確的根與系數(shù)的關(guān)系解題路線圖，且認(rèn)定此路線圖是求解這類問(wèn)題的必經(jīng)（或唯一）之路.

實(shí)際上，運(yùn)用幾何法求解相當(dāng)簡(jiǎn)潔. 現(xiàn)把幾何法求解過(guò)程的前半段抄錄如下，后半段與解析法相同，區(qū)別在于利用勾股定理求三角形的底邊[AB].

以下略去.

幾何法自然地避開(kāi)了該題的最大失分點(diǎn)——參數(shù)討論，但是被試幾乎全都選擇根與系數(shù)的關(guān)系這一群體性的自動(dòng)化解題行為，顯示公式表征出現(xiàn)畸形：在機(jī)械套路里死記硬背公式，而公式表征則游離于解題策略之外，使得被試在答題時(shí)缺乏合情推理，導(dǎo)致解題策略單一.

四、實(shí)驗(yàn)結(jié)論對(duì)高考復(fù)習(xí)的啟示

目前，高考應(yīng)試訓(xùn)練中比較流行的做法是將訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式的敏感度作為提升高考成績(jī)的突破口，這種做法至少對(duì)解壓軸題來(lái)說(shuō)不盡正確.

該實(shí)驗(yàn)證實(shí)，公式表征的高敏感度極易由機(jī)械記憶產(chǎn)生，尤其是當(dāng)其與解題套路結(jié)合，本文將此情形簡(jiǎn)稱為“不良敏感”. 它從三個(gè)方面阻礙學(xué)生解答高考?jí)狠S題：第一，“不良敏感”導(dǎo)致公式表征質(zhì)量不高，即對(duì)頭腦中所存儲(chǔ)的公式編碼不準(zhǔn)確;第二，“不良敏感”具有強(qiáng)烈的排他性，它與合情推理相悖，超敏感性將解題思路的選取固化為對(duì)敏感公式的提取;第三，“不良敏感”是只對(duì)單個(gè)公式的敏感，并沒(méi)有形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因而阻礙能力提升. 這三個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)論對(duì)高考復(fù)習(xí)教學(xué)有如下啟示.

1. 以科學(xué)記憶方式消除“不良敏感”

文獻(xiàn)[1]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)論有助于消除“不良敏感”對(duì)公式表征的不良影響. 首先，當(dāng)前機(jī)械記憶的主要表現(xiàn)形式為大運(yùn)動(dòng)量訓(xùn)練記憶公式，實(shí)驗(yàn)證實(shí)這種表征方式回憶質(zhì)量最差;其次，具有高度概括性的表征方式（如口訣表征方式“奇變偶不變，符號(hào)看象限”）回憶質(zhì)量較佳，概括性是指新知識(shí)與原有知識(shí)融合成一個(gè)新知識(shí)結(jié)構(gòu)，以及簡(jiǎn)化公式提取程序;最后，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好或數(shù)學(xué)能力比較強(qiáng)的學(xué)生更傾向于采用有聯(lián)系的表征方式，如用函數(shù)賦值的方式記憶誘導(dǎo)公式等. 可見(jiàn)，高質(zhì)量數(shù)學(xué)公式表征皆從大運(yùn)動(dòng)量練習(xí)套路中跳出來(lái)，嵌入數(shù)學(xué)能力提升和發(fā)展數(shù)學(xué)思維的過(guò)程中.

2. 以多重表征消除“不良敏感”

公式表征的“不良敏感”的一個(gè)顯著特征是公式表征的低質(zhì)量且高敏感度，這是因?yàn)閷W(xué)生不清楚公式的來(lái)龍去脈致使該公式與其他知識(shí)之間的紐帶斷裂，在具體解題活動(dòng)中表現(xiàn)為忽視公式的限制條件和適用范圍，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算目標(biāo)不明確等. 例如，該實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生在對(duì)目標(biāo)函數(shù)[fm，n=S△OAB]進(jìn)行化簡(jiǎn)的運(yùn)算過(guò)程中，沒(méi)有從求最值這一運(yùn)算目標(biāo)聯(lián)想到基本不等式，導(dǎo)致運(yùn)算過(guò)程的無(wú)序性和無(wú)目的性. 我們?cè)诒辉嚨牟莞寮埳嫌^察到，被試試圖用多種方法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，如換元法、三角法、求導(dǎo)等. 雖然被試對(duì)各種公式信手拈來(lái)，但是演算過(guò)程中所提取的有些公式和組織公式的方法與運(yùn)算目的無(wú)關(guān)，因而達(dá)不到化簡(jiǎn)的最終目的.

認(rèn)知數(shù)學(xué)對(duì)象比較好的方式是從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度來(lái)觀察和思考，要將知識(shí)合理地安放在頭腦的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，應(yīng)該盡可能地以幾何和代數(shù)這兩種知識(shí)形態(tài)進(jìn)行雙重編碼（編碼意為知識(shí)在頭腦中的合理組織），這樣將極大提升表征質(zhì)量. 如果再加上對(duì)公式的高敏感度，問(wèn)題解決的能力就無(wú)疑會(huì)提升. 數(shù)學(xué)家這一實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)已被心理學(xué)家佩維奧所證實(shí)，他認(rèn)為表征信息依靠語(yǔ)言和視覺(jué)對(duì)當(dāng)前材料進(jìn)行編碼，而不是抽象的表征命題. 佩維奧的研究告訴我們，應(yīng)該將公式以多種形式存儲(chǔ)于頭腦中，而非僅限于幾何和代數(shù)這兩種形式.

3. 以“有目的學(xué)習(xí)”消除“不良敏感”

令人不安的是，被試對(duì)根與系數(shù)的關(guān)系的超級(jí)敏感近乎八股化. 張奠宙先生在文獻(xiàn)[3]中痛斥：“……現(xiàn)在居然連每個(gè)題目的次序和位置都要穩(wěn)定，否則就要影響學(xué)生的得分率，中國(guó)參加高考的學(xué)生連題目的次序更改都不能適應(yīng)，令人可悲.”顯然，張先生的憂慮被該實(shí)驗(yàn)所證實(shí).

在幾何方法更優(yōu)、且被命題人“欽定”為首選方法的情形下，仍然有高達(dá)92%的被試選擇根與系數(shù)的關(guān)系. 合理推斷，被試對(duì)根與系數(shù)的關(guān)系的高度敏感源自解題套路. 一個(gè)問(wèn)題的解決者在解題過(guò)程中拋棄簡(jiǎn)單方法而尋求復(fù)雜方法，這極可能與機(jī)械訓(xùn)練有關(guān). 從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的過(guò)度集中趨勢(shì)來(lái)看，課堂教學(xué)的指導(dǎo)思想是導(dǎo)致這一現(xiàn)象的關(guān)鍵.

在文獻(xiàn)[4]的“教育隨筆”中，張奠宙先生引用楊振林、陳省身和華羅庚三位大師關(guān)于熟與巧的論述，指出中國(guó)古訓(xùn)“熟能生巧”的關(guān)鍵在于一個(gè)“巧”字. 若將該古訓(xùn)與機(jī)械訓(xùn)練或題海戰(zhàn)術(shù)結(jié)合起來(lái)，則無(wú)巧可言，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成“爛熟”而非“巧熟”，將練習(xí)與理解結(jié)合起來(lái)，方為中西數(shù)學(xué)教育互補(bǔ)之道.

如要變“爛熟”為“巧熟”，可從心理學(xué)家埃里克森的一項(xiàng)研究中得到啟發(fā)，其根據(jù)十多年對(duì)各行各業(yè)專家的調(diào)查訪問(wèn)及理論研究指出，所有的練習(xí)（訓(xùn)練）都應(yīng)該是有“目的”的，并給出“有目的練習(xí)”的定義如下：學(xué)習(xí)者不是機(jī)械地操作，他們有學(xué)習(xí)的動(dòng)力;他們得到關(guān)于自身操作的反饋;他們仔細(xì)觀察自己的操作并與正確的操作相比，哪些做對(duì)了，哪些有差距，并集中注意力消除差距.

“有目的練習(xí)”包括三個(gè)教學(xué)診斷步驟：發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤，理解學(xué)生錯(cuò)誤，幫助學(xué)生改正錯(cuò)誤. 無(wú)需討論可知，“有目的練習(xí)”是破除“不良敏感”將學(xué)生窒礙于解題套路的良方.

參考文獻(xiàn)：

[1]郭志勇，吳躍忠. 數(shù)學(xué)公式表征質(zhì)量實(shí)驗(yàn)研究[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2018（11）：19-22.

[2]約翰·安德森. 認(rèn)知心理學(xué)及其啟示（第7版）[M]. 秦裕林，程瑤，周海燕，等譯. 北京：人民郵電出版社，2012.

[3]張奠宙，趙小平. 解析幾何題在高考試卷中的位置需要穩(wěn)定：應(yīng)試教育的超級(jí)八股一例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（10）：封四.

[4]張奠宙. 教育隨筆[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（6）：38.

[5]吳躍忠.“無(wú)目的練習(xí)”形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“爛熟”[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（6）：11-13.