沈惠華

[摘? 要] 現(xiàn)象教學(xué)倡導(dǎo)回歸生活本源尋找數(shù)學(xué)概念原型，以整體形象呈現(xiàn)概念結(jié)構(gòu)性信息. 教師作為合作者攜帶著更廣闊的知識(shí)背景輔助學(xué)生探尋知識(shí)的真諦，學(xué)生經(jīng)歷感知—設(shè)問—抽象—論證—表達(dá)（數(shù)學(xué)化）的全過程，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，達(dá)到培養(yǎng)問題意識(shí)、形成探究習(xí)慣、增加數(shù)學(xué)知識(shí)、提升核心素養(yǎng)的目的.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)現(xiàn)象;數(shù)學(xué)概念;數(shù)學(xué)化;抽象;概括

數(shù)學(xué)概念是對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的高度抽象和概括，是數(shù)學(xué)理論的基石，概念教學(xué)自然是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心. 傳統(tǒng)的教學(xué)是把概念當(dāng)作一個(gè)知識(shí)，當(dāng)作一個(gè)需要認(rèn)識(shí)的對(duì)象，遵循這樣的路徑：引入概念—辨析理解—掌握應(yīng)用—反思升華，其關(guān)鍵詞是“理解”，應(yīng)用和反思主要是為了促進(jìn)理解，所以有“為理解而教”的說法.

現(xiàn)象教學(xué)就不同了，它把概念當(dāng)作是對(duì)客觀世界的“認(rèn)識(shí)成果”，讓學(xué)生對(duì)真實(shí)的現(xiàn)象（特例）進(jìn)行觀察，歷經(jīng)感知—設(shè)問—抽象—論證—形成認(rèn)識(shí)—訴諸表達(dá)的全過程，其關(guān)鍵詞是“生成”. 學(xué)生首先面對(duì)的是原始對(duì)象，直觀感知其完整的信息，將其數(shù)學(xué)化后容易實(shí)現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，也就是經(jīng)歷了“觀察世界、分析世界、表達(dá)世界”的過程，這就使其感悟數(shù)學(xué)本源，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并逐步強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其中的“過程價(jià)值”是知識(shí)教學(xué)所不具備的.

從邏輯上講，“表達(dá)”是指把頭腦里已有的東西“說出來”，顯然是頭腦里先有意義而后才形成語言. 所以，“生成”比“理解”更有內(nèi)在的合理性，現(xiàn)象教學(xué)比知識(shí)教學(xué)更貼近認(rèn)識(shí)世界的真實(shí)過程，更能體現(xiàn)學(xué)生的能動(dòng)作用. 下面以“離散型隨機(jī)變量的均值”為例，談?wù)劕F(xiàn)象教學(xué)視野下數(shù)學(xué)概念的生成.

[?]課例設(shè)計(jì)與簡析

現(xiàn)象1：（展示一枚骰子）生活中，我們經(jīng)常利用骰子進(jìn)行游戲，比如說有這樣一個(gè)“猜大小”的游戲：骰子點(diǎn)數(shù)1、2、3為“小”，骰子點(diǎn)數(shù)4、5、6為“大”，參與者每次猜“小”或“大”，猜對(duì)就獲得2分，猜錯(cuò)就扣除1分. 你怎樣看待這個(gè)游戲？

（——以“游戲”為現(xiàn)實(shí)背景引入課題，學(xué)生感覺親切自然，在直觀感知游戲規(guī)則之后，他們帶著濃厚的興趣參與課堂活動(dòng)，積極發(fā)表個(gè)人觀點(diǎn)，始終保持自己在課堂上的主體地位. ）

生：雖然猜對(duì)和猜錯(cuò)的概率都是50%，但是得分不同.

師：你能具體說說得分有什么不同嗎？

生：假如每個(gè)結(jié)果各發(fā)生一次，兩次游戲后得分為2+（-1）=1. 平均每進(jìn)行一次游戲，得分為0.5！

（在日常生活中，人們習(xí)慣用算術(shù)平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)估. 通過等概率事件的呈現(xiàn)，引起學(xué)生直覺的表達(dá)，為新概念的生成奠定基礎(chǔ). ）

現(xiàn)象2：游戲規(guī)則：投擲骰子，如果丟出6點(diǎn)，你將獲得8分，沒丟出6點(diǎn)，你將扣除1分. 你怎樣看待這個(gè)游戲？

生1：猜對(duì)和猜錯(cuò)的概率不一樣，不能直接取8和-1的算術(shù)平均數(shù).

生2：骰子共6種情況，假如每個(gè)點(diǎn)數(shù)都出現(xiàn)一次，六次游戲的得分為8+（-1）×5=3. 平均每進(jìn)行一次游戲，得分為0.5！

生3：上述計(jì)算可簡化為：=8×+（-1）×=0.5.

（通過不等概率事件的呈現(xiàn)，引發(fā)學(xué)生對(duì)“得分均值”的進(jìn)一步思考，進(jìn)而產(chǎn)生更深層次的認(rèn)識(shí). ）

現(xiàn)象3：游戲規(guī)則：投擲骰子，如果丟出1、2、3點(diǎn)，你將扣除1分，丟出4、5點(diǎn)，你將扣除3分，但是丟出6點(diǎn)，你將獲得12分. 你怎樣看待這個(gè)游戲？

生1：得分均值：= （-1）×+（-3）×+12×=0.5.

生2：與上個(gè)游戲一樣，這里的、、也是相應(yīng)事件的概率.

（經(jīng)歷事件個(gè)數(shù)的變化過程，促使學(xué)生生成概念的雛形，進(jìn)而堅(jiān)定自己的猜想.）

師：上面三個(gè)游戲都沒發(fā)生，你如何看待這個(gè)“0.5”？

生：它反映了我們對(duì)游戲結(jié)果的預(yù)判與期待，呈現(xiàn)了我們對(duì)游戲得分的期望.

師：連續(xù)投擲一枚骰子6次，一定會(huì)出現(xiàn)1、2、3、4、5、6這六種結(jié)果嗎？

生：不一定，前面的計(jì)算都是我們的直觀感覺，沒有任何依據(jù)！

師：你們認(rèn)同自己對(duì)得分均值的計(jì)算嗎？

生1：認(rèn)同，但我們需要找到它的理論依據(jù)！

生2：我們想先體驗(yàn)一下這個(gè)游戲（以游戲3為例），在實(shí)踐中尋找靈感.

（帶著自己的疑問與追求，學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去觀察生活中的現(xiàn)象，思考數(shù)量間的某些聯(lián)系，在親身體驗(yàn)中積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而有效支撐數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展. ）

學(xué)生試驗(yàn)了幾次游戲，但結(jié)果不理想.

師：為什么會(huì)產(chǎn)生這種結(jié)果？

生：試驗(yàn)數(shù)據(jù)不夠多，結(jié)果容易產(chǎn)生偏差.

師：你下面會(huì)怎么做？再繼續(xù)試驗(yàn)游戲嗎？

生：不用，可以把所有學(xué)生的數(shù)據(jù)收集起來，展示1000個(gè)數(shù)據(jù)如表1.

得分均值：0.511×（-1）+0.33×（-3）+0.159×12=0.407.

（通過對(duì)所有學(xué)生數(shù)據(jù)的收集和整合，學(xué)生一步一步地感受到了其中可能存在的數(shù)學(xué)規(guī)律，并對(duì)數(shù)學(xué)方法有所猜測(cè)和期待. ）

師：借助excel中的RANDBETWEEN（1，6）函數(shù)可以繼續(xù)模擬游戲，如表2和表3.

得分均值：0.5029×（-1）+0.3265×（-3）+0.1706×12=0.5648.

得分均值：0.50118×（-1）+0.334×（-3）+0.16482×12=0.47466.

（在大數(shù)據(jù)時(shí)代，利用信息技術(shù)處理數(shù)據(jù)變得尤為必要. 在高中的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生使用信息技術(shù)的意識(shí)和初步能力. ）

師：共模擬了1萬次和10萬次，從現(xiàn)在的數(shù)據(jù)中你能看到什么？

生：隨著樣本容量的增加，得分均值在逐漸趨近于0.5.

師：需要繼續(xù)模擬嗎？

生：不需要，通過統(tǒng)計(jì)的方式研究樣本，每次得到的數(shù)據(jù)可能都不一樣. 我們看到了它的變化趨勢(shì)，能否模擬算出0.5已經(jīng)沒有意義了.

（當(dāng)模擬數(shù)據(jù)呈現(xiàn)時(shí)，學(xué)生似乎看到了黎明的曙光，對(duì)游戲蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律了然于心，進(jìn)而積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)建構(gòu)，訴諸表達(dá)，數(shù)學(xué)概念的生成水到渠成.）

師：現(xiàn)在你們找到最初計(jì)算的理論依據(jù)了嗎？

生：理論依據(jù)是概率的定義，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率會(huì)在概率附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，所以當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，我們既可以用頻率估計(jì)概率，也可以用概率推測(cè)頻率.

師：同學(xué)們從兩種角度計(jì)算了“均值”，它們有什么聯(lián)系和區(qū)別？

生：概率中的“均值”是理論基礎(chǔ)，結(jié)論具有確定性;而統(tǒng)計(jì)中的“均值”是實(shí)際應(yīng)用，結(jié)論具有隨機(jī)性.

（學(xué)生從統(tǒng)計(jì)中獲得靈感，產(chǎn)生頓悟，最終回到問題本身“均值”，形成一般性的認(rèn)識(shí). ）

師：同學(xué)們通過自己的努力發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的概念，你們能給它取個(gè)名字嗎？

生：模仿統(tǒng)計(jì)，我們可以把它稱為離散型隨機(jī)變量X的均值.

師：很好，離散型隨機(jī)變量X的均值又稱數(shù)學(xué)期望，記為E（X）或μ.

師（追問）：為什么又叫“數(shù)學(xué)期望”？

生1：它反映了我們對(duì)未來每局游戲得分的期望.

生2：統(tǒng)計(jì)中的均值著眼于“過去”，而概率中的數(shù)學(xué)期望著眼于“未來”.

師：“數(shù)學(xué)期望”來源于17世紀(jì)一個(gè)賭徒的故事，雖然游戲模型不一樣，但思維方式類似. 請(qǐng)同學(xué)們課后閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，了解這段歷史. （滲透數(shù)學(xué)文化）

生：上面三個(gè)賭博游戲的數(shù)學(xué)期望都是0.5，但給人的感覺不一樣？

師：同學(xué)們的數(shù)學(xué)感覺很不錯(cuò)，你們能具體說說哪里不一樣嗎？

生：從游戲1到游戲3，“得分差距”在逐漸加大.

師：均值相同的情況下，“得分差距”可以用哪些量來刻畫呢？

生：（恍然大悟）我們可以用方差、標(biāo)準(zhǔn)差刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)定性.

師：很好，請(qǐng)同學(xué)們規(guī)范表達(dá)自己新發(fā)現(xiàn)的概念. （過程略）

現(xiàn)象4：現(xiàn)有兩顆骰子，如果丟出的點(diǎn)數(shù)之和小于6時(shí)，你將扣除1分;大于6時(shí)，你將扣除2分;等于6時(shí)，你將獲得10分. 你怎樣看待這個(gè)游戲？

（重在讓學(xué)生自己理清剛形成的概念，把概念應(yīng)用到新的、復(fù)雜的情境中.）

展示學(xué)生成果：

得分均值：×（-1）+×（-2）+×10=-.

師：你能自己構(gòu)建一個(gè)游戲嗎？

（以概率分布為原型，均值為參考，可以構(gòu)建相似的游戲模型，實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)踐的結(jié)合. ）

[?]現(xiàn)象教學(xué)重在“生成”

“數(shù)學(xué)期望”是個(gè)很抽象的概念，所以在歷史上產(chǎn)生很晚，比方程、虛數(shù)晚，甚至比函數(shù)都晚. 對(duì)于抽象概念的教學(xué)，很容易走上從知識(shí)到知識(shí)的道路，但那僅僅讓學(xué)生多了一個(gè)知識(shí)，而沒有促進(jìn)他們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高. 現(xiàn)象教學(xué)則不同，學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)的產(chǎn)生、收集、整理、分析的全過程，在其中體會(huì)邏輯，通過自主探究和合作學(xué)習(xí)的方式，學(xué)生很自然地生成了“數(shù)學(xué)期望”的概念. 在這里，數(shù)學(xué)期望已經(jīng)不僅僅是一個(gè)公式，而有其真實(shí)的含義. 在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生積極思考，經(jīng)歷探索的緊張，享受問題解決的喜悅，他們以自己的方式完成了對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的認(rèn)識(shí)，并形成了數(shù)學(xué)形式的表達(dá)，這就是概念的自然生成. 在一個(gè)易受外界影響的年齡段，這樣的經(jīng)歷會(huì)促使學(xué)生形成質(zhì)疑的習(xí)慣、探究的習(xí)慣以及數(shù)學(xué)表達(dá)的習(xí)慣，對(duì)他們的思想和性格留下深刻的影響. 同時(shí)，教師在整個(gè)過程中作為合作者，不露痕跡地引導(dǎo)學(xué)生回顧了舊知識(shí)，初步建立了統(tǒng)計(jì)與概率的聯(lián)系，并在關(guān)鍵點(diǎn)上加以引導(dǎo)和規(guī)范，使學(xué)生形成了一個(gè)具有層次性、靈活性、生長性的概念網(wǎng)絡(luò). 比起“老師講學(xué)生聽、老師命令學(xué)生執(zhí)行”來，這種現(xiàn)象教學(xué)的形式更能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，促進(jìn)學(xué)生的深度思考，提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

整個(gè)教學(xué)以“學(xué)生思維”為主線，起于學(xué)生對(duì)“現(xiàn)實(shí)問題”的思考，成于“概率頻率互相聯(lián)系”的思路，終于“數(shù)學(xué)理論建構(gòu)”，又回到“理論與實(shí)踐的結(jié)合”. 結(jié)果是，學(xué)生頭腦里有了現(xiàn)實(shí)世界的例證、有了從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)的建構(gòu)過程、有了真實(shí)有效的思考，還有了完整形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí). 他們既對(duì)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算了然于心，又始終明了這些概念的實(shí)際背景與意義，可以說他們學(xué)到了真實(shí)的、鮮活的數(shù)學(xué). 尤其令人高興的是，學(xué)生的問題意識(shí)、思維能力和創(chuàng)新精神得到了激發(fā)，每個(gè)學(xué)生都實(shí)現(xiàn)了自身在數(shù)學(xué)上的發(fā)展，并且不同學(xué)生得到了不同的發(fā)展，思維活躍的學(xué)生能夠利用所學(xué)建構(gòu)屬于自己的數(shù)學(xué)模型，展現(xiàn)自己在探索世界時(shí)的自我成長.

[?]結(jié)語

學(xué)習(xí)并非只是一個(gè)接受新知的過程，更是一個(gè)主動(dòng)抽象、建構(gòu)生成的過程，每一次學(xué)習(xí)都應(yīng)該是一次創(chuàng)造. 現(xiàn)象教學(xué)提供自然鮮活的數(shù)學(xué)材料，喚起人的好奇心，學(xué)生在親身經(jīng)歷中生成數(shù)學(xué)知識(shí)，提煉數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想. 長此以往，學(xué)生自身的意識(shí)和觀念也會(huì)轉(zhuǎn)變，他們能夠更注重應(yīng)用數(shù)學(xué)的眼光和思維去解析現(xiàn)實(shí)問題，形成用數(shù)學(xué)觀念理解世界的情感態(tài)度，并能用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確地表達(dá)自己的理解，讓數(shù)學(xué)成為認(rèn)識(shí)和改造世界的工具，從對(duì)現(xiàn)象的思考逐步轉(zhuǎn)向?qū)κ澜绲谋磉_(dá).

現(xiàn)象教學(xué)強(qiáng)調(diào)回歸問題本身，讓學(xué)生面對(duì)真實(shí)現(xiàn)象展開真實(shí)的思考，在方法上它不排斥其他教學(xué)法，只是在素材的呈現(xiàn)和處理上體現(xiàn)自己的獨(dú)特性. 現(xiàn)象教學(xué)視野下，學(xué)生分工合作，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，在動(dòng)手中思維，在爭(zhēng)辯中明理，在傾聽中成長，數(shù)學(xué)概念自然流暢生成，學(xué)生生動(dòng)活潑有個(gè)性地發(fā)展核心素養(yǎng).