張琦 高慧明

摘? 要：拋物線“距離和”的最值問(wèn)題是解析幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)，往往需要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法才能很好地解決這類(lèi)問(wèn)題. 在課堂上講解這類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生往往會(huì)提出與教師預(yù)設(shè)的解法“大不相同”的思考方向，此時(shí)教師順勢(shì)而為，按照學(xué)生提供的“新”思路展開(kāi)探究，通過(guò)層層設(shè)疑答疑，進(jìn)行變式教學(xué). 這個(gè)過(guò)程可以引導(dǎo)學(xué)生變換思維角度，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：拋物線;最值;探究;素養(yǎng)

高三第一輪復(fù)習(xí)的主要任務(wù)是鞏固和理解已學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握和應(yīng)用已學(xué)的基本技能. 此后還需通過(guò)數(shù)學(xué)的基本思想方法將所學(xué)知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，最終做到連點(diǎn)成線，連線成面.

在最近一次“拋物線‘距離和’的最值問(wèn)題”的復(fù)習(xí)課中，學(xué)生自發(fā)地對(duì)拋物線中“距離和”的最值問(wèn)題展開(kāi)了熱烈的討論，雖然完全打亂了筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)流程，但是這個(gè)過(guò)程中學(xué)生展現(xiàn)出來(lái)的探究熱情，以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，都令人眼前一亮. 下面對(duì)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)單復(fù)現(xiàn)，并對(duì)此做出了思考和總結(jié).

一、問(wèn)題的提出

在以往的教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，這類(lèi)問(wèn)題講到這里已經(jīng)足夠——復(fù)習(xí)了拋物線的知識(shí)，強(qiáng)調(diào)了轉(zhuǎn)化的方法，體會(huì)了數(shù)形結(jié)合思想. 但這次上課的時(shí)候在這里出現(xiàn)了一些“意外”，一位平時(shí)成績(jī)不錯(cuò)的學(xué)生突然舉手，說(shuō)到：“老師，我覺(jué)得您剛剛講的例題很特殊，要么已知的直線是拋物線的準(zhǔn)線，要么已知的點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn). 我在想，如果是兩條一般的直線，這類(lèi)問(wèn)題還能解嗎？”這位學(xué)生的想法出乎筆者的意料，因?yàn)楣P者并沒(méi)有按照這個(gè)思路進(jìn)行備課，如果按照該思路展開(kāi)教學(xué)，將面臨課堂不可控的“危險(xiǎn)”;但是如果不管這位學(xué)生的觀點(diǎn)，只是要求他“自己課下思考”，那必然極大地傷害了他的積極性. 權(quán)衡利弊，筆者決定順勢(shì)而為，讓學(xué)生展開(kāi)探究，看看到底能夠提出什么樣的問(wèn)題.

二、問(wèn)題的探究

師：這位同學(xué)提出了一個(gè)非常有價(jià)值的問(wèn)題，如果將我們剛剛研究的問(wèn)題一般化，那么憑借我們現(xiàn)有的知識(shí)，還能解決相應(yīng)的問(wèn)題嗎？由于老師也沒(méi)有對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行準(zhǔn)備，那么現(xiàn)在就將改編的任務(wù)交給大家. 請(qǐng)同學(xué)們改編上述問(wèn)題，并給出解答.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以按照自己的想法來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，積極性大為提升，課堂氣氛也逐漸熱烈起來(lái). 沒(méi)過(guò)多久，就有學(xué)生提出了多個(gè)問(wèn)題. 對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行歸納、整理，發(fā)現(xiàn)可以分為以下四類(lèi).

此時(shí)，教師對(duì)提出問(wèn)題的學(xué)生提出表?yè)P(yáng)，鼓勵(lì)所有學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中要積極思考，遇到特殊問(wèn)題不妨想想一般化的結(jié)論;遇到一般的結(jié)論，不妨想想特殊化的結(jié)果. 同時(shí)，也給予解答問(wèn)題的學(xué)生積極的評(píng)價(jià)，鼓勵(lì)大家遇到問(wèn)題不要有畏難情緒，不要禁錮在已有的思維框架中，要敢想敢做、精“畫(huà)”細(xì)算. 至此，筆者不免沾沾自喜，想繼續(xù)研究下面的問(wèn)題，但是還是問(wèn)了一句.

師：上面這個(gè)問(wèn)題我們通過(guò)轉(zhuǎn)化的方法已經(jīng)解決了，同學(xué)們還有補(bǔ)充嗎？

此時(shí)，筆者只好停止了想繼續(xù)探究下面問(wèn)題的想法，著手解決眼前這個(gè)雙絕對(duì)值的最值問(wèn)題.

師：同學(xué)們，大家有什么好的方法能夠解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

學(xué)生能夠從幾何和代數(shù)兩個(gè)方面解決這個(gè)問(wèn)題，他們的表現(xiàn)出乎筆者意外，筆者對(duì)生1提出了表?yè)P(yáng).

之后，開(kāi)始帶領(lǐng)學(xué)生一起研究解決類(lèi)型2. 這個(gè)問(wèn)題乍一看與類(lèi)型1區(qū)別不大. 但是仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)好像又有很大不同，因?yàn)樵谠擃}中沒(méi)有辦法通過(guò)拋物線的定義將動(dòng)點(diǎn)到兩直線的距離之和轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到直線的距離了. 怎么辦呢？由于有上面生1的鋪墊，很快就有學(xué)生提出了可行的辦法.

生2的想法猶如落入池塘的一顆石子，激起了朵朵思維的浪花. 有的學(xué)生馬上接著說(shuō)，既然不會(huì)求兩個(gè)絕對(duì)值和的最值，那就把絕對(duì)值去掉啊. 于是提出了以下解法.

當(dāng)經(jīng)過(guò)教師適當(dāng)引導(dǎo)、學(xué)生積極發(fā)言解決上述兩個(gè)問(wèn)題以后，學(xué)生的探究熱情更高了，于是大家都想趁熱打鐵，把類(lèi)型3也解決了. 但是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的思考，大家發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題很難——不管是幾何方法還是代數(shù)方法好像作用都不大.

生5：老師，我覺(jué)得上面那個(gè)式子特別像橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在化簡(jiǎn)之前的樣子，但是我嘗試化簡(jiǎn)，所得的結(jié)果特別復(fù)雜.

師：事實(shí)上，我們也可以通過(guò)這種方法對(duì)類(lèi)型4進(jìn)行研究，但是由于需要對(duì)橢圓進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了考試的要求，所以不在本節(jié)課進(jìn)行探究，有興趣的同學(xué)可以課下進(jìn)行進(jìn)一步研究，之后可以和伙伴們分享.

三、問(wèn)題的總結(jié)

1. 探究、探究活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

探究可以簡(jiǎn)單理解為探索研究，也就是通過(guò)對(duì)一定的事物（課題）進(jìn)行深入探索、反復(fù)研究，進(jìn)而尋求根源（結(jié)果）的過(guò)程. 探究活動(dòng)是在探究思維的指導(dǎo)下，對(duì)某事物（課題）開(kāi)展研究活動(dòng)，這個(gè)研究活動(dòng)具有一定的方法和程序，能夠進(jìn)行重復(fù)操作. 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)則是在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部，采用探究活動(dòng)的方法和程序，對(duì)某些特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行研究，這些數(shù)學(xué)問(wèn)題可以來(lái)自現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，也可以來(lái)自數(shù)學(xué)問(wèn)題本身. 經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過(guò)程，除了讓學(xué)生獲得學(xué)科知識(shí)，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)之外，也力爭(zhēng)讓學(xué)生掌握一定的探究學(xué)習(xí)技能，形成科學(xué)研究的態(tài)度.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出，“數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，自主探究、學(xué)習(xí)的過(guò)程”“數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式，有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過(guò)程，初步理解直觀和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系，初步嘗試數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神.”

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》除了凝練了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)以外，另一個(gè)比較大的變化是給“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”分配了具體的課時(shí). 同時(shí)指出，“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展自主探究、合作研究并最終解決問(wèn)題的過(guò)程”，還建議“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)以課題研究的形式開(kāi)展. 在必修課程中，要求學(xué)生完成其中一個(gè)課題的研究”.

“數(shù)學(xué)探究”或“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”只是探究活動(dòng)的一種形式，一個(gè)組成部分. 探究問(wèn)題的選擇上，既可以是來(lái)自教材、教師、網(wǎng)絡(luò)，也可以是學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題. 這些問(wèn)題既可以是已經(jīng)解決的，也可以是尚無(wú)定論的. 在確定解決問(wèn)題步驟的時(shí)候，教師要起關(guān)鍵的作用，通過(guò)教師的因勢(shì)利導(dǎo)，將超出學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的問(wèn)題拉近到最近發(fā)展區(qū)，幫助學(xué)生把主要精力集中在思考問(wèn)題上，激發(fā)他們創(chuàng)造的熱情和享受收獲的喜悅.

在具體上課的時(shí)候，由于只是在某一節(jié)課的某一部分開(kāi)展探究活動(dòng)，所以教師完全不必拘泥于“課題研究的形式開(kāi)展”. 但是開(kāi)展探究活動(dòng)的基本流程要體現(xiàn)出來(lái). 例如，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題以后，要嘗試解決問(wèn)題;解決問(wèn)題以后，要接受同行（這里是同學(xué)）對(duì)問(wèn)題結(jié)果的評(píng)價(jià)，并針對(duì)評(píng)價(jià)進(jìn)行方法的修正等. 事實(shí)上，本節(jié)課的探究過(guò)程，就很好地體現(xiàn)了這種思想：?jiǎn)栴}來(lái)源于學(xué)生，解決問(wèn)題的思路設(shè)計(jì)來(lái)源于學(xué)生，對(duì)結(jié)果的點(diǎn)評(píng)還是來(lái)源于學(xué)生. 在這個(gè)過(guò)程中，教師起到了很好的“主導(dǎo)”的作用，但“主體”是學(xué)生.

開(kāi)展探究活動(dòng)，應(yīng)該與開(kāi)展“數(shù)學(xué)建?！被顒?dòng)有所不同. 數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，這些問(wèn)題通常是沒(méi)有確定結(jié)論的;而數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，問(wèn)題可以是來(lái)自實(shí)際問(wèn)題，也可以是來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)科本身，既可以是未曾解決的問(wèn)題，也可以是已經(jīng)解決了的問(wèn)題. 數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，注重整個(gè)建模過(guò)程對(duì)學(xué)生素養(yǎng)的提升，并不刻意追求結(jié)果的準(zhǔn)確性;而數(shù)學(xué)的探究活動(dòng)除了要重視知識(shí)的應(yīng)用以外，也重視結(jié)果，結(jié)果往往也是學(xué)生需要掌握的知識(shí).

2. 教學(xué)有法、教無(wú)定法、貴在得法

所謂教學(xué)有法，是指針對(duì)不同的學(xué)科內(nèi)容，教學(xué)活動(dòng)有一定的規(guī)則、規(guī)律、法則和模式，教學(xué)過(guò)程要目標(biāo)明確，重點(diǎn)突出，不能偏離;而教無(wú)定法，是指教學(xué)的時(shí)候不能只是機(jī)械地模仿，而是要根據(jù)不同的知識(shí)內(nèi)容、學(xué)生層次和教學(xué)資源靈活處理，讓課堂富有個(gè)性、充滿靈性，從而讓教學(xué)真正變成一門(mén)藝術(shù). 為了達(dá)成上述目標(biāo)，教師將各種教學(xué)工具、技術(shù)、方法等恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用于具體的問(wèn)題情境，努力找到最適合的課堂教學(xué)方法，這就是貴在得法.

數(shù)學(xué)課也是如此. 一節(jié)常規(guī)的數(shù)學(xué)課教學(xué)目標(biāo)要定位準(zhǔn)確，教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)要重點(diǎn)突出，師生互動(dòng)活動(dòng)要能充分展現(xiàn)學(xué)生的思維火花，在這個(gè)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程中，讓學(xué)生學(xué)到了知識(shí)，掌握了技能，形成了思想方法，提升了核心素養(yǎng). 但是一節(jié)課很難保證一定是按照教師設(shè)計(jì)的思路順利實(shí)施下去. 例如，本節(jié)課是由學(xué)生岔開(kāi)話題，被動(dòng)地展開(kāi)了“探究活動(dòng)”，這個(gè)時(shí)候就要求教師要有足夠的智慧和定力，不要怕學(xué)生有“奇怪”的想法，而是要讓學(xué)生充分地展示他們的想法，教師只需順勢(shì)而為、因勢(shì)利導(dǎo)，就會(huì)達(dá)成不錯(cuò)的教學(xué)效果. 此時(shí)，教師心里就不要再固守“本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)”的成念，而是要上升到“通過(guò)這樣的探究活動(dòng)，學(xué)生的哪方面的能力、素養(yǎng)有所提升”的高度. 其實(shí)，這個(gè)時(shí)候也就完成了從教學(xué)有法、教無(wú)定法到貴在得法的順利過(guò)渡.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制訂. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.