李 紅，李 碩

(昌吉學(xué)院 數(shù)學(xué)系，新疆 昌吉 831100)

0 引言

一次巨額賠付或短期內(nèi)出現(xiàn)大量小額賠付都有可能使保險(xiǎn)企業(yè)陷入無(wú)法償還的危機(jī)。比如：2001年發(fā)生在美國(guó)紐約的“911”事件；2002年發(fā)生在我國(guó)的兩起空難；前幾年的馬航事件，等等，都使保險(xiǎn)公司承受了巨額的理賠。再比如：上世紀(jì)末亞洲爆發(fā)的金融危機(jī)，使日本許多大型保險(xiǎn)企業(yè)倒閉；2008年，全球爆發(fā)的“次貸危機(jī)”，導(dǎo)致美國(guó)保險(xiǎn)業(yè)巨頭集團(tuán)面臨嚴(yán)重債務(wù)危機(jī)，甚至瀕臨破產(chǎn)。很顯然，任何一家保險(xiǎn)公司都難以承受在短期內(nèi)出現(xiàn)的巨額理賠。隨著保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)的多樣化和復(fù)雜化以及我國(guó)保險(xiǎn)市場(chǎng)近幾年保費(fèi)收入的爆發(fā)式增長(zhǎng)，有效控制和防范保險(xiǎn)公司規(guī)模擴(kuò)大所帶來(lái)的相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)成為目前學(xué)者們研究的熱點(diǎn)。

現(xiàn)實(shí)中，保險(xiǎn)公司因?yàn)樽陨砬闆r不同，所提供的具體保險(xiǎn)業(yè)務(wù)不盡相同，自然所呈現(xiàn)的保費(fèi)額、投資額、索賠額、盈余額以及分紅、再保險(xiǎn)等數(shù)據(jù)特征也不同。在過(guò)去的幾十年中，風(fēng)險(xiǎn)理論研究者們已經(jīng)從上述不同角度考慮，研究提出了許多風(fēng)險(xiǎn)模型，有經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型、延遲風(fēng)險(xiǎn)模型、相依風(fēng)險(xiǎn)模型、Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型以及帶投資、帶干擾、擴(kuò)散型風(fēng)險(xiǎn)模型等，然后根據(jù)模型測(cè)算和預(yù)測(cè)保險(xiǎn)公司發(fā)生諸如盈余在某段時(shí)間內(nèi)或者最終出現(xiàn)負(fù)值這樣的隨機(jī)事件的概率，即破產(chǎn)概率，最后利用破產(chǎn)概率值度量保險(xiǎn)公司整體風(fēng)險(xiǎn)，達(dá)到防范和管控風(fēng)險(xiǎn)的目的。隨著研究范圍不斷擴(kuò)大，保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型得以不斷改進(jìn)，也更加貼近現(xiàn)實(shí)中發(fā)生的某些特殊現(xiàn)象。但絕大多數(shù)風(fēng)險(xiǎn)模型在根據(jù)盈余求解破產(chǎn)概率時(shí)，只能得到其所滿足的積分-微分方程，而這些方程往往都比較復(fù)雜，難以求出它的數(shù)值解。如果用傳統(tǒng)的方法求解，比如有限元法、有限差分法、Euler法，往往也不能如意，收斂速度慢，計(jì)算量還大。一些風(fēng)險(xiǎn)模型只有在索賠額服從指數(shù)分布或者離散分布限制時(shí)才能求出破產(chǎn)概率的精確值，絕大多數(shù)模型在當(dāng)索賠額條件放寬至服從除指數(shù)分布以外的分布時(shí)，破產(chǎn)概率的精確值都無(wú)法求出，只能估計(jì)其可行域。如何能避開(kāi)風(fēng)險(xiǎn)模型中索賠額所受的各種限制，精確地求解出風(fēng)險(xiǎn)模型在索賠服從任意一般分布和任意時(shí)間點(diǎn)破產(chǎn)概率的精確值變得尤為重要。本研究簡(jiǎn)單介紹保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型，重點(diǎn)闡述Erlang(n)分布風(fēng)險(xiǎn)模型及破產(chǎn)概率的計(jì)算，在此基礎(chǔ)上介紹ITELM 算法設(shè)計(jì)原理，為求解索賠額服從任意一般分布和任意時(shí)間點(diǎn)破產(chǎn)概率精確數(shù)值解做好鋪墊。

1 保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型簡(jiǎn)介

近年來(lái)，Waters和Papatriandafylou[5]針對(duì)保險(xiǎn)公司在第一次理賠發(fā)生后，經(jīng)過(guò)隨機(jī)的一段時(shí)間后，可能還會(huì)有第二次索賠，即延遲索賠，比如，一起車(chē)禍發(fā)生后，如果買(mǎi)了第三方保險(xiǎn)，擔(dān)保人在賠付完車(chē)的損失，過(guò)后一段時(shí)間還要為第三方賠付的情形，提出了延遲風(fēng)險(xiǎn)模型：

以上無(wú)論是考慮了分紅、投資等不確定影響因素的帶擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型，還是考慮了附加索賠的延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型以及從外部環(huán)境角度考慮的風(fēng)險(xiǎn)模型，都是為了更貼近現(xiàn)實(shí)當(dāng)中保險(xiǎn)公司所經(jīng)營(yíng)的具體保險(xiǎn)業(yè)務(wù)所適合的風(fēng)險(xiǎn)模型，拋開(kāi)以上因素，Erlang(n)分布的風(fēng)險(xiǎn)模型恰好適用于非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)模型的索賠過(guò)程。而Erlang(n)分布可以逼近任意一般分布，這一性質(zhì)在某種程度上放寬了前面所述模型的條件限制，因此，研究Erlang(n)分布風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率具有很重要的意義。此外，因?yàn)榍懊嫠瞿Ｐ捅?Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型只是多了若干常量或變量，最終得出的破產(chǎn)概率依然滿足積分-微分方程，如果能夠掌握求解Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率的數(shù)值解的方法，那么前面所述模型的破產(chǎn)概率數(shù)值解也便迎刃而解。

2 Erlang(n)分布的更新風(fēng)險(xiǎn)模型及其破產(chǎn)概率

當(dāng)索賠到達(dá)為更新過(guò)程，即截止時(shí)間t，賠償次數(shù)Nt是一個(gè)更新過(guò)程時(shí)，上述模型被稱為更新風(fēng)險(xiǎn)模型或sparre-Andersen風(fēng)險(xiǎn)模型。因?yàn)镻oisson過(guò)程是更新過(guò)程的一種特例，因此相較于經(jīng)典復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型，更新模型更具一般性，也更逼近于現(xiàn)實(shí)[10]。

其密度函數(shù)為：

該模型最終破產(chǎn)概率定義如下：

(1)當(dāng)n=1時(shí)，索賠到達(dá)服從泊松分布(1-1)為經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型。定義破產(chǎn)時(shí)間τ=τ(u)=inf{t≥0:U(t)<0|U(0)=u}，則有限時(shí)間破產(chǎn)概率為ψ(u,T)=P(τ≤T)，當(dāng)T→∞時(shí)，即為保險(xiǎn)公司最終破產(chǎn)的概率ψ(u)=P(τ<∞)。此時(shí)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率滿足如下積分-微分方程：

當(dāng)n=1時(shí)，索賠到達(dá)服從參數(shù)為(β,1)的Erlang(1)分布，Erlang(1)分布是指數(shù)分布，即索賠到達(dá)服從指數(shù)分布，且均值為1/β，此時(shí)得到的破產(chǎn)概率解析式如下：

(2)當(dāng)n=2時(shí)，索賠到達(dá)服從參數(shù)為(β,2)的Erlang(2)分布。Dickson[11]利用條件概率和其全概率公式推導(dǎo)出了如下Erlang(2)分布的更新風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率所滿足的方程：

(2-1)

其中，s0>0是如下代數(shù)方程(1-7)的解：

(2-1)在假設(shè)索賠到達(dá)服從指數(shù)分布時(shí)，許多文獻(xiàn)研究中有得到其解析解，但在服從一般的索賠分布時(shí)，不容易求解，因而破產(chǎn)概率的解析表達(dá)式也不易獲得。由文獻(xiàn)[12]可知,當(dāng)假設(shè)索賠到達(dá)服從Erland(n)分布時(shí)，更新風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率微分方程更為復(fù)雜，為了方便理解，下面只針對(duì)Erland(1)分布和Eland(2)分布的情況作以討論，Erland(n)分布的情況可以參考Erlang(2)分布下的求解過(guò)程。

3 ITELM 算法設(shè)計(jì)原理

隨著大數(shù)據(jù)和人工智能技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器學(xué)習(xí)算法作為人工智能技術(shù)的核心模型已成為研究熱點(diǎn)。目前，已有幾十種傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。BP(Back-Propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能模仿非線性輸入輸出的關(guān)系，內(nèi)部結(jié)構(gòu)單一，訓(xùn)練小樣本功效不錯(cuò)，是淺層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的典型代表，但易造成局部極小點(diǎn)偏離全局最優(yōu)解，收斂較慢，調(diào)優(yōu)過(guò)程麻煩，操作并不容易。ELM和SVM網(wǎng)絡(luò)操作雖然避免了以上缺點(diǎn)，但SVM 網(wǎng)絡(luò)操作時(shí)空開(kāi)銷(xiāo)大且最優(yōu)核函數(shù)不容易找到。ELM網(wǎng)絡(luò)相較于上述學(xué)習(xí)算法，執(zhí)行過(guò)程中不需要調(diào)整，只需在開(kāi)始網(wǎng)絡(luò)初始化、設(shè)置好隱藏層的參數(shù)，而且訓(xùn)練誤差小，只需設(shè)置網(wǎng)絡(luò)的隱節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，就可以得到唯一的最優(yōu)解。學(xué)習(xí)速度快、泛化性能好，該算法技術(shù)在許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。ELM的算法結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 ELM 的算法圖

研究索賠到達(dá)服從Eland(2)分布更新風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率方程(2-1)的特征，并結(jié)合ELM網(wǎng)絡(luò)算法的優(yōu)點(diǎn)，嘗試用三角函數(shù)做前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，并在ELM算法的求解中將微分方程的初始條件也添加進(jìn)去，得到一種新的ITELM算法，該算法設(shè)計(jì)原理如下：

首先，考慮一階常微分方程初值問(wèn)題：

(3-1)

假設(shè)該函數(shù)是微分方程問(wèn)題(3-1)的解，則應(yīng)滿足：

(3-2)

因此，求解方程(3-1)的初值問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題。

假設(shè)在條件

(3-3)

4 結(jié)論

利用ITELM 算法，建立索賠到達(dá)為Erlang(1)分布和Erlang(2)分布時(shí)，更新風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率所滿足的微分方程(2-1)模型，可以分別實(shí)現(xiàn)Erlang(1)和Erlang(2)風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率積分-微分方程的數(shù)值解[13]。索賠到達(dá)為 Erland(n)分布的破產(chǎn)概率數(shù)值解可以類(lèi)似Erlang(2)分布求得。進(jìn)一步，還可以通過(guò)采取一些數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證ITELM 算法訓(xùn)練求解的數(shù)值解誤差非常小，說(shuō)明ITELM結(jié)構(gòu)性能好，學(xué)習(xí)效果佳，可信度高，ITELM 算法求解的數(shù)值解值得被保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)管理者采納參考。

Erlang(n)分布可以逼近于任意一般分布，ITELM 算法實(shí)現(xiàn)了保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型在索賠服從任意分布下任意時(shí)刻破產(chǎn)概率的精確解，也解決了當(dāng)索賠到達(dá)為重尾分布時(shí)，破產(chǎn)概率只有在幾個(gè)特殊離散點(diǎn)處才能求得數(shù)值解的弊端，有利于保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)管理者及時(shí)有效地管控保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)。