張文志

（五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣東 江門 529020）

奇異兩點(diǎn)邊值問題經(jīng)常出現(xiàn)在生理學(xué)、電動(dòng)流體力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)、原子結(jié)構(gòu)、核物理和熱爆炸等許多理論與應(yīng)用領(lǐng)域. 由于奇異性的存在，奇異邊值問題的數(shù)值求解向來非常困難. 常見的數(shù)值方法如差分法[1-4]、樣條法[5-10]等，通常計(jì)算量比較大. 文獻(xiàn)[11]提出了一種能充分發(fā)揮高階乘法攝動(dòng)法優(yōu)點(diǎn)的精細(xì)積分法，但也存在精度和效率難以兼顧的問題.

考慮奇點(diǎn)邊界條件的強(qiáng)加性，本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，將精細(xì)積分法[12]和高階乘法攝動(dòng)法[13]與遞推消元法結(jié)合，提出一類奇異兩點(diǎn)邊值問題的混合精細(xì)積分法. 通過采用精細(xì)積分法求解奇點(diǎn)鄰近區(qū)域的傳遞矩陣、高階乘法攝動(dòng)法求解其他區(qū)域傳遞矩陣的方式，以兼顧奇點(diǎn)區(qū)域的解答精度與整個(gè)求解域的計(jì)算效率. 采用遞推消元法求解由每個(gè)子區(qū)間的相互關(guān)系給出的代數(shù)方程組，進(jìn)一步提高計(jì)算效率. 最后用數(shù)值算例證明本文方法的有效性.

1 方法描述

考慮如下的奇異兩點(diǎn)邊值問題

其中0x=為奇點(diǎn). 問題的性質(zhì)決定了邊界條件是強(qiáng)加的[1]. 考慮到本問題在0x=的奇異性，可將問題在0x=附近作一改變. 由L. Hospital法則，可得

2 數(shù)值算例

算例1考慮如下的二階微分方程

該問題的精確解為y(x)=1-x2. 為簡單起見，取δ=τ、N=2、M=11（即τ=1/(211+1)）進(jìn)行計(jì)算. 表1給出了本文方法和精確解的對(duì)比結(jié)果.

表1 算例1的結(jié)果對(duì)比(τ=1/(211+1))

由表1可看出，本文方法具有很高的精度.

算例2考慮如下奇異邊值問題

x 文獻(xiàn)[11]解 本文解 精確解 9τ 3.257 214 514 94 3.257 214 516 84 3.257 214 517 88 10τ 3.257 216 595 89 3.257 216 597 60 3.257 216 598 53 100τ 3.258 300 858 27 3.258 300 858 43 3.258 300 858 52 500τ 3.284 664 321 35 3.284 664 321 38 3.284 664 321 40 1000τ 3.368 025 907 35 3.368 025 907 36 3.368 025 907 37 2000τ 3.716 594 714 25 3.716 594 714 26 3.716 594 714 26

由表2可看出，本文結(jié)果比文獻(xiàn)[11]的結(jié)果具有更高的精度，即使在奇點(diǎn)附近區(qū)域依然保持了很高的精度.

表2 算例2的結(jié)果對(duì)比(τ=1/(212+1))

3 結(jié)論

考慮到在0x=點(diǎn)的奇異性，將高階乘法攝動(dòng)法和精細(xì)積分法結(jié)合，提出了一種求解奇異兩點(diǎn)邊值問題的混合精細(xì)積分法. 與文獻(xiàn)[11]的精細(xì)積分法相比，本文方法不但擁有更高的精度，更重要的是，本方法可通過取更小的δ值來提高奇點(diǎn)附近區(qū)域的精度，無需提高高階乘法攝動(dòng)的階數(shù)，可有效避免攝動(dòng)階數(shù)提高所導(dǎo)致的計(jì)算效率降低問題. 若放松非奇點(diǎn)附近區(qū)域的精度要求，可將精細(xì)積分法與差分類方法結(jié)合，靈活求解奇異邊值問題. 因此，本文方法具有更好的應(yīng)用前景.