黃云海，張炯，楊超，劉衛(wèi)東

（1.五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣東 江門 529020；2.河海大學(xué) 機械學(xué)院，江蘇 南京 210098）

顆粒增強復(fù)合材料具有優(yōu)異的力學(xué)性能，在航空和機械等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 然而，在其制造或使用過程中，由于熱失配產(chǎn)生的殘余應(yīng)力會沿著夾雜物和基體之間的界面累積；當(dāng)界面熱應(yīng)力與外荷載引起的應(yīng)力結(jié)合時可能會引發(fā)界面裂紋，從而導(dǎo)致疲勞失效和材料性能下降. 因此，復(fù)合材料的界面熱應(yīng)力問題一直是人們關(guān)注的熱點，研究者們采用了諸如復(fù)變函數(shù)、Mori-Tanaka方法和保角變換法等[1-4]探究了此類問題. 但從計算效率上講，采用上述方法計算過程較為復(fù)雜，特別是處理多夾雜問題時效率較低.

從本質(zhì)上講，纖維可以被認為是嵌入在基體中的夾雜，Eshelby等效夾雜法[5-6]是研究纖維增強復(fù)合材料熱應(yīng)力的有效方法：Shibato[7]研究了由扁球形夾雜和基于等效夾雜方法的基體界定的錯配界面引起的應(yīng)力分布；Sanboh Lee[8]基于等效夾雜方法研究了球狀夾雜引起的熱應(yīng)力. 一直以來，在采用等效夾雜法求解夾雜問題時，外彈性場的求解比較復(fù)雜. 然而，Jin[9]對于平面情形給出了Eshelby外部張量的封閉形式，這使得等效夾雜法更便于求解纖維增強復(fù)合材料的熱應(yīng)力，本文作者也在此基礎(chǔ)上對無限大平面含單個夾雜的熱應(yīng)力進行了研究[10]. 然而實際工程中，復(fù)合材料會涉及到多個夾雜，為了解決無限平面含多個夾雜的熱彈性場分布問題，本文同時采用Eshelby內(nèi)部張量和Eshelby外部張量，將等效夾雜法的應(yīng)用擴展到含多個圓形夾雜的無限大平面在均勻溫度變化時熱彈性場分布的場景.

1 等效夾雜法

對于圖1和圖2所示問題，根據(jù)胡克定律，可在任意夾雜Ii(i=1,2,…,n)中心建立平衡方程：

圖1 均勻溫度變化下無限大平面含任意個圓形夾雜

圖2 等效夾雜法處理圖1的結(jié)果

2 等效夾雜法求解的有效性分析

有限元法是求解偏微分方程邊值問題近似解的數(shù)值技術(shù)，在固體力學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的運用. 基于有限元解的準確性，其通常用來驗證其他解法的準確性，如文獻[11-12]均采用有限元法驗證了其關(guān)于夾雜的彈性問題的理論解的正確性，因此本文結(jié)果也與有限元法進行對比.

將上述求解方法利用編程實現(xiàn)，并將本文方法的計算結(jié)果與ABAQUS的計算結(jié)果進行比較，以驗證其有效性. 所有計算均在2.0 GHz的i5 CPU的電腦上進行. 本文算例均假設(shè)為平面應(yīng)變問題.

如圖3所示的一個無限大板含有2個圓形夾雜，基體與夾雜的材料參數(shù)如表1所示. 夾雜的半徑分別為r1和r2，設(shè)r1=r2=1.0，兩個夾雜之間的距離L=3.0；基體與2個夾雜的剪切模量分別為μ、μ1和μ2，令μ1=μ2，兩夾雜圓心連線與x軸所成夾角為β，無限大板受到均勻的溫度變化1.0TΔ=℃. 采用本文方法和有限元法計算了當(dāng)45β=°時的Von Mises應(yīng)力分布和S11應(yīng)力分布，具體如圖4和圖5所示.

圖3 無限大平面下含2個圓形夾雜

圖5 S11應(yīng)力云圖（=45β °）

表1 基體與夾雜的材料參數(shù)

圖4 Von Mises應(yīng)力圖（=45β °）

從圖4～5可以看出，本文方法的計算結(jié)果與ABAQUS的計算結(jié)果吻合較好，兩種方法的Von Mises應(yīng)力和S11應(yīng)力的最大誤差分別在2%和2.5%內(nèi)，證明了本文方法的準確性. 在計算圖5所示的S11應(yīng)力云圖時，本文方法用時15.4 s，而有限元法用時94.8 s，表明本文方法具有更高的計算效率. 有限元法計算效率不如本文方法，原因是采用有限元求解時，必須對全局進行網(wǎng)格劃分，且在夾雜界面處的網(wǎng)格劃分尤為密集，而后需要同時求解；本文方法在求解該問題時，各點之間獨立求解，并無直接聯(lián)系.

3 多圓夾雜的無限平面熱應(yīng)力分析

由于夾雜物和基體之間的熱膨脹系數(shù)不同，在溫度變化時會產(chǎn)生熱失配，由此引起的熱應(yīng)力和熱變形是導(dǎo)致材料破壞的一個重要原因，因此研究夾雜物的排布方式和彈性常數(shù)對熱彈性場的影響規(guī)律有著重要的現(xiàn)實意義. 下面采用本文方法，對無限大平面下含多個圓形夾雜的熱彈性場進行計算，并分別求出夾雜界面的徑向應(yīng)力差值（rσΔ ）、環(huán)向應(yīng)力差值（θσΔ ）、剪應(yīng)力差值(rθσΔ).

3.1 夾雜排布方式對界面應(yīng)力的影響

為了探究夾雜排布方式對界面熱應(yīng)力的影響，在無限大平面內(nèi)不斷加入不同數(shù)量的圓形夾雜，產(chǎn)生如圖6所示的5種不同的夾雜排布方式：5個夾雜的菱形排布、3×3的方形布置、13個夾雜的菱形排布、5×5和7×7的方形布置. 每個圓形夾雜的半徑R=1.0，間距L=3R. 基體和夾雜的材料參數(shù)如表2所示，且每個夾雜的彈性模量相同. 固定夾雜與基底的剪切模量比值K=μi/μ=2.0，其中μ=E/2(1+v)；ΔT=1.0℃；計算當(dāng)無限大平面下分別含5、9、13、25、49個圓形夾雜時的界面應(yīng)力差值變化情況.

表2 基體與夾雜的材料參數(shù)

圖6 圓形夾雜布置

由于幾何形狀和溫度變化的對稱性，我們只計算了0°~45°處的界面熱應(yīng)力. 計算結(jié)果如圖7所示：當(dāng)采用3×3、5×5和7×7的方形排布時三個應(yīng)力差值明顯小于菱形排布，而采用5個夾雜的菱形布置時應(yīng)力集中現(xiàn)象最為明顯；當(dāng)采用方形周期排布時，排布數(shù)量的增加對應(yīng)力差值的影響不大，且在55× 處開始收斂.

3.2 剪切模量比對界面應(yīng)力的影響

為了探究夾雜彈性常數(shù)對界面熱應(yīng)力的影響，以圖7中55× 的方形排布為例，基體和夾雜的材料參數(shù)如表3所示，固定L=3R，每個圓形夾雜的半徑均為R=1.0，ΔT=1℃，每個夾雜的彈性模量相同；計算夾雜與基底的剪切模量比值K分別取0.1,0.4,1.0,2.0,10.0和∞時的界面應(yīng)力差值. 結(jié)果如圖8所示：當(dāng)采用方形排布時，應(yīng)力差值呈對稱性；且三個應(yīng)力差值隨著K的增加其增幅逐漸減少，并在K=10.0時開始收斂；環(huán)向應(yīng)力差值受K的影響較大，而角度對其的影響較小，這可能與夾雜的幾何形狀有關(guān)；徑向應(yīng)力差值的峰值出現(xiàn)在45°處，而剪應(yīng)力差值的峰值則出現(xiàn)在20°附近.

表3 基體與夾雜的材料參數(shù)

圖7 不同夾雜排布方式下的界面應(yīng)力差值

圖8 不同K值下的界面應(yīng)力差值

4 結(jié)論

本文基于等效夾雜法對無限平面含多夾雜的熱彈性問題進行了理論推導(dǎo)和程序?qū)崿F(xiàn)，通過有限元分析驗證了方法的正確性和高效性，并探討了夾雜排布方式和剪切模量比對界面熱應(yīng)力的影響，結(jié)果表明方形排布有利于降低界面應(yīng)力差值，更適用于復(fù)合材料的生產(chǎn). 此外，利用等效夾雜法計算含多個圓形夾雜結(jié)構(gòu)的熱彈性場，不需要像有限元方法一樣對整個結(jié)構(gòu)進行建模和網(wǎng)格劃分，而只需要夾雜的位置、半徑和彈性模量就可以進行計算，十分方便和高效，體現(xiàn)了該方法在復(fù)合材料細觀力學(xué)分析中的實用性和有效性. 但是本文工作目前僅適用于二維情況，后續(xù)可進一步擴展到三維問題.