趙雪欣，謝祥云

（1.五邑大學 數(shù)學與計算科學學院，廣東 江門 529020； 2.江門職業(yè)技術(shù)學院 教育與教育技術(shù)系，廣東 江門 529030）

1 引言及預備知識

1965年Zadeh首次提出模糊集的概念[1]，1971年Rosenfeld[2]探討了模糊子群的概念，自那以后，模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)被廣泛研究. Liu[3]探討了模糊子環(huán)的概念，Kuroki[4]研究了模糊半群的相關(guān)性質(zhì)，Yuan和Wu[5]探討了格上的模糊理論等. 超結(jié)構(gòu)理論最初是由Marty在1934年第八屆數(shù)學家代表大會上提出的[6]. 隨著超結(jié)構(gòu)理論的發(fā)展，超代數(shù)系統(tǒng)理論被應用到很多方面. Koguep等[7]研究了超格上的模糊素理想；Hedayati[8]研究了超格上的模糊超濾子；Feng等研究了模糊子超格的直積和區(qū)間值模糊子超格[9]，以及(,)λμ-模糊子超格[10]；Xin等[11]研究了超格上的模糊軟超理想等.

本文引入了交超格上的(∈,∈∨q)-模糊超濾子以及它與超濾子之間的等價刻畫，給出模糊超濾子的概念以及等價刻畫，并進一步探討supp(μ)的等價刻畫，以及χF的等價刻畫.

定義1[6]設(shè)H是一個非空集合，H上的二元超運算是指f:H×H→P*(H)的一個映射，其中P*(H)表示H的所有非空子集的集合，P*(H)=P(H)-?.

定義2[12]171設(shè)L是一個非空集合，在L上定義二元超運算“∧”和普通二元運算“∨”如下所示，如果對任意的a,b,c∈L，滿足：

1）a∈a∧a，a=a∨a；

2）a∧b=b∧a，a∨b=b∨a；

3）(a∧b)∧c=a∧(b∧c)，(a∨b)∨c=a∨(b∨c)；

4）a∈[a∧(a∨b)]∩[a∨(a∧b)].

則L稱為交超格.

若交超格L滿足a∈a∧b?a∨b=b，則L稱為強交超格. 其中對任意的A,B∈P*(L)，記A∧B=∪{a∧b a∈A, b∈B}，A∨B={a∨b a∈A, b∈B}，特別地，若A={a}，則A∧B記為a∧B.

由定義2，若a,b∈L且a∨b=b，則有a∈[a∧(a∨b)]∩[a∨(a∧b)]，因此a∈a∧(a∨b)=a∧b ，即a∨b=b?a∈a∧b.

在交超格L上定義二元關(guān)系“≤”：(?a,b∈L) a≤b?a∨b=b，則“≤”是L上的一個偏序關(guān)系. 在(L,≤)中，若存在最小元，則記為0；若存在最大元，則記為1.

定義3[12]173交超格L上的一個非空子集F稱為L上的一個超濾子，如果：

1）?x,y∈F?x∧y?F；

2）?x∈F,x≤y?y∈F .

定義4設(shè)μ是交超格L上的模糊子集，則μ是L上的一個模糊超濾子，如果對任意的x, y∈L：

2）x≤y?μ(x)≤μ(y).

定理1 設(shè)μ是交超格L上的模糊子集，則μ是L上的一個模糊超濾子當且僅當對任意的α∈[0, 1]，μα(≠?)是L上的一個超濾子.

設(shè)x∈μα，x≤y，則有μ(y)≥μ(x)≥α，因此y∈μα，μα(≠?)是L上的一個超濾子.

假設(shè)存在x0,y0∈L使得x0≤y0且α=μ(x0)＞μ(y0)，則x0∈μα，y0?μα，矛盾. 因此對任意的x, y∈L，x≤y?μ(x)≤μ(y).

定義5設(shè)L1和L2是兩個交超格，映射f:L1→L2稱為同態(tài)，若對任意的x,y∈L滿足：

1）f(x∨y)=f(x)∨f(y )；

2）f(x∧y)=f(x)∧f(y ).

由定義5的1）知，若x≤y，則f(y)=f(x∨y)=f(x)∨f(y )，所以f(x)≤f(y)，因此有x≤y?f(x)≤f(y)，即f是保序的.

2 主要結(jié)果

交超格L上的模糊子集μ形如

設(shè)L是一個交超格，x,y∈L，若對任意的t∈x∧y，有tr∈∨qμ(r∈[0,1])，即tr∈μ或trqμ，則記為(x∧y)r?∨qμ.

定義6設(shè)μ是交超格L上的一個模糊子集，μ稱為L上的一個(∈,∈∨q)-模糊超濾子，如果對任意的r,s∈[0,1]和x,y∈L，有

i）xr,ys∈μ?(x∧y)min(r,s)?∨qμ；

ii）xr∈μ,x≤y?yr∈∨qμ.

特別地，由定義4，交超格L上的每一個模糊超濾子都是一個(∈,∈∨q)-模糊超濾子，反之不一定成立.

例1設(shè)L={0,a,b, 1}，定義L上的∧-超運算和∨-運算如下表1，則L是一個交超格.

表1 ∧-超運算和∨-運算的運算表

L上的模糊子集μ定義如下：

推論1交超格L上的一個模糊子集μ是L的一個(,)q∈∈-∨ 模糊超濾子當且僅當定理2中的1）和2）成立.

定理3設(shè)μ是交超格L上的一個模糊子集，若μ是L的一個(,)q∈∈-∨ 模糊超濾子，則對任意的00.5r≤ ≤ ，rμ=?或rμ是L的一個超濾子；

反之，若對任意的0≤r≤0.5，μr(≠?)是L的一個超濾子，則μ是L的一個(∈,∈∨q)-模糊超濾子.

設(shè)x∈μr，x≤y，則有μ(x)≥r，μ(y)≥min(μ(x), 0.5)≥min(r, 0.5)=r，即y∈μr. 因此μr是L的一個超濾子.

反之，設(shè)μ是L上的一個模糊子集使得對任意的0≤r≤0.5，μr(≠?)是L的一個超濾子.若x,y∈L，有

設(shè)μ是交超格L上的一個模糊子集，J是r∈[0, 1]構(gòu)成的集合使得μr=?或μr是L的一個超濾子. 若J=[0, 1]，則由定理1，μ是L的一個模糊超濾子；若J=[0, 0.5]，則由定理3，μ是L的一個(∈,∈∨q)-模糊超濾子. 類似地，下面給出J=(0.5 , 1]的情況.