谷芳，吳華杰，崔國(guó)起

（天津大學(xué)內(nèi)燃機(jī)研究所，天津 300072）

1 前言

齒輪是汽車(chē)傳動(dòng)裝置中最常見(jiàn)的一種零部件，具有結(jié)構(gòu)緊湊、效率高、工作可靠、壽命長(zhǎng)等特點(diǎn)。隨著汽車(chē)零部件輕量化要求越來(lái)越高，設(shè)計(jì)出既要保障結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和振動(dòng)特性，又要最大限度輕質(zhì)量的齒輪結(jié)構(gòu)，變得十分重要。齒輪的齒形結(jié)構(gòu)主要由受力狀況和傳動(dòng)參數(shù)決定，一旦外部受力和傳動(dòng)參數(shù)確定，對(duì)齒形結(jié)構(gòu)的優(yōu)化余地不大。但齒輪的中心輻板結(jié)構(gòu)有很大的優(yōu)化空間?？梢酝ㄟ^(guò)選擇最佳的輻板形狀，來(lái)滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和振動(dòng)特性要求。傳統(tǒng)的腹板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，往往是參考已有的齒輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)性設(shè)計(jì)。這種依靠經(jīng)驗(yàn)完成的齒輪設(shè)計(jì)，具有一定的不確定性，很難獲得齒輪輻板的最佳材料分布。尤其是對(duì)齒輪這種運(yùn)動(dòng)零部件來(lái)說(shuō)，除了要考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度影響，還要考慮其振動(dòng)特性。

拓?fù)鋬?yōu)化是產(chǎn)品概念設(shè)計(jì)階段常用的優(yōu)化方法，也是最具有應(yīng)用前景和最能體現(xiàn)產(chǎn)品創(chuàng)新性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)。通過(guò)尋找最佳的結(jié)構(gòu)布局，得到質(zhì)量最輕、性能最好的設(shè)計(jì)，這在產(chǎn)品輕量化設(shè)計(jì)中，是至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。目前，國(guó)內(nèi)學(xué)者采用拓?fù)鋬?yōu)化的方法，對(duì)齒輪結(jié)構(gòu)優(yōu)化開(kāi)展了一系列的研究，但大多數(shù)是基于靜強(qiáng)度分析的單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)或尺寸參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。針對(duì)齒輪這種運(yùn)動(dòng)零部件來(lái)說(shuō)，顯然是不夠的。其使用壽命和可靠性，除了與齒間嚙合力有關(guān)，還與系統(tǒng)的振動(dòng)特性有很大關(guān)系。單目標(biāo)優(yōu)化僅能改善某一方面的性能，但對(duì)總體性能的控制還有所欠缺。為此，本文提出一種基于強(qiáng)度分析和模態(tài)分析的多目標(biāo)齒輪拓?fù)鋬?yōu)化方法，綜合考慮齒輪剛度和固有頻率，以期獲得更符合實(shí)際運(yùn)行工況的齒輪結(jié)構(gòu)。

2 齒輪輕量化設(shè)計(jì)原則

影響齒輪傳動(dòng)的重要結(jié)構(gòu)指標(biāo)有兩項(xiàng)：一個(gè)是齒輪的固有頻率；一個(gè)是齒輪的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。前者影響齒輪嚙合傳動(dòng)的系統(tǒng)振動(dòng)和噪聲程度，后者是齒輪有足夠的強(qiáng)度來(lái)完成傳動(dòng)任務(wù)的保障。因而，對(duì)齒輪的輕量化設(shè)計(jì)要兼顧上述兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)。為此，優(yōu)化后的齒輪結(jié)構(gòu)應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足一定條件下的固有頻率最大和整體柔度最?。▌偠茸畲螅?，才是最佳的設(shè)計(jì)方案。具體的齒輪拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖1所示。

圖1 齒輪拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)流程

3 某直齒輪拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

3.1 齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)及有限元網(wǎng)格模型

以某直齒輪為研究對(duì)象，齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)，見(jiàn)表1。齒輪材質(zhì)為結(jié)構(gòu)鋼，彈性模量210GPa，泊松比0.3，密度7900kg/m3。齒輪幾何結(jié)構(gòu)及模型分區(qū)如圖2所示。本次優(yōu)化僅針對(duì)齒輪的腹板結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，因此將齒輪分成輪齒區(qū)、約束區(qū)和優(yōu)化區(qū)，其中僅優(yōu)化區(qū)可以進(jìn)行減重設(shè)計(jì)，輪齒區(qū)和約束區(qū)為非優(yōu)化區(qū)，不參與拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算。

圖2 齒輪幾何結(jié)構(gòu)及模型分區(qū)

表1 齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)

齒輪的嚙合運(yùn)動(dòng)使接觸點(diǎn)受到集中力載荷，該集中載荷使齒輪受到關(guān)于中心軸的扭矩載荷。另外，齒輪孔與主軸之間通過(guò)鍵連接，在此假定中心軸為固定約束條件。利用Ansys workbench網(wǎng)格劃分工具，對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，得到六面體單元7788個(gè)。如圖3所示。

圖3 齒輪網(wǎng)格結(jié)構(gòu)

3.2 基于模態(tài)分析的齒輪拓?fù)鋬?yōu)化

首先對(duì)齒輪的原始結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析。齒輪內(nèi)孔與傳動(dòng)軸之間常以鍵連接，本案例針對(duì)齒輪孔內(nèi)柱面進(jìn)行約束，即約束齒輪內(nèi)圓柱面的徑向、軸向和法向位移。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，該齒輪的第六階模態(tài)振型表現(xiàn)為繞中心軸旋轉(zhuǎn)的形式，其固有頻率為3481Hz，見(jiàn)圖4。

圖4 原齒輪結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)模態(tài)

考慮到齒輪的外激勵(lì)頻率大多與結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)有關(guān)系，當(dāng)結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)固有頻率和外激勵(lì)頻率相接近，會(huì)引起“共振”。因此，本案例以原齒輪的第六階模態(tài)固有頻率最大化為優(yōu)化目標(biāo)，以?xún)?yōu)化前后設(shè)計(jì)區(qū)的體積比≤0.4為約束條件，進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化分析。

優(yōu)化后的齒輪結(jié)構(gòu)及整合齒輪結(jié)構(gòu)如圖5所示。圖中數(shù)值大的表示必須保留的區(qū)域，數(shù)值小的部分表示可以去除的區(qū)域。圖6是優(yōu)化后齒輪的旋轉(zhuǎn)模態(tài)，比原結(jié)構(gòu)模態(tài)的固有頻率略有下降。由于固有頻率與結(jié)構(gòu)質(zhì)量負(fù)相關(guān)，因而齒輪質(zhì)量的減少會(huì)導(dǎo)致模型剛度下降，進(jìn)而表現(xiàn)為固有頻率降低。優(yōu)化后齒輪總體質(zhì)量降低10.65%。

圖5 基于模態(tài)分析的齒輪拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)

圖6 拓?fù)鋬?yōu)化后的旋轉(zhuǎn)模態(tài)

3.3 基于靜力學(xué)分析的齒輪拓?fù)鋬?yōu)化

齒輪在嚙合傳動(dòng)中輪齒受到了接觸應(yīng)力，結(jié)構(gòu)的改變往往影響齒輪的嚙合強(qiáng)度。優(yōu)化后的齒輪結(jié)構(gòu)必須有足夠的剛度來(lái)克服嚙合傳動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的接觸應(yīng)力。為此采用基于靜力學(xué)分析的齒輪拓?fù)鋬?yōu)化是必要的。齒輪在傳動(dòng)中的載荷工況為繞中心軸的轉(zhuǎn)矩，邊界約束條件為繞中心軸的旋轉(zhuǎn)自由度為free，其他自由度均為固定。以設(shè)計(jì)區(qū)體積比≤0.4，以柔度最小化（剛度最大化）為設(shè)計(jì)目標(biāo)。

圖7為基于靜力分析的齒輪拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果及其整合結(jié)構(gòu)。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，隨著齒輪輪輻質(zhì)量降低，齒輪的整體柔度有所上升。優(yōu)化后齒輪總體質(zhì)量降低11.07%。

圖7 基于靜力分析的齒輪拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

3.4 齒輪多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化模型

通過(guò)對(duì)齒輪進(jìn)行基于模態(tài)分析或靜力分析的拓?fù)鋬?yōu)化仿真，發(fā)現(xiàn)兩種優(yōu)化方法均能降低齒輪的整體質(zhì)量，但考慮到齒輪的結(jié)構(gòu)剛度與質(zhì)量正相關(guān)，而固有頻率與質(zhì)量負(fù)相關(guān)，為了同時(shí)兼顧齒輪的剛度和固有頻率，采用多目標(biāo)優(yōu)化方法，對(duì)齒輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。考慮到齒輪剛度在實(shí)際傳動(dòng)過(guò)程中起到的穩(wěn)定性作用較為重要，選擇靜力分析目標(biāo)函數(shù)與模態(tài)分析目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)因子之比為3:1。優(yōu)化目標(biāo)與約束條件不變。

圖8為基于多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化后的齒輪結(jié)構(gòu)及其整合結(jié)果。表2對(duì)比了優(yōu)化前后齒輪各項(xiàng)性能指標(biāo)的變化。通過(guò)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化后，齒輪腹板質(zhì)量減重42.3%，齒輪總體質(zhì)量下降10.92%，減重效果明顯。由于齒輪腹板質(zhì)量的降低，齒輪的旋轉(zhuǎn)固有頻率降低，柔度增加。但通過(guò)對(duì)比齒輪在運(yùn)行過(guò)程中的齒根應(yīng)力發(fā)現(xiàn)，在目前在齒輪腹板減重42.3%的情況下，優(yōu)化后的齒根應(yīng)力僅增加了7%左右（見(jiàn)圖9），結(jié)構(gòu)強(qiáng)度下降幅度尚可接受。針對(duì)齒輪固有頻率的討論，需要結(jié)合齒輪具體的使用工況，結(jié)合外激勵(lì)頻率。如果目前的優(yōu)化頻率遠(yuǎn)離激勵(lì)外頻率，則這一結(jié)果可以接受，若接近外激勵(lì)頻率。則需要對(duì)齒輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行新一輪的調(diào)整，以保證齒輪在運(yùn)行中遠(yuǎn)離共振頻率。具體的優(yōu)化方法與上述內(nèi)容相同。

表2 優(yōu)化前后齒輪性能比較

圖8

圖9

4 結(jié)語(yǔ)

本文在同時(shí)考慮了齒輪的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和動(dòng)力學(xué)特征的情況下，基于多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)齒輪進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，既實(shí)現(xiàn)了齒輪的輕量化設(shè)計(jì)目的，又保證了齒輪的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和振動(dòng)安全性，具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值。同時(shí)，本文提出的基于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析和模態(tài)分析的多目標(biāo)齒輪拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，具有一定的普適性，可以推廣到其他需要考慮強(qiáng)度和動(dòng)力特征的零部件輕量化設(shè)計(jì)中。