朱玉霞

摘 ?要：專題復(fù)習(xí)課是初三數(shù)學(xué)課的主要課型，在授課過程中適當(dāng)借助信息技術(shù)手段，不僅可以提高課堂效率，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)教師的專業(yè)素養(yǎng)，還可以促進(jìn)教師教學(xué)水平不斷提高。

關(guān)鍵詞：幾何畫板;圓周角定理;第一輪復(fù)習(xí)

初三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)的主要目標(biāo)是鞏固基礎(chǔ)、歸納方法和提高能力。而勤于練習(xí)是提高數(shù)學(xué)成績的最重要手段，但多練并非盲目的“題海戰(zhàn)術(shù)”，由于初三的時間有限，所以每一個專題的選材、歸納和講解過程都顯得尤為重要。筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，結(jié)合第一輪復(fù)習(xí)專題，以“圓周角定理”為例，就如何借助多媒體，提高課堂效率談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

一、教學(xué)簡錄

（一） 溫固基礎(chǔ)，圍繞課本定理與推論復(fù)習(xí)相關(guān)知識點

回顧基礎(chǔ)知識是第一輪復(fù)習(xí)的必備環(huán)節(jié)，直接陳述知識點不夠形象生動，收效甚微，有些知識點的梳理借助一些“工具”往往能得到意想不到的效果。

課前復(fù)習(xí)：（九年級上冊86頁）

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

圓周角定理推論：同弧或等弧所對的圓周角相等。半圓（或直徑）所的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。

活動1：教師用幾何畫板畫出以下圖形并標(biāo)記角的度數(shù)，拖曳點A并引導(dǎo)學(xué)生把圓周角定理改寫成數(shù)學(xué)語言：∵AB=AB，∠ACB= ? ? ∠AOB。

設(shè)計意圖：通過幾何畫板的標(biāo)記角度和拖曳功能，拖曳點C，讓學(xué)生直觀感受同弧所對的圓心角和圓周角之間的關(guān)系。

活動2：在ACB上再取一個點D，連接AD、DB，拖曳點C、D，讓學(xué)生觀察當(dāng)∠AOB不變，∠C、∠D的度數(shù)是否發(fā)生改變;改變∠AOB的大?。ò?80°的情況），讓學(xué)生觀察∠C、∠D的的變化，并引導(dǎo)學(xué)生把推論改寫成數(shù)學(xué)語言：

∵AB=AB ∴∠C=∠D= ? ? ∠AOB;

∵AB為直徑，∴∠C=90°（∵∠C=90°，∴AB為直徑）。

設(shè)計意圖：“幾何畫板”動態(tài)演示當(dāng)∠AOB不變時，改變點C、點D在優(yōu)弧的位置，∠C、∠D度數(shù)不發(fā)生改變，讓學(xué)生再次直觀感受同弧所對的圓周角相等。

活動3：繼續(xù)拖曳點D，使點D落在劣弧AB上，讓學(xué)生觀察∠D的變化，找到∠C、∠D之間的關(guān)系;拖曳點B，改變∠AOB的大小，讓學(xué)生體會∠C、∠D的關(guān)系及變化;單擊OA、OB、角標(biāo)記、文本，選擇“顯示”“隱藏對象”功能，讓學(xué)生觀察休會∠C、∠D的位置及數(shù)量關(guān)系，并得出圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)。

設(shè)計意圖：通過把點D從優(yōu)弧拖曳到劣弧，從一般到特殊的變化的過程中，一、可以強化同弧所對的圓周角、圓心角的定義;二、可以加深圓內(nèi)接四邊形的定義;三、還可以形象得出圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)。

（二）問題探究，體驗用相關(guān)定理解決與圓周角有關(guān)計算問題探求

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生記住相關(guān)定理和推論，更重要的是通過習(xí)題讓學(xué)生掌握定理的應(yīng)用。由于初三的課時十分有限，在教學(xué)之前，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的具體情況整合教學(xué)內(nèi)容，對知識點進(jìn)行壓縮和精選，通過變式引導(dǎo)學(xué)生探索知識的來源和思想方法。

例題講解：例1：如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA交于點D，連接AB、OC，若∠B=30°（1）求∠AOC的度數(shù)（2）若∠A=26°，求∠ADC的度數(shù)。

變式1：如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA交于點D，連接AB、OC，若∠A=32°，∠ADC=86°，求∠C的度數(shù)。

變式2：如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA交于點D，連接AB、OC，若∠B=30°，⊙O半徑為2cm，求弦AC的長度。

變式3：如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA交于點D，連接AB、OC，若，⊙O半徑為2cm，AC=2cm，求∠B的度數(shù)。

變式4：如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA交于點D，連接AB、OC，若，⊙O半徑為2cm，∠B=30°，點A為BC中點，求弦BC的長度。

課堂展示：

師：例1第（2）問中，∠ADC是圓心角或圓周角嗎？這個角該如何求？

生1：這個角既不是圓心角，也不是圓周角，結(jié)合圖象，∠ADC是△ABD的外角，可以用三角形外角定理求。

師：很好，變式1中∠C的度數(shù)也可以用三角形外角定理求嗎？

生2：可以，∠ADC也是△OCD的外角，根據(jù)題目條件可以先求∠B，然后根據(jù)圓周角定理求出∠AOC，最后用三角形外角定理求出∠C。

師：變式（2）和變式（3）中，∠B是圓周角，所對的弧是哪一段？可以怎樣作輔助線？

生3：∠B所對的弧是AC，連半徑OA、OC。

師：對！解決圓中線段長度問題時，“連半徑”是最常使用的輔助線作法。變式（4）中多了什么條件？這個條件怎么用？

生4：多了點A為為BC中點，連OA后根據(jù)垂徑定理得到OA⊥BC。

師：非常棒！求弦長通?？梢杂么箯蕉ɡ斫鉀Q。

設(shè)計意圖：例1是圓周角定理和三角形外角定理和垂徑定理的復(fù)習(xí)和簡單的應(yīng)用，通過幾何畫板的“隱藏和顯示”功能，隱藏OA、OC、交點D，連接AC，可以輕松地轉(zhuǎn)換兩個圖形，既可以節(jié)省上課時間，又可以讓學(xué)生輕松掌握“連半徑”輔助線的作法，變式2和變式3通過∠AOC的度數(shù)和△OAC是等腰三角形這一特性，解決∠B、∠AOC半徑和弦AC之間的關(guān)系;變式4在變式2和3的基礎(chǔ)上增加了點A為弧中點這個條件，結(jié)合垂徑定理，解決了圓心角、圓周角、弦AC、弦BC和半徑之間的關(guān)系。

習(xí)題1：（課本89頁第5題）如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=50°。求∠ADC的度數(shù)。

變式：如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠D=30°，半徑為2。（1）求∠B的度數(shù);（2）求弦BC的長。

習(xí)題2：如圖，四邊形ABCD的四個頂點都在⊙O上，∠BCD=120°，求∠BOD的度數(shù)。

變式：如圖，四邊形ABCD的四個頂點都在⊙O上，∠ABC=60°，AB∥CD，求∠BOD的度數(shù)。

習(xí)題3：如圖，A、B是⊙O上兩點，點C是AB的中點，∠AOB=120°。

（1）求證：四邊形OACB是菱形;（2）延長OA至P使得OA=AP，連接PC，PC= ?3 ，求⊙O的半徑。

課堂展示：

師：習(xí)題1，根據(jù)OA⊥BC可以得到什么結(jié)論？

生5：可以得到OA平分弦BC、平分弧BC。

師：對，求角的度數(shù)，選哪個結(jié)論更合適？

生6：根據(jù)圓周角定理，弧相等可以得到圓心角和圓周角之間的關(guān)系，所以我想選擇AB=AC這個結(jié)論試試。

師：習(xí)題2∠BOD和∠BCD所對的弧是同一條嗎？∠BCD怎樣求？

生7：不是，∠BOD所對的的是劣弧BD，∠BCD所對的的是優(yōu)弧BAD。先根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半求∠A，再用圓內(nèi)接四邊形對角互補求出∠BCD。

師：很好，習(xí)題3用同樣方法求出∠ACB可以解決問題（1）嗎？可以怎樣解決？

生8：不能。根據(jù)條件點C是弧AB的中點，連OC，得到∠AOC=∠COB=60°，可以得到△OAC和△OBC是等邊三角形，易證（1）。

師：好！充分并合理利用條件是做幾何題的關(guān)鍵，下面就請大家用規(guī)范文字語言和符號語言解答習(xí)題3.

設(shè)計意圖：前兩道習(xí)題除了繼續(xù)鞏固例1復(fù)習(xí)的知識點外，還加深了對“同弧或等弧”的理解、復(fù)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形對角互補和平行線性質(zhì)。習(xí)題2可以利用幾何畫板的“隱藏”功能，隱藏AB、AD邊，激發(fā)學(xué)生的空間想象力。

例2：如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D都在⊙O上，若∠ABC=60°，求∠BDC的度數(shù)。

變式1：如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D都在⊙O上，若∠DCB=120°，求∠CAB的度數(shù)。

變式2：如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D都在⊙O上，若∠BAC=30°，BD平分∠ABC，（1）求∠DCA的度數(shù);（2）若AC=6，求BD的長度。

變式3：⊙A過點O（0，0），C（ 3 ，0），D（0，1），點B是X軸下方⊙A上的一點，連接BO，BD，求∠OBD的度數(shù)。

課堂展示：

師：AB是直徑可以得出什么結(jié)論？

生9：根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可以得出∠ACB=90°。

師：很好，變式3中有直徑嗎？

生10：有，連接DC，圓周角∠DOC是90°，所以DC是直徑。

師：不錯，當(dāng)圖中出現(xiàn)直徑時，要會找到90°角;反過來見到90°的圓周角，要知道它所對的弦是直徑。下面就就同學(xué)們根據(jù)我們復(fù)習(xí)的內(nèi)容完成下面的練習(xí)。

設(shè)計意圖：例2主要復(fù)習(xí)了推論半圓（或直徑）所的圓周角是直角，變式2復(fù)習(xí)了用特殊角的三角函數(shù)解直角三角形，變式3通過引入平面直角坐標(biāo)系復(fù)習(xí)了90°的圓周角所對的弦是直徑。用幾何畫板“迷你坐標(biāo)系”畫圖，既標(biāo)準(zhǔn)又方便。

（三）深化拓展，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法和提升思維品質(zhì)

初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的模式基本是以考點為主線，用習(xí)題貫穿整個課堂，再加上相關(guān)的鞏固練習(xí)用以促進(jìn)學(xué)生對知識的掌握，最終達(dá)到提升學(xué)生的解題能力的目的。

課堂習(xí)題1：如圖，等邊△ABC中內(nèi)接于⊙O，P是AB上任一點（點P不與A、B重合）連接AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M。（1）求∠APC與∠BPC的度數(shù);（2）求證：△ACM≌△BCP;（3）若PA=2，PB=4，求四邊形PBCM的面積。

課堂習(xí)題2：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連接AD。（1）求證：∠DAC=∠DBA;（2）求證：P是線段AF中點;（3）若⊙O半徑為4，AF=6，求tan∠ABF的值。

設(shè)計意圖：該環(huán)節(jié)是一堂復(fù)習(xí)課的鞏固和升華，設(shè)計的問題難度應(yīng)稍高于例題，同時涉及的知識點也應(yīng)更全面，這樣才能達(dá)到深化拓展的效果，讓學(xué)生領(lǐng)悟當(dāng)中的思想方法和提升自身的思維品質(zhì)。

二、教學(xué)反思

專題復(fù)習(xí)課是初三課堂比較有效的課堂形式?？v觀本節(jié)課，筆者基于基礎(chǔ)與經(jīng)驗，在課堂中借助了多媒體工具“幾何畫板”，使圖形的生成過程可視化，讓學(xué)生從直觀上感受以圓周角定理為生長源，在變換生成不同圖形的過程中培養(yǎng)自己的空間想象能力，讓抽象的數(shù)學(xué)思想變得清晰直觀，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升了學(xué)生的空間想象能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成，取得了較好的效果。

（一）實行教學(xué)過程可視化，使知識梳理更有效

“幾何畫板”最大的特點之一是它的可視化，例如，在活動1、2、3的過程中，通過簡單的拖曳功能，使抽象的數(shù)學(xué)概念變更清晰直觀，在反復(fù)操作的過程中，讓學(xué)生直觀并深刻地掌握枯燥的理論知識，達(dá)到融會貫通的效果，讓概念教學(xué)自然地生長和流淌。

（二）實施知識探究延伸化，使思維發(fā)展更優(yōu)化

學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念后，還要能利用積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗類比遷移、探究新知，把學(xué)過的知識用于解決實際問題，達(dá)到提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的效果。本節(jié)課在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，注重生成、理解和應(yīng)用模型，例如在選取例題與練習(xí)的過程中精心篩選，層層深入，借助幾何畫板的隱藏與顯示功能，把相關(guān)的題型有效地整合，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識的類比、化歸，把方法轉(zhuǎn)化為思維，滲透到以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。

（三）實現(xiàn)教學(xué)技術(shù)信息化，使教師實現(xiàn)再成長

在初中數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是探究的主人，教師則是探究的“引路人”，這就需要教師在教學(xué)的過程中大膽嘗試新方法，不斷提高自身的業(yè)務(wù)水平，這樣才能在教學(xué)的過程中起到四兩撥千斤的引導(dǎo)功能，學(xué)會使用多媒體，例如幾何畫板等，有助于提高數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平、業(yè)務(wù)水平，從而達(dá)到優(yōu)化課堂的作用。

三、結(jié)語

“成績”對畢業(yè)班的學(xué)生來說，有著不可取代的地位，要提高中考成績，就要提高解題能力，而第一輪復(fù)習(xí)就是提高學(xué)生解題能力的一個重要環(huán)節(jié)，因此專題復(fù)習(xí)要精心選題，內(nèi)化解題方法，深化拓展知識點，提煉數(shù)學(xué)解題思維，力求突出中考疑難問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成，將信息技術(shù)（如幾何畫板等）與內(nèi)容進(jìn)行深度整合，還原知識的本源與生長，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，最終達(dá)到提高解題能力的目。

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