鄭浩宇

摘要：導(dǎo)體棒切割磁感線問題中往往涉及變加速直線運(yùn)動(dòng)。但高中階段學(xué)生由于數(shù)學(xué)知識(shí)的限制，導(dǎo)致學(xué)生對這一類運(yùn)動(dòng)模型理解不到位。本文將從實(shí)際例題出發(fā)結(jié)合微元法和高等數(shù)學(xué)知識(shí)淺析其中合外力、加速度、位移、速度和時(shí)間等物理量之間的依賴關(guān)系，拓展解題視野。

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng);變加速運(yùn)動(dòng);微元法;微積分

電磁感應(yīng)中導(dǎo)體棒切割磁感線做變加速直線運(yùn)動(dòng)是高中電磁學(xué)板塊的難點(diǎn)。此類題目綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)面廣，難度往往也較大，能很好考察學(xué)生的思維能力，因此廣受命題者的青睞。高中階段解決此類問題通常用的是能量觀點(diǎn)，但實(shí)際上可能由于命題者的疏忽，題目中給定的數(shù)據(jù)與事實(shí)不符，導(dǎo)致物理量之間的關(guān)系出現(xiàn)彼此不匹配的情況，容易對學(xué)生造成誤導(dǎo)。那么能不能從變加速直線運(yùn)動(dòng)本身出發(fā)找出各個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)的物理量之間的真實(shí)對應(yīng)關(guān)系？下面通過兩個(gè)基本模型進(jìn)行探討。

一、例1：如圖1所示，水平平行放置兩根足夠長的光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌左端連接一個(gè)阻值為R的電阻，一根質(zhì)量為m的金屬棒垂直于導(dǎo)軌橫跨于兩根導(dǎo)軌之上，空間存在方向豎直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，整個(gè)回路除了電阻R之外其余電阻忽略不計(jì)。現(xiàn)在金屬棒以初速度水平向右運(yùn)動(dòng)。求整個(gè)過程中：

（1）金屬棒運(yùn)動(dòng)過的位移;

（2）流過電阻R的電荷量;

（3）金屬棒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間;

（4）感應(yīng)電流的有效值。

分析解答：（1）金屬棒做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，其v-t圖象如圖2所示，如果這是在數(shù)字化信息系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室里用傳感器獲取的真實(shí)v-t圖象并輔以DISLab的軟件確實(shí)可以求解運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間，除此以外通常情況下并不能通過面積法求解位移，此時(shí)微元法可排上用場。

微元法是解決物理的常用方法，是從部分到整體的思維方法。隱含微分和積分思想，但在高中階段應(yīng)用微元法并不需要進(jìn)行太復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算即可得到結(jié)果，故微元法是高中生解決此類電磁學(xué)變加速運(yùn)動(dòng)問題的常用手段。

由，及，得，電流I與速度v有瞬時(shí)對應(yīng)關(guān)系，安培力F安與加速度a也有著瞬時(shí)對應(yīng)關(guān)系。再由定義式和可得，即，對整個(gè)過程求和，得，解得.

在極短的時(shí)間內(nèi)，安培力可視為恒力，金屬棒理應(yīng)做勻減速運(yùn)動(dòng)，但由于此時(shí)間內(nèi)速度變化量也是極小量，因此金屬棒可視為勻速直線運(yùn)動(dòng)。該段時(shí)間的位移△x=v△t，對應(yīng)v-t圖象中的一個(gè)小矩形面積，把所有小矩形的面積求和就可得到整個(gè)過程的位移。推導(dǎo)過程中恰好含有v△t一項(xiàng)，因此用微元法求位移比較方便。此類問題中微元法起到化變?yōu)楹愕淖饔茫軐?fù)雜問題進(jìn)行簡化。

（2）表面上看，求流過電阻R的電荷量需要知道金屬棒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，實(shí)際上電荷量是由位移求得。

（3）關(guān)于金屬棒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，微元法并不能直接求解，所以大多數(shù)高中生不會(huì)深入去探究，此時(shí)如果命題者隨意給定一個(gè)時(shí)間值，就會(huì)破壞了運(yùn)動(dòng)學(xué)之間的依賴關(guān)系導(dǎo)致數(shù)據(jù)之間出現(xiàn)矛盾，因此命題者必須用到高等數(shù)學(xué)的微積分知識(shí)進(jìn)行求解。

由，得，積分得，變形得，令v=v0（t=0），得到c'=v0，推出時(shí)間的函數(shù)式.

把末速度代入上式，得到，實(shí)際上當(dāng)速度降低到接近零（即末速度為無窮小）時(shí)算得此段時(shí)間即為所求的解。具體的數(shù)值運(yùn)算可參考例2。

（4）求出時(shí)間之后再結(jié)合電流有效值公式，不難算出此段時(shí)間感應(yīng)電流的有效值。由，得，其中代表無窮小量。

二、例2：如圖3示，相互平行的兩根金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為L=0.5m，與水平地面夾角為θ=30°，導(dǎo)軌頂端連接一個(gè)阻值為R=1Ω的電阻，一根質(zhì)量為m=0.6kg的金屬導(dǎo)體棒垂直于導(dǎo)軌橫跨于導(dǎo)軌之上，導(dǎo)體棒由靜止開始釋放，整個(gè)空間存在垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T。導(dǎo)軌足夠長，滑行過程金屬棒始終與導(dǎo)軌保持垂直和良好接觸，忽略一切摩擦及除電阻R外的一切電阻，取g=10m/s2，求：

（1）金屬棒的最大速度;

（2）金屬棒由釋放直至最大速度所需的時(shí)間;

（3）金屬棒由釋放直至最大速度所運(yùn)動(dòng)過的位移。

分析解答：（1）由受力分析可知，當(dāng)金屬棒受力平衡時(shí)有最大速度vm，mgsinθ=BImL，，聯(lián)合解得，代入數(shù)據(jù)得vm=3m/s

（2）由牛頓第二定律得，即，為了方便后面的運(yùn)算，代入數(shù)據(jù)得，再由，得微分表達(dá)式，積分得，變化得，令，得，推出，最后得到時(shí)間t的函數(shù)式：，若代入v=3m/s則t無解（或理解為無窮大），換言之金屬棒永遠(yuǎn)無法達(dá)到最大速度。當(dāng)然這只是純數(shù)學(xué)理論的情況，實(shí)際上當(dāng)速度特別接近最大速度就可得所需的解，令v'=2.99m/s，此時(shí)速度誤差為0.33%，解得時(shí)間t'=3.422s。

（3）此問有兩種解法，第一種是運(yùn)用積分公式，，得s=8.472m。第二種是運(yùn)用微元法，由，得，代入數(shù)據(jù)解得s=8.472m.兩種解法得到相同的解。

本題核心公式為加速度和速度的函數(shù)式：，時(shí)間和位移兩個(gè)物理量都依賴此關(guān)系確定，但由高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本公式無法直接在它們之間建立關(guān)系，都要從微積分的思想出發(fā)才可解得。如果命題者只是由動(dòng)能定理等能量觀點(diǎn)的關(guān)系式去拼湊數(shù)據(jù)，雖然從高中物理的層面看沒問題，但是經(jīng)不起深入的驗(yàn)算，在微積分等高等數(shù)學(xué)面前會(huì)露餡。

三、由于受到各種現(xiàn)實(shí)因素的限制，命題者在命制這類導(dǎo)體棒切割磁感線做變加速直線運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，數(shù)據(jù)（如時(shí)間和位移）直接從實(shí)驗(yàn)中獲得并不方便，但不能因此就任意給定，一定要以事實(shí)為依據(jù)。所以命題者在命制題目時(shí)必須用到高等數(shù)學(xué)知識(shí)或者微元法進(jìn)行驗(yàn)證，避免出現(xiàn)與事實(shí)相悖的情況出現(xiàn)，使題目本身經(jīng)得起推敲。

引入微積分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)解高中物理題，一方面是讓學(xué)生早日接觸近代數(shù)學(xué)知識(shí)，并能在多個(gè)物理變量互相影響的問題中抽絲剝繭，找到最直接的解題方法;另一方面可使物理教師更深刻地理解題目中的物理過程，拓寬視野，對物理教師提高教學(xué)能力應(yīng)有一定的幫助。

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