王世芳，夏 坤

(湖北第二師范學院物理與機電工程學院，武漢 430205)

隨著低滲透和特低滲透油藏的不斷開發(fā)，非牛頓流體在多孔介質(zhì)中的滲流規(guī)律引起了廣大國內(nèi)外學者的關注與興趣[1-5].大量的實驗證明，在低滲透和特低滲透油藏中存在啟動壓力梯度，當實際的壓力梯度大于某一臨界值時，流體才能發(fā)生流動，此時流動行為表現(xiàn)出非達西滲流現(xiàn)象，這類流體稱為Bingham流體.王世芳等人[5]推導了Bingham流體在點到圓形分叉網(wǎng)絡中的啟動壓力梯度的分形解析表達式，提出了啟動壓力梯度不僅與屈服應力有關還與分叉比、母管直徑、分叉角度和總級數(shù)等分叉網(wǎng)絡的微結(jié)構(gòu)參數(shù)有關.員美娟等[6]基于多孔介質(zhì)是由一組滿足分形分布的毛細管組成的，利用分形理論提出了Bingham流體在多孔介質(zhì)平面平行流的啟動壓力梯度的分形模型.苗同軍等[7]基于分形理論，提出了牛頓流體在多孔介質(zhì)中球向滲流兩相流的相對滲透率的分形模型.考慮毛細管橫截面形狀后，王世芳等[4]研究了牛頓流體在由任意截面形狀毛細管組成的多孔介質(zhì)中球向滲流的滲透率的分形解析表達式.盡管諸多文獻研究了Bingham流體在多孔介質(zhì)中的滲流問題，但對于Bingham流體在多孔介質(zhì)中球向滲流的研究卻很少見到報道.

本文根據(jù)分形理論，并利用Bingham流體滿足的廣義達西定律，推導了Bingham流體在多孔介質(zhì)中球向滲流的滲透率和啟動壓力梯度的解析表達式，所得表達式與多孔介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)有關，分析了多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)參數(shù)對Bingham流體滲透率以及啟動壓力梯度的影響.

1 Bingham流體在多孔介質(zhì)中球向滲流模型的建立

三維的球向滲流廣泛應用于低滲透油氣儲集層，流體從井筒外部向井筒中心流動，如圖1所示，其中r為儲層中的某一點到井中心的距離，r0為井筒半徑.球向滲流模型是油氣藏開采中的重要模型，本文模型假設組成多孔介質(zhì)的毛細管是沿球徑向分布的.

圖1 多孔介質(zhì)球向滲流的示意圖Fig.1 Sketch map of spherical flow in porous media

根據(jù)分形理論，假設多孔介質(zhì)是由沿球的徑向分布、大小不同的彎曲毛細管構(gòu)成，毛細管之間彼此不相交.井筒壁上毛細管直徑大于或等于λ的總數(shù)目滿足以下的分形標度律[8]：

(1)

式中，Dp為孔隙分形維數(shù)，在二維空間中，0

(2)

由于多孔介質(zhì)中毛細管數(shù)目很多，所以可以把(1)式可當作是連續(xù)可微分的函數(shù)，對(1)式兩邊微分，得直徑在λ與λ+dλ之間的毛細管數(shù)目為：

(3)

半徑為r0的球面井筒壁的孔隙率Φ0與分形維數(shù)滿足以下關系[8]，

(4)

式中,λmin為最小孔隙直徑，DE為歐幾里德維數(shù)，在二維空間DE=2；在三維空間，DE=3.

假設多孔介質(zhì)中的孔隙是滿足分形分布的，距離井筒中心r處的面孔隙率為：

Φr=Sp/Sr,

(5)

其中,Sr為半徑r處的球面面積，Sp為半徑r處的孔隙總面積，其大小由以下公式給出：

(6)

將(6)式代入(5)式得：

(7)

將(2)式代入(7)式，得到：

(8)

由式(8)可知Φr隨著徑向距離r的增加而減小.當r→∞，局域面孔隙率Φr為0，解釋為在總毛細管面積一定的情況下，隨著徑向距離r的不斷增大，毛細管會變得越來越稀疏，即單位橫截面的毛細管數(shù)目越少，導致毛細管孔隙所占的比例越來越小，因此局域面孔隙率越來越小.

流體在油氣藏等低滲透多孔介質(zhì)中的流動表現(xiàn)出Bingham流體的性質(zhì).Yun等[6]給出Bingham流體通過直徑為λ的單根毛細管的流量可以表示成:

(9)

其中,Δp是直徑為λ、實際的長度為re的單根毛細管兩端的壓強降；μ為粘度，τ0為屈服應力；在通常情況下，毛細管兩端直線距離長度要比實際長度要短，徐鵬和郁伯銘等[8]指出直線距離長度r與毛細管實際長度re滿足以下標度率關系：

re=rDTλ1-DT.

(10)

迂曲度分形維數(shù)DT代表毛細管或流線的彎曲程度，對于二維空間1≤DT≤2，若DT=1則毛細管是直的；若DT=2則毛細管是彎彎曲曲的，充滿整個二維平面空間.

根據(jù)式(3)(9)(10)可以計算出Bingham流體通過球向多孔介質(zhì)的流量：

(11)

(12)

上式表示Bingham流體流入橫截面積為Ar=4πr2多孔介質(zhì)的總流量.

當屈服應力τ0=0時，(12)式可以化簡為

(13)

此時，式(13)與牛頓流體流量表達式相同[7].

Prada和Civan[10]提出Bingham流體滿足廣義達西定律：

(14)

其中，K為滲透率，J為啟動壓力梯度.比較式(12)(14)可以得到Bingham流體流經(jīng)多孔介質(zhì)球向滲流的滲透率和啟動壓力梯度的表達式：

(15)

(16)

(15)式為Bingham流體在多孔介質(zhì)中作球向滲流的滲透率，與牛頓流體的滲透率表達式相同[7]，說明了本模型的正確性.同時式(15)還表明Bingham流體的滲透率不僅與多孔介質(zhì)微結(jié)構(gòu)參數(shù)(Dp、DT、A0、λmax)有關，還與徑向距離r有關，徑向距離r越大，球向滲透率K越小.這是因為隨徑向距離r增大，局域面孔隙率Φr越小，毛細管的分布越來越稀疏，從而導致流動阻力越來越大，最終導致滲透率越來越小.在(15)(16)式中，每個參數(shù)都具有具體的物理意義，不含任何經(jīng)驗參數(shù)，故能揭示影響B(tài)ingham流體在多孔介質(zhì)中球向滲流的物理機理，物理意義明確清晰.

當屈服應力τ0=0時，(16)式化為：

J=0.

(17)

上式正好說明了牛頓流體無啟動壓力梯度存在.

2 結(jié)果分析與討論

根據(jù)方程(15)畫出了在不同迂曲度分形維數(shù)下，球向滲透率隨徑向距離r的變化趨勢，如圖2所示.從圖2中可以看出，球向滲透率隨徑向距離的增大而減小，這與實際情況一致，另外也可以發(fā)現(xiàn)滲透率隨迂曲度的增大而減小，即在同一徑向距離r處，迂曲度越大球向滲透率越小，這是由于迂曲度越大，流體在流動的過程中的流動路徑越彎曲，所受的阻力也就越大，因此滲透率越小.

圖2 滲透率隨徑向距離的變化趨勢(參數(shù)：r0=0.1 m，λmax=0.5 mm，Dp=1.2，Φ0=0.2)Fig.2 The permeability versus the radial distance r(parameters:r0=0.1 m，λmax=0.5 mm，Dp=1.2 and Φ0=0.2)

從圖3中可以看出在迂曲度分形維數(shù)一定的情況下，滲透率隨井筒壁面孔隙率的增大而增大；在井筒壁面孔隙率一定的情況下，迂曲度分形維數(shù)越大，滲透率越小.這也表明Bingham流體在流動過程中隨著迂曲度增大，流體的流動路徑越彎曲，所受的流動阻力越大，滲透率越小.

圖3 滲透率在不同迂曲度分形維數(shù)下隨孔隙率的變化趨勢(參數(shù)：r0=0.1 m，r=5 m，λmax=0.5 mm，Dp=1.2)Fig.3 The permeability versus the porosity at different values of DT (parameters:r0=0.1 m，r=5 m，λmax=0.5 mm，Dp=1.2)

從圖4中可以看到啟動壓力梯度隨徑向距離的增大而增大，這是因為隨著徑向距離逐漸增大局域面孔隙率減小，導致了流動阻力隨之增大，繼而啟動壓力梯度也隨之增大.從該圖中也可以看出隨著迂曲度分形維數(shù)的增大，啟動壓力梯度增大，這是由于迂曲度分形維數(shù)越大流動路徑越彎曲，Bingham流體在流動過程中所受阻力越大，最終導致了啟動壓力梯度也越大.

圖4 啟動壓力梯度在不同迂曲度分形維數(shù)下隨徑向距離的變化(參數(shù)：τ0=1.0 Pa，λmax=0.5 mm，Dp=1.2)Fig.4 The starting pressure gradient vs the radial distance at different tortuosity fractal dimensions (parameters:τ0=1.0 Pa，λmax=0.5 mm，Dp=1.2)

圖5給出的是啟動壓力梯度在不同屈服應力下與毛細管最大直徑的變化關系.可以看出啟動壓力梯度隨著毛細管最大直徑的增大而減小，這是因為毛細管最大直徑越大，流體越容易流動，啟動壓力梯度越小.同時啟動壓力梯度隨屈服應力的增大而增大，即在相同毛細管最大直徑情況下，流體的屈服應力越小，啟動壓力梯度越小，也就意味著Bingham流體越容易流動.

圖5 啟動壓力梯度在不同屈服應力下與毛細管最大直徑的變化關系(參數(shù)：Dp=1.2，DT=1.2，r=2 m)Fig.5 The relationship between the starting pressure gradient and the maximum diameter at different yield stresses (parameters:Dp=1.2，DT=1.2，r=2 m)

圖6 啟動壓力梯度與滲透率變化關系(參數(shù):Dp=1.2，τ0=1.0 Pa，r0=0.1 m，Φ0=0.2)Fig.6 The starting pressure gradient vs the permeability (paramenters:Dp=1.2，τ0=1.0 Pa，r0=0.1 m，Φ0=0.2)

圖6給出的是啟動壓力梯度與滲透率的變化關系，從圖中可以看出，啟動壓力梯度隨著滲透率的增加而減小，并且在滲透率較高時，啟動壓力梯度很小，但在滲透率非常低時，啟動壓力梯度急劇上升.通過分析可以知道，在低滲透油藏中，啟動壓力梯度不可忽略.

4 總結(jié)

根據(jù)分形理論和達西定律，提出了Bingham流體在低滲透多孔介質(zhì)中球向滲流的分形模型.研究結(jié)果表明Bingham流體球徑向滲透率和啟動壓力梯度是分形維數(shù)、毛細管最大直徑、徑向半徑、孔隙率、屈服應力的函數(shù)，模型不含經(jīng)驗參數(shù)，每個物理量都有明確的物理意義，清楚的揭示了Bingham流體在多孔介質(zhì)中球向滲流的物理機制.同時研究結(jié)果表明滲透率隨徑向距離的增大而減小，隨孔隙率的增大而增大，隨迂曲度分形維數(shù)的減小而增大，這也與實際情況相符；啟動壓力梯度隨徑向距離和迂曲度分形維數(shù)增大而增大，隨著滲透率的增加而減小，在滲透率較高時，啟動壓力梯度可忽略，但在滲透率極低時，啟動壓力梯度不可忽略；同時啟動壓力梯度也隨著毛細管最大直徑的增大而減小，隨著屈服應力的增大而增大.本文的研究能為油藏開采提供一定的理論依據(jù).