王仁超，馬鈺明

(天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

大型水工建筑物變形監(jiān)測(cè)是掌握建筑物運(yùn)行工作性態(tài)、保障建筑物運(yùn)行安全的重要工作之一[1-3]。位移是大壩、渡槽等大型水工建筑物在內(nèi)外部環(huán)境影響下的直觀可靠監(jiān)測(cè)量，對(duì)位移觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)分析并建立實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)模型是大型水工建筑物安全監(jiān)測(cè)領(lǐng)域里的重要研究?jī)?nèi)容[4-9]。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)監(jiān)測(cè)模型有統(tǒng)計(jì)模型、確定性模型和混合模型[7-12]?；跀?shù)理統(tǒng)計(jì)的多元回歸模型在具有復(fù)雜和高度非線性行為的變形預(yù)測(cè)中逐漸體現(xiàn)出局限性[10]。近些年來，伴隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，機(jī)器學(xué)習(xí)模型在大型水工建筑物變形監(jiān)測(cè)中應(yīng)用廣泛[12]。Mata 等[13]驗(yàn)證了用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)測(cè)混凝土壩工作性能的有效性；李明軍等[14]用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化的極限學(xué)習(xí)機(jī)對(duì)拱壩的變形進(jìn)行預(yù)測(cè)；王彥磊等[15]改進(jìn)了隨機(jī)森林算法，并對(duì)渡槽的位移進(jìn)行了預(yù)測(cè)；姜振翔等[16]引入支持向量機(jī)建立重力壩的變形監(jiān)測(cè)模型。隨著機(jī)器學(xué)習(xí)算法的不斷發(fā)展，相關(guān)建筑物的變形預(yù)測(cè)精度也不斷被提升，其中核極限學(xué)習(xí)機(jī)（kernel extreme learning machine，KELM）[17]是Huang 等提出的一種基于前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并通過引入核函數(shù)與正則化系數(shù)的新機(jī)器學(xué)習(xí)算法。與傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，核極限學(xué)習(xí)機(jī)不但學(xué)習(xí)速度快，精度高，同時(shí)還降低了隨機(jī)映射和樣本噪聲對(duì)模型的影響，具有更好的預(yù)測(cè)效果[18]。

本文采用核極限學(xué)習(xí)機(jī)網(wǎng)絡(luò)建立重力壩的變形預(yù)測(cè)模型，考慮到變形影響因子與位移監(jiān)測(cè)序列之間具有復(fù)雜高維非線性關(guān)系，影響模型的精度和泛化能力，采用主成分分析法（principal component analysis，PCA）對(duì)多維度的樣本變量進(jìn)行降維處理，降維后的樣本序列依舊蘊(yùn)含建筑物變形的效應(yīng)量與水壓、溫度、時(shí)效等因子之間的關(guān)系。同時(shí)為進(jìn)一步提升KELM 網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)精度，引入布谷鳥搜索算法，在全局范圍內(nèi)高效尋找最優(yōu)解，為模型提供更精確的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。最后，建立基于PCA 和CS-KELM 算法的變形預(yù)測(cè)模型，以某混凝土重力壩為研究對(duì)象，對(duì)變形位移監(jiān)測(cè)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，驗(yàn)證模型的預(yù)測(cè)效果。

1 研究算法概述

1.1 主成分分析法

主成分分析法是一種多變量分析方法[19]，主要思想是組合成新的綜合指標(biāo)表達(dá)原有變量相關(guān)性，可兼顧降低模型輸入變量維數(shù)和提取主要信息。通過構(gòu)造新變量代替原變量，將原變量的n維特征映射到新變量的k維特征上(k

設(shè)有數(shù)據(jù)集X={x1,x2,···,xm}，經(jīng)過投影變換后的新坐標(biāo)系為W={w1,w2,···,wm}，通過最大投影方差法得到目標(biāo)函數(shù)：

使用拉格朗日乘子法求解式（1），得

λ為協(xié)方差矩陣XXT的特征值，對(duì)其進(jìn)行排序：λ1≥λ2≥···≥λm，得到累計(jì)貢獻(xiàn)率為。

1.2 核極限學(xué)習(xí)機(jī)

核極限學(xué)習(xí)機(jī)是在單隱含層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)極限學(xué)習(xí)機(jī)的基礎(chǔ)上，通過引入核函數(shù)映射和正則化理論優(yōu)化模型網(wǎng)絡(luò)，提高精度和泛化能力的同時(shí)降低網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度和隨機(jī)性。

對(duì)于n個(gè)不同樣本(xi,ti),i=1,2,···,n，當(dāng)ELM 網(wǎng)絡(luò)的隱含節(jié)點(diǎn)為L(zhǎng)，激活函數(shù)為g(x) 時(shí)，其表達(dá)形式[20]為：

式中：β為輸出層權(quán)重矩陣；ωi和bi為第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)的權(quán)重和偏置；T為樣本期望輸出矩陣。

對(duì)式(（)5）引(入核函)數(shù)，代替原有的隨機(jī)映射關(guān)系，定義核函數(shù)矩陣ΩELM=HHT，其中的元素為ΩELM(i,j)=，則標(biāo)準(zhǔn)KELM網(wǎng)絡(luò)的輸出為：

常見的核函數(shù)的形式有線性核函數(shù)、Sigmoid 核函數(shù)、多項(xiàng)式核函數(shù)和RBF 核函數(shù)[21]，本文選用RBF 核函數(shù)，表達(dá)式如下：

因此，正則化系數(shù)C和核參數(shù)δ 是影響KELM 網(wǎng)絡(luò)性能的關(guān)鍵因素。

1.3 布谷鳥搜索算法

布谷鳥算法（Cuckoo search，CS）是一種模擬布谷鳥的寄生育雛行為的新型元啟發(fā)算法。該算法通過初始化種群、Levy 飛行搜索、淘汰劣解鳥巢、更新最優(yōu)鳥巢4個(gè)部分操作，最終輸出符合優(yōu)化目標(biāo)鳥巢（最優(yōu)解）。研究表明，CS 算法比遺傳算法、粒子群算法具有更高的精度[22]。

設(shè)定用于淘汰低質(zhì)量鳥巢的適應(yīng)度函數(shù)，本文選擇均方誤差為目標(biāo)函數(shù)：

Levy 飛行搜索鳥巢的過程中，包含基于隨機(jī)游動(dòng)的局部搜索和偏好游動(dòng)的全局搜索兩個(gè)部分?；陔S機(jī)游走尋優(yōu)搜索，其位置更新方程如下：

式中：?0為搜索步長(zhǎng)；u、ν為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)；為第m代中第i個(gè)鳥巢的位置；為第m代中最優(yōu)鳥巢的位置；φ的取值如下：，β為萊維飛行系數(shù)，取1.5。

2 基于PCA 和CS-KELM 算法的組合模型

參數(shù)優(yōu)化后的KELM 網(wǎng)絡(luò)適合于非線性函數(shù)的擬合，學(xué)習(xí)速度和精度均優(yōu)于傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。變形影響因子與位移監(jiān)測(cè)序列之間存在復(fù)雜的高維非線性，為提升模型的預(yù)測(cè)精度和泛化能力，用PCA 算法對(duì)變形影響因子進(jìn)行降維，優(yōu)化KELM 網(wǎng)絡(luò)的輸入變量，構(gòu)建變形預(yù)測(cè)模型，其具體步驟如圖1 所示。首先針對(duì)變形影響因子進(jìn)行主成分提取，選取前v個(gè)累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)95%的主成分。然后建立布谷鳥尋優(yōu)算法優(yōu)化的核極限學(xué)習(xí)機(jī)網(wǎng)絡(luò)，并在Matlab 軟件上構(gòu)建該網(wǎng)絡(luò)。布谷鳥尋優(yōu)算法優(yōu)化核極限學(xué)習(xí)機(jī)的過程如下：

圖1 變形預(yù)測(cè)模型構(gòu)建流程Fig.1 Flowchart of deformation prediction model

步驟1：初始化鳥巢群體，隨機(jī)生成方案分配于矩陣X中。設(shè)置鳥巢數(shù)量n為20 個(gè)，發(fā)現(xiàn)概率為0.25，迭代次數(shù)m為50。

步驟2：計(jì)算已生成鳥巢的適應(yīng)度值Fi，并找到當(dāng)前最優(yōu)適應(yīng)度鳥巢Xbest。

步驟3：通過Levy 飛行搜索新鳥巢，并比較新鳥巢與上一階段最優(yōu)鳥巢Xbest之間的適應(yīng)度值，將適應(yīng)度更好的鳥巢更新為最優(yōu)鳥巢Xbest，否則維持原狀，此時(shí)Xbest為當(dāng)前的最優(yōu)解。

步驟4：淘汰被發(fā)現(xiàn)的劣質(zhì)鳥巢，加入新鳥巢，保持鳥巢的群體數(shù)量不變。

步驟5：迭代m次后，對(duì)比迭代前后的適應(yīng)度值，將更優(yōu)適應(yīng)度的鳥巢放入下一代鳥巢群體中。

步驟6：迭代完成，輸出全局最佳解，得到KELM 網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)正則化系數(shù)C和核參數(shù)δ 值。

將提取后的主成分變量輸入到優(yōu)化后的KELM 網(wǎng)絡(luò)中，進(jìn)行位移變形預(yù)測(cè)。最后采用多種指標(biāo)評(píng)價(jià)模型的性能，如確定性系數(shù)、平均絕對(duì)百分比誤差、平均絕對(duì)誤差和均方根誤差等。

3 實(shí)例計(jì)算與分析

某碾壓混凝土重力壩由7 個(gè)壩段組成，布置有正垂線、倒垂線、引張線等多種變形監(jiān)測(cè)儀器。選用某壩段某測(cè)點(diǎn)水平位移X方向（沿壩軸方向）和Y方向（上下游方向）的自動(dòng)化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型。以2005 年6 月1 日至2008 年2 月25 日的1 000 個(gè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為訓(xùn)練集，2008 年2 月26 日至2008 年9 月13 日的200 個(gè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為測(cè)試集。大壩變形主要由水壓分量 δH、溫度分量 δT和時(shí)效分量 δθ組成，δ=δH+δT+δθ。根據(jù)統(tǒng)計(jì)模型，確定重力壩變形各分量的構(gòu)成因子。水壓分量，Hi?(i=1,2,3)；溫度分量，)；時(shí)效分量，θ?θ0、ln(θ?θ0)，分別用X1～X9 表示。

3.1 模型組合

因輸入變量之間的量綱不同，對(duì)各變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，再計(jì)算數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，求出協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，并依次計(jì)算各成分的貢獻(xiàn)率，提取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)95%的主成分，計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 樣本變量特征值和貢獻(xiàn)率計(jì)算結(jié)果Tab.1 Eigenvalues and contribution of sample variables

由表1 可知，前6 個(gè)成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到99%，說明前6 個(gè)主成分包含了原始變量的主要信息，依據(jù)主成分規(guī)則可以將其作為主成分變量輸入到下一步的網(wǎng)絡(luò)模型中。圖2 為P1到P6主成分相對(duì)原始變量的相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值圖。原始變量X1～X3、X4～X7、X8～X9 分別代表了水壓、溫度和時(shí)效分量。相關(guān)系數(shù)R的取值在[?1,1]，|R|越接近于1，兩變量之間的相關(guān)程度越高。由圖2 可以看出，貢獻(xiàn)率最大的主成分P1與原始變量的相關(guān)程度所占比最高，其余主成分隨著貢獻(xiàn)率的降低，其相關(guān)程度所占比也逐步遞減。其中，主成分P1包含了水壓和部分溫度分量所蘊(yùn)含的主要信息；主成分P2包含了時(shí)效分量的主要信息；主成分P3～P6則包含了溫度分量的主要信息。因此，提取后的主成分包含原始序列的豐富信息，同時(shí)降低了模型變量輸入維數(shù)，優(yōu)化模型輸入。

圖2P1～P6 主成分相關(guān)系數(shù)Fig.2 Score of correlation coefficient from P1 to P6

將得到的主成分變量輸入到KELM 網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行優(yōu)化。設(shè)置布谷鳥算法的初始鳥巢數(shù)量為20 個(gè)，發(fā)現(xiàn)概率為0.25，迭代數(shù)為50，同時(shí)選取粒子群算法進(jìn)行對(duì)比。從圖3 可以看出，PSO 算法在收斂速度和精度上均不如CS 算法，得到最優(yōu)參數(shù)分別為C=150、δ=1.64和C=18.59、δ=0.87。

圖3 CS 與PSO 算法收斂性對(duì)比Fig.3 Comparison of convergence between CS and PSO

3.2 預(yù)測(cè)結(jié)果及性能評(píng)價(jià)

在Matlab 中建立KELM 網(wǎng)絡(luò)，并輸入?yún)?shù)C和δ的最佳值。以P1至P6主成分為輸入變量，以實(shí)測(cè)位移為目標(biāo)值，進(jìn)行訓(xùn)練和預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4所示。

由圖4 看出預(yù)測(cè)值與實(shí)際值在變化趨勢(shì)上大致相同，但由于自動(dòng)化監(jiān)測(cè)采集數(shù)據(jù)存在一定的環(huán)境噪聲，導(dǎo)致預(yù)測(cè)值與實(shí)際值存在一定的系統(tǒng)偏差。在平穩(wěn)性較好的X方向序列中表現(xiàn)明顯，但數(shù)值偏小。在平穩(wěn)性較差的Y方向序列后半段中，同時(shí)受水位迅速降低影響，系統(tǒng)偏差值偏大。由表2 看出兩個(gè)數(shù)據(jù)集的確定性系數(shù)R2分別為0.943 和0.931，說明該模型預(yù)測(cè)質(zhì)量好，預(yù)測(cè)值能較好地反映實(shí)測(cè)值；預(yù)測(cè)的平均絕對(duì)誤差和均方根誤差都較小，說明模型預(yù)測(cè)的精度高。其中X方向位移的平均絕對(duì)百分比誤差小于5%，而切向位移的平均絕對(duì)百分比誤差遠(yuǎn)大于5%，是由于Y方向位移實(shí)測(cè)值有接近為0 的情況。

表2 預(yù)測(cè)模型性能指標(biāo)Tab.2 Performance indexes of forecast models

圖4 位移預(yù)測(cè)Fig.4 Forecast results of displacement

為探究訓(xùn)練集數(shù)量大小對(duì)本文所建模型的影響，分別在原訓(xùn)練集基礎(chǔ)上依次減少100 d，直至訓(xùn)練集大小為測(cè)試集一半，測(cè)試集樣本數(shù)量依舊為原有的200 個(gè)。對(duì)測(cè)點(diǎn)兩個(gè)方向的位移進(jìn)行預(yù)測(cè)，確定性系數(shù)R2和平均絕對(duì)誤差EMA隨數(shù)據(jù)集變化情況如圖5 所示。

從圖5 可以看出，當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)量減少時(shí)，模型的預(yù)測(cè)效果并沒有出現(xiàn)較大改變。在X方向位移預(yù)測(cè)中，當(dāng)減少天數(shù)為700 d 時(shí)，確定性系數(shù)R2依舊能達(dá)到0.900；在Y方向位移預(yù)測(cè)中，平均絕對(duì)誤差在減少天數(shù)達(dá)到800 d 前，保持在較低水平。只有當(dāng)減少天數(shù)達(dá)到900 d 時(shí)，預(yù)測(cè)精度才出現(xiàn)較大的下降?？傮w來看，當(dāng)數(shù)據(jù)集減少達(dá)70%前，模型的預(yù)測(cè)效果均表現(xiàn)較好，預(yù)測(cè)精度波動(dòng)不大，但當(dāng)數(shù)據(jù)集減少過多時(shí)，會(huì)導(dǎo)致模型的預(yù)測(cè)精度顯著下降。

圖5 模型預(yù)測(cè)指標(biāo)隨樣本集數(shù)目變化Fig.5 Prediction indicators R2 and EMA of the model with the number of training sets

3.3 其他模型比較

在Matlab 中分別建立傳統(tǒng)的逐步回歸模型（SLR）、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)（SVM）和極限學(xué)習(xí)機(jī)（ELM）4 種模型，與本文組合模型（簡(jiǎn)稱PCK 模型）進(jìn)行位移預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比。其中ELM 模型和BP 模型的魯棒性較差，預(yù)測(cè)取為5 次預(yù)測(cè)結(jié)果中的最優(yōu)結(jié)果。圖6 為5 種模型的X方向和Y方向位移預(yù)測(cè)結(jié)果，表3 為各模型在測(cè)試集上的預(yù)測(cè)性能指標(biāo)。

圖6 位移預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of displacement prediction results

表3 不同模型的預(yù)測(cè)性能指標(biāo)Tab.3 Performance indexes of different forecast models

從圖6(a)可以看出，在初始預(yù)測(cè)序列，BP 模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的偏差程度稍大，可能由過擬合的原因?qū)е?。?008 年6 月25 日之后，受水位變化的影響位移逐漸變大，此時(shí)SLR 和SVM 模型的預(yù)測(cè)值偏離實(shí)測(cè)值上部，ELM 模型的預(yù)測(cè)值偏離實(shí)測(cè)值下部，PCK 模型的預(yù)測(cè)值更接近實(shí)測(cè)值。

在圖6(b)的預(yù)測(cè)結(jié)果中，由于Y方向位移序列受水位影響具有較強(qiáng)的非平穩(wěn)性和波動(dòng)性，BP 模型受整體預(yù)測(cè)偏差較大，預(yù)測(cè)精度偏低。SLR 模型在2008 年6 月25 日之后預(yù)測(cè)逐步偏離實(shí)際值，ELM 和SVM模型則在實(shí)測(cè)值的拐點(diǎn)變化處預(yù)測(cè)偏差較大，PCK 模型在拐點(diǎn)處也會(huì)出現(xiàn)偏差，但相比其他3 種模型，偏差程度最小，整體上PCK 模型更接近真實(shí)值。

由表3 看出本文模型與其他4 種模型在變形預(yù)測(cè)中具有良好的一致性。在X方向預(yù)測(cè)中，5 種模型的平均絕對(duì)誤差值均小于0.05 mm，各模型均有較好的精度，但本模型別的參數(shù)均低于其余4 組模型，表明本模型的精度最高，且在非平穩(wěn)性和波動(dòng)性較大的Y方向位移中，平均絕對(duì)誤差和均方根誤差值仍處于較小值，呈現(xiàn)較好的泛化性能。從5 個(gè)模型趨勢(shì)預(yù)測(cè)結(jié)果來看，無論變形位移序列是否發(fā)生較大變化，本模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的偏差程度都最低，證明本模型能有效預(yù)測(cè)變形隨時(shí)間變化的過程。

為進(jìn)一步驗(yàn)證模型的性能，選取不同壩段的10 個(gè)測(cè)點(diǎn)，對(duì)壩體在Y方向上的變形位移進(jìn)行預(yù)測(cè)。統(tǒng)計(jì)各測(cè)點(diǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果的確定性系數(shù)和平均絕對(duì)誤差，并與SVM 和SLR 模型進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表4，模型在擬合效果和預(yù)測(cè)精度上均好于SVM 和SLR 模型。對(duì)于不同測(cè)點(diǎn)可能存在的復(fù)雜變形情況，傳統(tǒng)的逐步回歸模型在精度上不如SVM 和本文提出的PCK 模型，而SVM 模型受核參數(shù)難以確定的影響，導(dǎo)致其確定性系數(shù)波動(dòng)較大，泛化能力不強(qiáng)。本文提出的PCK 模型得益于主成分分析法對(duì)輸入變量的提取和布谷鳥算法對(duì)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的優(yōu)化，使其在精度和泛化能力上均有較好的表現(xiàn)。

表4 不同測(cè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Tab.4 Comparison of prediction results of different measuring points

4 結(jié)語

本文結(jié)合主成分分析法、布谷鳥優(yōu)化算法和核極限學(xué)習(xí)機(jī)網(wǎng)絡(luò)建立了一種變形預(yù)測(cè)模型，該模型通過PCA 算法優(yōu)化模型輸入，并采用CS 算法優(yōu)化KELM 網(wǎng)絡(luò)，提高了模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性。

（1）針對(duì)變形位移監(jiān)測(cè)序列具有高維非線性和非平穩(wěn)性，提出了基于PCA、CS 和KELM 算法的組合預(yù)測(cè)模型。通過PCA 法提取變形影響因子的主要信息，并借助KELM 網(wǎng)絡(luò)核映射的優(yōu)異性能，實(shí)現(xiàn)了對(duì)重力壩某測(cè)點(diǎn)在X方向（沿壩軸方線）和Y方向（上下游方向）的位移預(yù)測(cè)，結(jié)果表明該模型的預(yù)測(cè)效果良好。

（2）采用CS 算法優(yōu)化KELM 網(wǎng)絡(luò)，提高了模型整體的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性，使模型在一定程度上減少訓(xùn)練樣本時(shí)，依舊能保持較高的預(yù)測(cè)精度。

（3）通過單一測(cè)點(diǎn)和多測(cè)點(diǎn)的變形預(yù)測(cè)，對(duì)比傳統(tǒng)的逐步回歸模型和人工網(wǎng)絡(luò)模型，本文所建的模型在精度和泛化能力上均有較好表現(xiàn)，在實(shí)際的大壩安全監(jiān)測(cè)領(lǐng)域中具有一定的推廣應(yīng)用價(jià)值。