張翠英 高瑞超

摘 要：本文分析了矩陣論課程的教學現(xiàn)狀，針對矩陣論傳統(tǒng)教學方法的弊端進行改進，通過在課堂中引入應(yīng)用實例，給出了矩陣論理論在圖像處理中的具體應(yīng)用，并借助于MATLAB平臺進行了實驗仿真。通過教學內(nèi)容和教學手段的豐富，可以極大的激發(fā)學生的學習興趣，從而有效提高矩陣論課程的教學質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：矩陣論;圖像處理;教學手段;教學質(zhì)量

0 引言

目前，許多應(yīng)用型的本科院校把矩陣論作為理工科專業(yè)的重要數(shù)學基礎(chǔ)課程，該課程全面講述了線性空間與線性變換、矩陣分解、矩陣分析、矩陣的特征值以及矩陣的廣義逆矩陣等相關(guān)內(nèi)容，旨在培養(yǎng)學生利用理論知識解決實際問題的能力[1]。由于矩陣論的理論性比較強，傳統(tǒng)的教學模式是以“教師為中心”的單向輸出，教師在講授過程中對其缺乏工程應(yīng)用的介紹，導致大部分學生認為該課程晦澀難懂，缺乏學習興趣，難以學以致用。因此，如何使學生多方面了解矩陣論理論的工程應(yīng)用，從而提高學生的學習興趣變得尤為重要。

本文主要介紹了矩陣論理論在圖像處理中的一些應(yīng)用，并給出了在MATLAB平臺的仿真示例，這樣可以使學生對矩陣論理論的實際應(yīng)用效果感受更加直觀，從而增強學生對矩陣論的學習熱情，提高學生學以致用的能力。

1 矩陣論理論在圖像處理中的應(yīng)用

數(shù)字圖像處理技術(shù)是采用計算機程序和算法對數(shù)字圖像進行計算處理，以獲得改善圖像、目標特征值或?qū)崿F(xiàn)目標自動識別的技術(shù)[2-3]。而矩陣論理論是圖像處理的基礎(chǔ)，圖像在計算機上以矩陣的形式來表現(xiàn)。因此矩陣論理論對于數(shù)字圖像處理的作用可見一斑。矩陣論理論在圖像處理方面的應(yīng)用主要有以下幾個方面：

1.1 奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

在現(xiàn)代數(shù)值分析中，矩陣的奇異值分解是最有效的工具之一，它是矩陣分析中正規(guī)矩陣酉對角化的推廣。SVD廣泛應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域，利用SVD可以有效提取圖像的特征[4]。例如在圖像融合中，通過對待融合的源圖像進行SVD分解，可以有效獲取表征圖像特征的特征系數(shù)，然后利用某種融合規(guī)則（取大或加權(quán)平均）對分解系數(shù)進行融合，獲得融合系數(shù)。最后通過對融合系數(shù)進行逆變換，可以獲得融合圖像。

1.2 極大線性無關(guān)組

極大線性無關(guān)組是在線性空間中擁有向量個數(shù)最多的線性無關(guān)向量組。一個向量組的極大線性無關(guān)組是其最本質(zhì)的部分，對許多問題的研究起著非常重要的作用。如確定矩陣的秩，討論線性方程組的基礎(chǔ)解系等。簡單來講，極大線性無關(guān)組就是“基”?；腿缬⑽睦锩娴?6個英文字母，所有的英文句子都是由這組基（26個字母）組成。在圖像處理中，小波變換是傳統(tǒng)方法中最常用的圖像分析工具，因其在時域和空域均有良好的局部化特性，并且還能夠?qū)Ω哳l部分采取逐步精細的時域或空域取樣步長，因此有“數(shù)學顯微鏡”之稱[5]。小波變換由一組小波基函數(shù)構(gòu)成，常用的小波基有“haar”小波，“dbN”小波等?；母拍钤诶孟∈璞硎咎幚韴D像時得到很好的體現(xiàn)。在稀疏表示處理圖像時，主要任務(wù)是字典的生成和圖像的稀疏分解，這里的分析字典就相當于一組基，圖像的稀疏系數(shù)就是圖像在這組基上的表示。

1.3 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）

主成分分析法是一種用于數(shù)據(jù)降維的統(tǒng)計方法，其主要思想為：首先借助于正交變換，將其分量相關(guān)的原隨機向量轉(zhuǎn)化成其分量不相關(guān)的新隨機向量，即將原隨機向量的協(xié)方差矩陣變換成對角形矩陣，然后對多維變量系統(tǒng)進行降維處理，使其能在保持一個較高的精度的同時轉(zhuǎn)換成低維變量系統(tǒng)，最后再通過適當價值函數(shù)的構(gòu)造，進一步把低維系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成一維系統(tǒng)[5]。在圖像處理中，利用PCA對高維數(shù)據(jù)（如人臉數(shù)據(jù)）降維，從而提高圖像處理的效率。PCA中用到了協(xié)方差矩陣，特征值，特征向量，線性表示等知識。特征值是矩陣分析的一個主要特征。圖像的局部區(qū)域信息可以利用圖像結(jié)構(gòu)張量特征值之間的關(guān)系來描述，有效獲取圖像的特征。

1.4 線性空間

線性變換是模式識別領(lǐng)域優(yōu)化的基礎(chǔ)。歐式空間的歐式距離可以用來計算兩幅圖像之間的相似度或者聚類等。歐式空間也是學習黎曼空間的基礎(chǔ)。黎曼空間的Affine-Invariant度量與Log-Euclidean度量非常適合處理協(xié)方差矩陣。利用這兩種度量方式可以更好的度量圖像相似度。

2 基于MATLAB的仿真實例

MATLAB是一款以矩陣為基本數(shù)據(jù)單位的數(shù)學軟件，將矩陣運算、數(shù)據(jù)分析、實現(xiàn)算法以及建模仿真等功能集于一體，具有完備的圖像處理功能[6]。利用MATLAB軟件對圖像處理進行仿真，使學生更加直觀和真切的感受圖像處理的效果，深刻了解矩陣論理論的應(yīng)用實踐。

圖像融合是圖像處理的一個重要分支，它是把兩個或多個來自不同傳感器的圖像通過一定算法融合到一幅圖像的過程，去除圖像冗余信息，提高融合圖像的質(zhì)量，以滿足人眼視覺或圖像后期處理的需要。圖像融合已在軍事、遙感、醫(yī)學、計算機視覺等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。為了使處理結(jié)果更加直觀，本文以基于小波變換的圖像融合的MATLAB仿真實現(xiàn)為實際案例，介紹極大線性無關(guān)組的實際應(yīng)用。其中，軟件環(huán)境為MATLAB R2010b，硬件環(huán)境為Pentium（R）Dual-Core CPU/2.59GHz/1.99 GB，待融合的實驗圖像均為256×256的多聚焦圖像。

2.1 基于小波變換的圖像融合過程

首先對待融合源圖像進行小波分解得到一個低頻子帶系數(shù)和水平、垂直、對角三個方向的高頻子帶系數(shù)，其中，分解層數(shù)為3，小波基為“DBSS（2，2）”;然后采用低頻子帶系數(shù)取平均，高頻子帶系數(shù)絕對值取大的融合策略進行融合，獲得融合系數(shù);最后對融合系數(shù)進行小波逆變換，獲得最終融合圖像。

2.2 實驗結(jié)果

圖1（a）是右聚焦圖像，圖像左側(cè)的“鬧鐘”模糊，圖像右側(cè)的“鐘表”清晰。圖1（b）是左聚焦圖像，圖像左側(cè)的“鬧鐘”清晰，圖像右側(cè)的“鐘表”模糊。圖1（c）是基于小波變換的融合圖像結(jié)果。從主觀視覺上看，基于小波變換的圖像融合方法能夠?qū)煞磮D像融合成“鬧鐘”和“鐘表”均清晰的圖像。融合圖像清晰度高，保留了較多紋理和邊緣細節(jié)信息。

通過真實的仿真實驗數(shù)據(jù)，可以使學生更加直觀的評判圖像融合質(zhì)量的好壞。本實例是矩陣論中極大線性無關(guān)組的一個典型應(yīng)用，通過演示基于小波變換的多聚焦圖像的融合過程，向?qū)W生展示了矩陣論中相關(guān)知識點在工程實際中的具體應(yīng)用，充分調(diào)動了學生學習的積極性，增加了課堂教學的趣味性。

3 結(jié)論

本文主要立足于如何激發(fā)矩陣論課程中學生的學習積極性，進而更好的培養(yǎng)學生利用矩陣論理論解決工程實際問題的能力。本文主要從教學內(nèi)容與教學手段出發(fā)，通過在教學過程中輔以實際應(yīng)用的案例，在教學手段上搭建虛擬仿真平臺，以“矩陣論+圖像處理”的方式，為高校教育提供了更多的教學思路。

參考文獻：

[1]羅思琴，諶雨章，郭煜瑋.工程實踐中矩陣論理論教學培養(yǎng)方法研究[J].信息通信，2020（12）：137-139.

[2]張錚，徐超，任淑霞，等.數(shù)字圖像處理與機器視覺[M].人民郵電出版社，2014（5）：596.

[3]張德豐.數(shù)字圖像處理（MATLAB版）[M].人民郵電出版社，2015（1）：381.

[4]吳德陽，趙靜，汪國平，等.一種基于改進奇異值和子塊映射的圖像零水印技術(shù)[J].光學學報，2020，40（20）：85-97.

[5]林海明，杜子芳.主成分分析綜合評價應(yīng)該注意的問題[J].統(tǒng)計研究，2013，30（8）：25-31

[6]張錚，倪紅霞，苑春苗，等.精通Matlab數(shù)字圖像處理與識別[M].人民郵電出版社，2013（4）：412.