蔣妙娟

一、源起：

生活中，我們經(jīng)?？吹匠惺浙y員時(shí)常要計(jì)算一堆不同面值紙幣的總值，一般會(huì)先根據(jù)面值的不同將這些紙幣分成一疊疊的，再分別計(jì)算出每疊紙幣的值，最后合計(jì)出這堆紙幣的總值。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾曾說(shuō)過(guò)： “把你所考慮的每一個(gè)問(wèn)題，按照可能和需要，分成若干部分，使它們更易于求解.”唯物辯證法認(rèn)為，任何事物、現(xiàn)象、過(guò)程，內(nèi)部的各個(gè)部分、要素、環(huán)節(jié)是相互聯(lián)系、相互作用著的。而要揭示事物的本質(zhì)屬性及其發(fā)展規(guī)律，常常要使用人們?cè)谏a(chǎn)生活及科學(xué)研究中最為基本的思想方法———分類討論思想.

在運(yùn)用分類討論思想解決某些初中數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常要依據(jù)問(wèn)題的本質(zhì)屬性中的相同點(diǎn)和相異點(diǎn)，將其分成若干個(gè)子問(wèn)題，通過(guò)每個(gè)子問(wèn)題的解決達(dá)到整個(gè)問(wèn)題的解決.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用極為廣泛，中考試題中也經(jīng)常涉及此類問(wèn)題，該種數(shù)學(xué)思想對(duì)于提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、完整性、有序性、連貫性都很有幫助.但遺憾地看到，學(xué)生對(duì)于分類討論思想掌握的并不理想.學(xué)生不是不知道要分類討論，就是分類討論時(shí)遺漏或者重復(fù)，因而深入研究分類討論思想很有現(xiàn)實(shí)意義.

二、解決

一、結(jié)合數(shù)學(xué)概念的定義教學(xué)，準(zhǔn)確、科學(xué)地滲透分類思想

在初中階段的教學(xué)內(nèi)容中，一些數(shù)學(xué)概念的定義，如有理數(shù)、實(shí)數(shù)的建立，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式，兩圓的五種位置關(guān)系等等……，都滲透著分類討論的數(shù)學(xué)思想。對(duì)涉及到分類討論思想的概念，教師在講授這些概念時(shí)要準(zhǔn)確、科學(xué)，要讓學(xué)生對(duì)分類討論思想的概念有正確的認(rèn)知、理解和牢固的掌握.

例1：已知a是有理數(shù)，那么 |a| 與a的關(guān)系是（ ）

（A） |a| > a （B）|a| < a （C）|a| = a （D）|a| ≥ a

分析：絕對(duì)值概念是一種需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的分類討論的概念

（1） 當(dāng)a為正有理數(shù)或零時(shí)，|a| = a;

（2）當(dāng)a為負(fù)有理數(shù)，即a< 0時(shí)， |a|= -a > 0，|a| = -a> a.

得正確答案： D.

但我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，總有一部分學(xué)生會(huì)選C，究其原因，是沒(méi)弄清絕對(duì)值這一概念，認(rèn)為求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，如：|5|=5;|-7.5|=7.5;……，只要去掉絕對(duì)值里面的負(fù)號(hào).實(shí)際上，要講清絕對(duì)值這一概念應(yīng)從絕對(duì)值的幾何意義說(shuō)起，也就是一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，這樣學(xué)生自然而然的會(huì)得出絕對(duì)值的三種分類討論情況.

例2：（七上課本P16.第6題）數(shù)軸上到-3的距離等于2的數(shù)是多少？

學(xué)生總會(huì)丟掉一個(gè)數(shù)，沒(méi)有分類為左右兩邊的數(shù)。

例3：在同一平面內(nèi)有互相平行的三條直線a，b，c，且a與b之間的距離為3， b與c之間的距離為4，則a與c之間的距離為

為了使學(xué)生能牢固掌握初中數(shù)學(xué)中有關(guān)涉及到分類討論思想的概念，有時(shí)可以采用讓學(xué)生操作、分組討論、師生一起加以歸納總結(jié)，同時(shí)增加變式訓(xùn)練的教學(xué)方法.例如，在學(xué)習(xí)兩圓的五種位置關(guān)系的概念時(shí)，教師可讓學(xué)生準(zhǔn)備大小不等的兩個(gè)圓，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，從兩圓（半徑不等時(shí)） 五種位置關(guān)系：內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離，歸納出兩圓的半徑r1、r2與兩圓的圓心距d之間的關(guān)系.這樣既培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，又有助于學(xué)生能形象、直觀、生動(dòng)和牢固的掌握這一知識(shí)點(diǎn)，在碰到問(wèn)題時(shí)也就能迎刃而解.

二、明確分類討論的實(shí)質(zhì)，把握分類討論的標(biāo)準(zhǔn)

當(dāng)我們所研究的各種對(duì)象之間過(guò)于復(fù)雜或涉及范圍比較廣泛時(shí)，或者在解決一個(gè)問(wèn)題無(wú)法用同一種方法去解決時(shí)，我們大多采取分類討論的方法進(jìn)行解決，即對(duì)問(wèn)題中的各種情況進(jìn)行分類，或?qū)λ婕暗姆秶M(jìn)行分割，然后分別研究和求解。因此分類討論解題的實(shí)質(zhì)，是將整體問(wèn)題化為部分問(wèn)題來(lái)解決，以增加題設(shè)條件.當(dāng)然，我們需要一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將問(wèn)題劃分成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問(wèn)題，通過(guò)將這些小問(wèn)題——加以解決，從而使問(wèn)題得到解決。因此分類的原則是不重復(fù)、不遺漏。討論的方法是逐類進(jìn)行，還必須要注意綜合討論的結(jié)果，以使解題步驟完整.分類討論的步驟為：確定對(duì)象、分類討論、歸納綜合.

三、增強(qiáng)分類討論的意識(shí)，提高分類討論的準(zhǔn)度

分類討論是很重要的一個(gè)數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)題中經(jīng)常出現(xiàn)，也是滿分率比較低的一種題.學(xué)生在做題的時(shí)候經(jīng)常會(huì)犯錯(cuò)誤，小題經(jīng)常忘記分類討論，大題經(jīng)常討論不全，討論全了結(jié)果還不一定對(duì).

例4（八上課本P25.第1題）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為4和6，則它的周長(zhǎng)是

例5已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3和4，則第三邊長(zhǎng)是 .

首先，教師要增強(qiáng)學(xué)生分類討論的意識(shí).很多知識(shí)點(diǎn)是分類討論的?？停热缇€段及端點(diǎn)位置的不確定、角的一邊會(huì)運(yùn)動(dòng)、三角形的形狀、等腰三角形的邊是底邊還是腰、等腰三角形的角是頂角還是底角、直角三角形的邊是直角邊還是斜邊、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角等.對(duì)于這些知識(shí)點(diǎn)，要提醒學(xué)生在答題時(shí)要保持高度的敏感，時(shí)刻緊繃分類討論的弦，以免掉進(jìn)題目的陷阱.

其次，分類討論是要有一定原則，不要東一榔頭西一棒子的試，要具備一定的條理.分類的原則是（1）分類中的每一部分是相互獨(dú)立的;（2）一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn);（3）分類討論應(yīng)逐級(jí)有序進(jìn)行.

例6（八下課本P112.）剪兩個(gè)全等的三角形紙片，在平面上把它們拼在一起，使一組對(duì)應(yīng)邊互相重合.請(qǐng)你試一試，可以拼出幾個(gè)形狀不同的平行四邊形？

跟老師和學(xué)生們交流之后發(fā)現(xiàn)，就算是學(xué)習(xí)成績(jī)很好的同學(xué)在這種題上都會(huì)多多少少的出現(xiàn)問(wèn)題.

例7.在平面直角坐標(biāo)系中直線y=x-1與X軸、Y軸分別交于A、B兩點(diǎn).__________

1.求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

2.請(qǐng)?jiān)赬軸上找一點(diǎn)C，使△ABC 為等腰三角形， 滿足條件的C點(diǎn)有幾個(gè)？

因此教師可根據(jù)初中學(xué)生的特點(diǎn)，教學(xué)中遵照循序漸近、逐步深化的原則，并采用靈活多變和有效的教學(xué)手段來(lái)實(shí)施分類討論方法的教學(xué)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、縝密性，從而提高學(xué)生全面分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提高周密?chē)?yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)教養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

【1】初中生學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)指導(dǎo)用書(shū) 數(shù)學(xué)2012.紹興：浙江人民出版社

【2】林崇德 .中學(xué)生心理學(xué)【M】.北京：北京出版社，1983.

紹興市元培中學(xué) 浙江省紹興市 312000