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        例談解析幾何若干活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)化與重構(gòu)

        2021-09-10 07:22:44李永革
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解析幾何優(yōu)化

        摘 要:高中生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有主體性、發(fā)展性和多樣性.片面的、非本質(zhì)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)容易造成錯(cuò)誤的思維定勢(shì),必須加以調(diào)整、加工、完善,促使其向高層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)發(fā)展.通過(guò)對(duì)解析幾何若干活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)常見(jiàn)誤區(qū)的探究,提出調(diào)整、優(yōu)化的建議.

        關(guān)鍵詞:解析幾何;數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);優(yōu)化

        中圖分類號(hào):G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1008-0333(2021)07-0066-04

        收稿日期:2020-12-05

        作者簡(jiǎn)介:李永革,特級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

        基金項(xiàng)目:安徽省合肥市2019年教育規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容與活動(dòng)途徑的實(shí)踐研究”(課題編號(hào):HJG19042).

        經(jīng)驗(yàn)是影響數(shù)學(xué)發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要因素,數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)歸根結(jié)蒂來(lái)自經(jīng)驗(yàn)、來(lái)自實(shí)踐.經(jīng)驗(yàn)在數(shù)學(xué)教育中的積極作用正在被人們所重視.但是,經(jīng)驗(yàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的消極作用卻容易被忽視.杜威指出:“每一種經(jīng)驗(yàn)就是一種推動(dòng)力,經(jīng)驗(yàn)的價(jià)值只能由它所推動(dòng)的方向來(lái)評(píng)斷.相信一切真正的教育是來(lái)自于經(jīng)驗(yàn)的,這并不表明一切經(jīng)驗(yàn)都具有真正的或相同的教育性質(zhì),不能把經(jīng)驗(yàn)和教育直接地彼此等同起來(lái).因?yàn)橛行┙?jīng)驗(yàn)具有錯(cuò)誤的教育作用”.

        本文列舉學(xué)生在解析幾何學(xué)習(xí)中若干活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的常見(jiàn)誤區(qū),提出優(yōu)化的建議.

        一、“設(shè)而不求”經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)化

        本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來(lái)自于直線與圓錐曲線相交的背景下,處理弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦、垂直等問(wèn)題時(shí)對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)只設(shè)不求,運(yùn)用韋達(dá)定理整體代換,交點(diǎn)坐標(biāo)起到幾何特征代數(shù)化的過(guò)渡作用,可有效減少運(yùn)算量.學(xué)生對(duì)本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的常見(jiàn)誤區(qū)有:

        (1)只能在直線與曲線相交的情況下才能運(yùn)用,在相切等其他位置關(guān)系下不能運(yùn)用;

        (2)只能用韋達(dá)定理整體代換消去坐標(biāo)參數(shù);

        (3)直線與圓錐曲線相交,交點(diǎn)坐標(biāo)只能設(shè),不能求.

        解題反思 從考情分析發(fā)現(xiàn),大多數(shù)學(xué)生解答時(shí)選擇直線MN的斜率k作為參數(shù),然后聯(lián)立直線MN與橢圓C的方程求出M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)(用k表示),再用兩點(diǎn)式求直線MP的方程(用k表示),最后用點(diǎn)到直線距離公式求點(diǎn)O到直線PM的距離并與圓C′的半徑作比較,結(jié)果運(yùn)算量過(guò)大,無(wú)功而返.這種思路顯然受到前面所說(shuō)的“經(jīng)驗(yàn)”影響.從圖形運(yùn)動(dòng)的根源出發(fā)選擇參數(shù),又想讓參數(shù)數(shù)量最少,將圖中點(diǎn)的坐標(biāo)與直線方程都用唯一的參數(shù)k 來(lái)表示,結(jié)果造成式子復(fù)雜、運(yùn)算繁瑣.解法1改設(shè)直線MP的斜截式方程(即引進(jìn)直線MP的斜率與縱截距作為參數(shù)),巧妙地解決了點(diǎn)O到直線PM距離難求的問(wèn)題.

        經(jīng)驗(yàn)優(yōu)化 參數(shù)的選擇往往是通過(guò)設(shè)點(diǎn)或設(shè)線的方式實(shí)現(xiàn)的,到底選擇誰(shuí)?選幾個(gè)?前面所說(shuō)的兩個(gè)“經(jīng)驗(yàn)”確實(shí)具有較為廣泛的適用性,但不能絕對(duì),一切要從思想方法的高度思考問(wèn)題,以運(yùn)算簡(jiǎn)潔為標(biāo)準(zhǔn).不能模式化思考,過(guò)于教條.

        三、“選系建系”經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)化

        建系求曲線方程是解析幾何兩大基本問(wèn)題之一.坐標(biāo)系建得好,可使方程推導(dǎo)的過(guò)程簡(jiǎn)單,方程的形式簡(jiǎn)潔,為下一步利用方程研究曲線性質(zhì)奠定基礎(chǔ).學(xué)完解析幾何之后學(xué)生一般都積累了一定的建系經(jīng)驗(yàn).都知道利用圖形自身的對(duì)稱性建系,利用圖中垂直關(guān)系建系,若已知定點(diǎn)或定直線,知道將定點(diǎn)與定直線放在坐標(biāo)軸上.但是學(xué)生在選系、建系上往往局限于建立直角坐標(biāo)系,很少考慮其它坐標(biāo)系,這樣會(huì)影響學(xué)生解決問(wèn)題能力的提高.

        參考文獻(xiàn):

        [1]夏基松,鄭疏信.西方數(shù)學(xué)哲學(xué)[M].北京:人民出版社,1986.

        [2]約翰·杜威.民主主義與教育[M].北京:人民教育出版社,2005.

        [3]黃翔,童莉.獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)關(guān)注的目標(biāo)[J].課程·教材·教法,2008(01):40.

        [4]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)解讀[M].北京:高等教育出版社,2018.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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