王 和 香

(喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆 喀什 844006)

近年來，隨著人們對非連續(xù)介質(zhì)電動力學(xué)、聚合物流變學(xué)、黏彈力學(xué)、分形和混沌等問題的深入研究，發(fā)現(xiàn)在解決問題過程中，利用分?jǐn)?shù)階構(gòu)建的模型比整數(shù)階模型更適用、提供的方法也更多樣化.因此，對于分?jǐn)?shù)階微分方程的研究越來越受到學(xué)者們的重視，這也極大地促進了含p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的發(fā)展．

多重正解的存在性.受以上文獻(xiàn)啟發(fā)，本文將研究一類具p-Laplacian算子的無窮多點邊值問題：

(1)

正解的存在唯一性，其中0<γ≤1，α≥2，n-1<α≤n，0<β<α-1，ηi∈，是標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)，φp為p-Laplacian算子，滿足且

f是在[0，1]×[0，+∞)→[0，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，a(t)∈C((0，1)，[0，+∞))，當(dāng)t=0，1時奇異．

1 預(yù)備知識與引理

定義1[4]函數(shù)y:(0，+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville積分是指

其中[α]表示α的整數(shù)部分，右邊是在(0，+∞)上逐點定義的．

定義2[4]函數(shù)y:(0，+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville微分是指

n=[α]+1，

其中[α]表示α的整數(shù)部分，右邊是在(0，+∞)上逐點定義的．

定理1[5](Arzela-Ascoli定理)設(shè){f(t)}是定義在α≤t≤β上的一致有界且等度連續(xù)的實函數(shù)族，則從其中必可選取一個在α≤t≤β上一致收斂的函數(shù)列{fn(t)}．

為簡化計算，假設(shè)如下條件成立：

(A1)p(0)≠1，q(s)≥0，s∈[0，1]；

給出如下記號，設(shè)

K(t，s)=

G(t，s)=K(t，s)+q(s)tα-1，

注記2若ηi=0，(i=1，2，…)，則p(s)≡0，q(s)≡0;若ηi≥0(i=1，2，…)，且p(0)<1，則q(s)≥0，s∈[0，1]．

引理3[6]設(shè)y∈L[0，1]且p(0)≠1，則邊值問題

(2)

引理4[6]函數(shù)K(t，s)具有以下性質(zhì):

1)K(t，s)>0，?t，s∈(0，1);

其中,h(s)=[1-(1-s)β](1-s)α-β-1，M1=max{1，β-1}．

引理5[6]引理3中定義的Green函數(shù)具有如下性質(zhì)：

1)G(t，s)>0，?t，s∈(0，1);

2)G(t，s)≤tα-1Φ1(s)，?t，s∈[0，1];

3)tα-1Φ2(s)≤G(t，s)≤M1Φ2(s)，?t，s∈[0，1]，

P={x∈E:x(t)≥0}，

引理6邊值問題

(3)

有唯一解

(4)

引理7假設(shè)條件(A1)和(A2)成立，則BVP(1)有唯一解

證明過程同引理6．

引理8定義算子A:P→E，

則A:P→Q全連續(xù)．

證明A:P→Q.由引理5，易證A:P→Q，再由Arzela-Ascoli定理，可證A:P→Q全連續(xù)．

2 主要結(jié)論

給出以下條件：

(H1)f(t，0)在[0，1]上不恒為0；

x，y∈[0，+∞)；

定理1若條件(H1)-(H4)成立，則BVP(1)有唯一正解．

證明因為f(t，0)≠0，所以0不是A的不動點.故只需證明A在Q中存在唯一解．

首先，證明解的存在性．

設(shè)Q1={x∈P:?l1，l2，使得l2tα-1≤x(t)≤l1tα-1}，對?x∈Q{0}，設(shè)

由引理5和li(x)>0，i=1，2有

l2(x)tα-1≤(Lλx)(t)≤l1(x)tα-1，

(5)

因此Lλ：Q{0}→Q1，由引理9，可證譜半徑r(Lλ)>0且Lλ有正特征函數(shù)ψ1，即

Lλψ1=r(Lλ)ψ1．

易得

(6)

對?x0∈Q{0}，設(shè)xn=A(xn-1)，n=1，2，…，假設(shè)x1-x0≠0(否則證明結(jié)束)，由(5)和(6)式有

則

如此下去，有

n=1，2，…，

因此，對?n，m∈Ν有

下證唯一性.

設(shè)z≠x*是A的非負(fù)不動點，則存在l1(|x*-z|)>0，使得

因此，

|Ax*-Az|=

類似上面的方法可以得到

3 舉例

考慮邊值問題：

(7)

有

易得

設(shè)

計算可得

故有

0.968<1.

綜上,滿足定理1所需條件，故邊值問題(7)有唯一正解．