張國(guó)利，汪永明

(安徽工業(yè)大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院；b.特種重載機(jī)器人安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽馬鞍山 243032)

與輪式或履帶式機(jī)器人相比，足式機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)性能上展現(xiàn)出極大的優(yōu)越性。四足機(jī)器人比兩足機(jī)器人具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性和承載能力，比六足機(jī)器人的結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單且易控制。因此，四足機(jī)器人成為機(jī)器人研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)。腿機(jī)構(gòu)是足式機(jī)器人中最關(guān)鍵的部分，對(duì)足式機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)性能起決定性作用，合理的腿結(jié)構(gòu)是步行機(jī)器人設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。目前多數(shù)機(jī)器人腿為多自由度開(kāi)鏈?zhǔn)綑C(jī)構(gòu)，如國(guó)外較為成熟的機(jī)器人Big Dog、ANYmal以及國(guó)內(nèi)的SCalf。以上機(jī)器人腿部具有較強(qiáng)的靈活性和地形適應(yīng)性，但自由度較多、控制較復(fù)雜。單自由度平面連桿與閉鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)被廣泛用于不同機(jī)器人原型中，如經(jīng)典的Chebyshev 機(jī)構(gòu)、Klann 機(jī)構(gòu)和Jansen 機(jī)構(gòu)。由這些機(jī)構(gòu)組成的機(jī)器人腿不但具有自由度少、負(fù)載能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，且避免了由電機(jī)往復(fù)換向造成的能量損失?；诖?，越來(lái)越多的研究者對(duì)閉鏈?zhǔn)綇?fù)合連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究。Park等設(shè)計(jì)了一種由9 個(gè)連桿和1 個(gè)彈簧組成的單自由度腿部機(jī)構(gòu)，用1 個(gè)執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)機(jī)器人腿，實(shí)現(xiàn)了電機(jī)整周轉(zhuǎn)動(dòng)，但單自由度結(jié)構(gòu)限制了腿部的運(yùn)動(dòng)空間，環(huán)境適應(yīng)性較弱；Wu 等基于“全閉鏈機(jī)構(gòu)”概念，提出了一種具有全回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的單自由度步行腿機(jī)構(gòu)，這種機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、整體剛度大等優(yōu)點(diǎn)；柏龍等設(shè)計(jì)了一種由Chebyshev機(jī)構(gòu)、五桿機(jī)構(gòu)組成的兩自由度機(jī)器人腿部結(jié)構(gòu)，電機(jī)連續(xù)驅(qū)動(dòng)使步行腿持續(xù)運(yùn)動(dòng)，避免了電機(jī)持續(xù)換向的缺點(diǎn)；Nie等提出了由2個(gè)曲柄搖塊和1個(gè)平行四桿機(jī)構(gòu)組成的兩自由度腿部結(jié)構(gòu)，利用曲柄搖桿機(jī)構(gòu)將電機(jī)的連續(xù)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為大腿的前后擺動(dòng)和中腿的上下運(yùn)動(dòng)，膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)之間的平行四桿機(jī)構(gòu)帶動(dòng)小腿來(lái)回運(yùn)動(dòng)；王森等基于Klann 六桿機(jī)構(gòu)，提出一種新型可調(diào)整閉鏈腿部機(jī)構(gòu)，通過(guò)在機(jī)架上增加1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度顯著提升了機(jī)器人腿的地形適應(yīng)性。

由以上文獻(xiàn)分析可知目前機(jī)器人腿部設(shè)計(jì)特點(diǎn)為：腿部自由度少、易控制，但足端軌跡單一、環(huán)境適應(yīng)性弱；腿部自由度多、足端軌跡豐富、環(huán)境適應(yīng)性較強(qiáng)，但控制難度大。針對(duì)開(kāi)鏈?zhǔn)讲叫型茸杂啥榷唷㈦姍C(jī)驅(qū)動(dòng)需換向的問(wèn)題，設(shè)計(jì)一種由電機(jī)連續(xù)驅(qū)動(dòng)的兩自由度雙閉鏈?zhǔn)讲叫型葯C(jī)構(gòu)，對(duì)其足端軌跡進(jìn)行規(guī)劃，且通過(guò)步行腿仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證步行腿結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與足端軌跡規(guī)劃的可行性。

1 雙閉鏈?zhǔn)讲叫型葯C(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

以電機(jī)連續(xù)整周驅(qū)動(dòng)實(shí)現(xiàn)優(yōu)良的足端軌跡為目標(biāo)，設(shè)計(jì)一種新型的雙閉鏈?zhǔn)讲叫型葯C(jī)構(gòu)，即將2 個(gè)單自由度平面四桿機(jī)構(gòu)組合在一起，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1。

圖1 雙閉鏈?zhǔn)讲叫型冉Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Structure diagram of double closed chain walking leg

由圖1 可看出，設(shè)計(jì)的步行腿由平行四桿機(jī)構(gòu)和曲柄滑塊機(jī)構(gòu)組成，分別由2 個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)。為便于描述，將步行腿機(jī)構(gòu)的連桿分別表示為大腿曲柄、從動(dòng)曲柄、大腿連桿、小腿曲柄、小腿連桿、腿桿。步行腿由兩個(gè)閉鏈組成，其中大腿連桿為兩個(gè)閉鏈的公共連桿。第一閉鏈由腿架

OQ

、大腿曲柄

QF

、從動(dòng)曲柄

OA

、大腿連桿

AG

組成，四者構(gòu)成平行四桿機(jī)構(gòu)。

Q

點(diǎn)和

B

點(diǎn)分別為大腿曲柄和小腿曲柄的驅(qū)動(dòng)點(diǎn)，電機(jī)驅(qū)動(dòng)大腿曲柄，為步行腿提供前進(jìn)的動(dòng)力。第二閉鏈由大腿連桿

AG

、小腿曲柄

BC

、小腿連桿

CD

、滑塊組成，四者構(gòu)成曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，電機(jī)驅(qū)動(dòng)小腿曲柄調(diào)節(jié)步行腿的跨步高度，其中足端軌跡由腿桿

DE

輸出。通過(guò)平行四桿機(jī)構(gòu)與曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的相互配合，聯(lián)合驅(qū)動(dòng)，可形成良好的足端軌跡，實(shí)現(xiàn)平地路面的行走及越障功能。

設(shè)計(jì)的步行腿機(jī)構(gòu)具有以下特點(diǎn)：雙閉鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，相對(duì)于三桿開(kāi)鏈腿結(jié)構(gòu)具有良好的剛度，有助于提高步行腿的承載能力；平行四桿機(jī)構(gòu)與曲柄滑塊機(jī)構(gòu)相互配合，聯(lián)合驅(qū)動(dòng)，能夠形成良好的足端軌跡；電機(jī)驅(qū)動(dòng)曲柄連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，可避免電機(jī)往復(fù)換向的缺點(diǎn)，降低沖擊、振動(dòng)以及能量損失。

2 雙閉鏈?zhǔn)讲叫型茸愣塑壽E規(guī)劃

2.1 足端軌跡分析

足端軌跡規(guī)劃對(duì)步行腿在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的步幅長(zhǎng)度、越障高度、足端是否打滑、拖地等起到?jīng)Q定性作用。研究步行腿需對(duì)其足端軌跡進(jìn)行合理規(guī)劃，規(guī)劃出的足端軌跡需滿(mǎn)足平滑連續(xù)的條件，支撐階段軌跡應(yīng)為一條直線或近似直線，以保證步行腿移動(dòng)的平穩(wěn)性；擺動(dòng)階段軌跡最好為一段弧形，既可實(shí)現(xiàn)跨步動(dòng)作，還可避免產(chǎn)生多余的運(yùn)動(dòng)。常用的足端軌跡有拋物線、擺線、橢圓、心形線以及多項(xiàng)式曲線，其特點(diǎn)見(jiàn)表1。

表1 常見(jiàn)足端軌跡曲線的特性Tab.1 Characteristics of common foot trajectory curves

由表1 可知，單一的曲線并不能滿(mǎn)足足端軌跡規(guī)劃的需求。目前多數(shù)學(xué)者采用復(fù)合擺線及多項(xiàng)式組合曲線對(duì)足端軌跡進(jìn)行規(guī)劃，其中多項(xiàng)式組合曲線復(fù)雜、計(jì)算量大。因此文中以復(fù)合擺線作為步行腿足端軌跡規(guī)劃的目標(biāo)曲線，復(fù)合擺線表達(dá)式如式(1)。

式中：

S

為步長(zhǎng)；

H

為步高；

t

為時(shí)間變量；

T

為跨步運(yùn)動(dòng)周期。這些參數(shù)均可根據(jù)步行腿跨步長(zhǎng)度和越障高度修改。以步行腿實(shí)現(xiàn)300 mm 的步長(zhǎng)以及100 mm 的步高為足端軌跡規(guī)劃目標(biāo)，令

S

=300 mm，

H

=100 mm，

T

=0.5 s，采用MATLAB 繪制復(fù)合擺線軌跡，如圖2。

圖2 復(fù)合擺線軌跡Fig.2 Compound cycloid trajectory

2.2 足端軌跡數(shù)學(xué)模型

為便于足端軌跡規(guī)劃，建立足端軌跡數(shù)學(xué)模型。設(shè)計(jì)的雙閉鏈?zhǔn)讲叫型鹊暮?jiǎn)化模型如圖3。建立

xOy

全局坐標(biāo)系，

x'By'

局部坐標(biāo)系；設(shè)定

OA

，

AB

，

BC

，

CD

，

DE

，

OQ

的長(zhǎng)度分別為

l

,l

,l

,l

,l

,h

。分析圖3 可知，足端點(diǎn)

E

的坐標(biāo)取決于各桿件的長(zhǎng)度及兩曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)角度

α,β

。

圖3 步行腿足端數(shù)學(xué)模型Fig.3 Mathematical model of walking leg foot

2.3 基于足端軌跡規(guī)劃的桿件尺寸優(yōu)化

步行腿桿件尺寸優(yōu)化問(wèn)題是帶約束條件的非線性?xún)?yōu)化問(wèn)題，在相關(guān)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)約束中使用不同的優(yōu)化算法優(yōu)化機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡。近年，智能算法常被用于解決機(jī)器人軌跡規(guī)劃問(wèn)題，其中MATLAB 優(yōu)化工具箱中的遺傳算法被廣泛用于各種優(yōu)化問(wèn)題的求解中，fmincon()函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法精度高、收斂性好。因此文中采用遺傳算法與fmincon()函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法相結(jié)合的方式對(duì)步行腿桿件尺寸進(jìn)行優(yōu)化，建立桿件優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。

2.3.1 目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)變量

步行腿桿件尺寸的優(yōu)化本質(zhì)上是根據(jù)理論足端軌跡曲線與預(yù)設(shè)的目標(biāo)軌跡曲線間的誤差建立方程，這樣尺寸優(yōu)化就轉(zhuǎn)化為求方程最小值的問(wèn)題，值越小表明規(guī)劃出的足端軌跡越貼近目標(biāo)軌跡。本次優(yōu)化中，設(shè)定曲柄勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在規(guī)劃的足端軌跡上均勻選取13個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的相位差為30°，即

φ

=[0°，30°，60°，90°，120°，150°，180°，210°，240°，270°，300°，330°，360°]。兩曲柄整周轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)足端依次通過(guò)選取的13個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，目標(biāo)期望是使規(guī)劃的足端軌跡與目標(biāo)軌跡之間的13 個(gè)點(diǎn)的平均距離最小。通過(guò)以上分析，雙閉鏈?zhǔn)讲叫型葪U件尺寸優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如下

式中：

E,E

為規(guī)劃的步行腿足端

E

點(diǎn)第

i

個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，由式(7)求出；

S,S

為目標(biāo)復(fù)合擺線足端軌跡的第

i

個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，由式(1)求出。根據(jù)式(7)和式(2)可知，足端

E

點(diǎn)的坐標(biāo)與機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)和曲柄轉(zhuǎn)角有關(guān)，故設(shè)計(jì)變量

x

=[

l

,l

,l

,l

,l

,h,α

,β

]。

2.3.2 約束條件

步行腿各桿件的長(zhǎng)短會(huì)影響步行腿的整體尺寸和質(zhì)量，故需對(duì)腿部尺寸施加合理的約束范圍。根據(jù)雙閉鏈?zhǔn)讲叫型日w結(jié)構(gòu)尺寸限制，各桿長(zhǎng)度與曲柄初始位置均有1個(gè)上下限范圍：

根據(jù)平行四桿機(jī)構(gòu)和曲柄滑塊機(jī)構(gòu)存在條件以及桿件布置，建立4個(gè)約束條件：

2.3.3 優(yōu)化分析

以桿長(zhǎng)及轉(zhuǎn)角為設(shè)計(jì)變量，以規(guī)劃的足端軌跡與目標(biāo)軌跡13 個(gè)點(diǎn)之間的平均距離最小為優(yōu)化目標(biāo)，并施加約束條件，采用遺傳算法和fmincon()函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法對(duì)步行腿桿件尺寸進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化后對(duì)結(jié)果取整，得到使規(guī)劃的足端軌跡滿(mǎn)足目標(biāo)軌跡的步行腿桿件尺寸和曲柄初始角度：

l

=150 mm，

l

=120 mm，

l

=100 mm，

l

=195 mm，

l

=535 mm，

h

=190 mm，

α

=0，

β

=0。將優(yōu)化后的桿件尺寸代入式(7)，通過(guò)MATLAB 進(jìn)行計(jì)算，獲得規(guī)劃的足端軌跡曲線，并與目標(biāo)軌跡曲線進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖4。從圖4可看出：優(yōu)化軌跡曲線與目標(biāo)軌跡曲線貼合度高，優(yōu)化后的軌跡步長(zhǎng)為300 mm，步高為100 mm，滿(mǎn)足了目標(biāo)要求；優(yōu)化后的足端曲線兩端平滑無(wú)尖點(diǎn)，可避免與地面接觸時(shí)的沖擊，更好地滿(mǎn)足了對(duì)步行腿足端軌跡曲線規(guī)劃的要求。

圖4 步行腿足端的優(yōu)化軌跡與目標(biāo)軌跡Fig.4 Optimal trajectory and target trajectory of walking leg foot

3 雙閉鏈?zhǔn)讲叫型茸愣塑壽E仿真分析

為驗(yàn)證足端軌跡規(guī)劃的正確性，對(duì)足端軌跡進(jìn)行仿真驗(yàn)證。根據(jù)優(yōu)化的各桿件尺寸，在ADAMS軟件中建立步行腿的簡(jiǎn)化模型，設(shè)置步行腿各構(gòu)件的材料屬性，添加運(yùn)動(dòng)副，施加驅(qū)動(dòng)電機(jī)，設(shè)定兩電機(jī)的轉(zhuǎn)速為36 °/s，仿真時(shí)間為10 s。仿真結(jié)束，輸出足端軌跡，將仿真的足端軌跡與優(yōu)化的足端軌跡進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖5(a)。由圖5(a)可知：足端軌跡的仿真軌跡曲線與優(yōu)化軌跡曲線吻合，證明了理論模型推導(dǎo)與軌跡規(guī)劃的正確性；步行腿跨步長(zhǎng)度為300 mm，抬腿高度為100 mm，滿(mǎn)足了預(yù)期目標(biāo)。輸出步行腿足端一個(gè)周期內(nèi)的位移、速度、加速度曲線，分別如圖5(b)～(d)。圖中：角標(biāo)

x

，

y

分別表示步行腿足端在

x

，

y

方向；

D

，

v

，

a

分別為足端的合位移、合速度、合加速度。

圖5 步行腿仿真曲線Fig.5 Simulation curves of walking leg foot

由圖5(b)～(d)可知：足端在一個(gè)周期內(nèi)位移、速度曲線平滑連續(xù)無(wú)突變；加速度曲線連續(xù)，但在7.5 s時(shí)刻產(chǎn)生尖點(diǎn)，尖點(diǎn)位置在支撐階段的中點(diǎn)處。產(chǎn)生尖點(diǎn)的原因是步行腿在支撐階段5.0～7.5 s 期間做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，7.5 s時(shí)刻加速度減小到0；在7.5～10.0 s期間做加速度增加的減速運(yùn)動(dòng)。仿真曲線證明了采用復(fù)合擺線規(guī)劃出的足端軌跡可行。

4 雙閉鏈?zhǔn)讲叫型葮訖C(jī)實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證步行腿仿真結(jié)果的正確性，進(jìn)行步行腿樣機(jī)實(shí)驗(yàn)。根據(jù)零部件尺寸，在SolidWorks中建立步行腿的三維模型，完成驅(qū)動(dòng)電機(jī)、導(dǎo)軌、滑塊、軸承、控制器等部件的選型；利用3D打印得到步行腿的各構(gòu)件，裝配得到步行腿樣機(jī)，如圖6。由圖6可看出，步行腿樣機(jī)包含步行腿、控制器以及舵機(jī)驅(qū)動(dòng)器。其中步行腿構(gòu)成四足機(jī)器人的基本單元，舵機(jī)為步行腿行走提供動(dòng)力，控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)步行腿運(yùn)動(dòng)的控制。實(shí)驗(yàn)流程圖如圖7，獲得的足端軌跡圖如圖8，樣機(jī)的主要參數(shù)見(jiàn)表2。

圖6 步行腿樣機(jī)Fig.6 Walking leg prototype

圖7 實(shí)驗(yàn)流程圖Fig.7 Flow chart of experiment

圖8 步行腿足端軌跡跟蹤Fig.8 Foot tracking of walking leg foot

表2 步行腿樣機(jī)主要參數(shù)Tab.2 Main parameters of walking leg prototype

由圖8可看出，步行腿樣機(jī)的實(shí)際足端軌跡與仿真軌跡形狀極為接近，僅存在微小偏差。已知步行腿樣機(jī)的大腿曲柄1與大腿曲柄2的轉(zhuǎn)動(dòng)中心點(diǎn)

Q

與

O

之間的距離

h

=190 mm，繪制出如圖8所示比例尺，經(jīng)過(guò)測(cè)量計(jì)算得到步長(zhǎng)約322 mm、步高約106 mm，與ADAMS 仿真結(jié)果之間的相對(duì)誤差分別為7%與6%，誤差在可接受的范圍之內(nèi)。產(chǎn)生誤差的原因是步行腿樣機(jī)各構(gòu)件在加工、裝配中存在誤差以及測(cè)量產(chǎn)生誤差；同時(shí)大腿與小腿運(yùn)動(dòng)存在耦合現(xiàn)象，也會(huì)對(duì)足端軌跡精度造成影響。大腿與小腿存在的耦合現(xiàn)象將在之后的工作中討論。綜上，本實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了步行腿結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與足端軌跡規(guī)劃的正確性及可行性。

5 結(jié) 論

1) 設(shè)計(jì)一種新型的兩自由度雙閉鏈?zhǔn)讲叫型葯C(jī)構(gòu)，采用平行四桿機(jī)構(gòu)作為第一閉鏈、曲柄滑塊機(jī)構(gòu)作為第二閉鏈，兩者相互配合、聯(lián)合驅(qū)動(dòng)，能夠形成良好的足端軌跡。

2) 采用幾何解析法建立步行腿機(jī)構(gòu)足端軌跡數(shù)學(xué)模型，以步行腿實(shí)現(xiàn)300 mm的跨步長(zhǎng)度及100 mm的越障高度為足端軌跡規(guī)劃目標(biāo)，以理論計(jì)算的足端曲線與目標(biāo)曲線之間的最小誤差為優(yōu)化目標(biāo)，得到各桿件長(zhǎng)度以及曲柄初始轉(zhuǎn)角：

l

= 150 mm，

l

= 120 mm，

l

= 100 mm，

l

= 195 mm，

l

= 535 mm，

h

= 190 mm，

α

= 0°，

β

= 0°。

3)建立步行腿簡(jiǎn)化模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示：仿真曲線與優(yōu)化曲線一致，位移、速度、加速度曲線連續(xù)。

4)制步行腿樣機(jī)進(jìn)行足端軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示：步行腿能夠?qū)崿F(xiàn)322 mm 的跨步長(zhǎng)度以及106 mm的越障高度，與仿真結(jié)果之間的誤差分別為7%與6%。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了步行腿結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與足端軌跡規(guī)劃的可行性。