向文昌，蔡燕兵*，周代翠

(1.貴州財經(jīng)大學(xué)金融物理重點實驗室，貴陽 550025；2.華中師范大學(xué)粒子物理研究所，武漢 430079)

微擾量子色動力學(xué)預(yù)言強子內(nèi)的膠子密度隨著能量的增大而快速增加.當(dāng)能量足夠高時，膠子的密度將達到飽和狀態(tài)，從而形成一種新的物質(zhì)形態(tài)，人們稱之為色玻璃凝聚態(tài)(color glass condensate，CGC)[1].色玻璃凝聚物質(zhì)的快度演化滿足Balitsky-JIMWLK 方程[2-4]，此方程是一個無窮階的級聯(lián)方程，因此很難用于唯象研究.在平均場近似下，Balitsky-JIMWLK方程可以簡化為閉合的領(lǐng)頭階Balitsky-Kovchegov (LOBK)演化方程[2，5]，LOBK方程極大的方便了理論計算與實驗數(shù)據(jù)的比較.LOBK 方程在描述偶極子與靶發(fā)生散射時，假定靶快度保持不變，認為快度演化發(fā)生在偶極子中，這一參考系極大地簡化了LOBK方程的推導(dǎo)過程.

從LOBK 方程可以導(dǎo)出偶極子-靶發(fā)生深度非彈性散射(DIS)時的散射振幅滿足幾何標(biāo)度行為，即偶極子散射振幅由兩個獨立變量r和Qs(x)的函數(shù)變?yōu)橐粋€聯(lián)合變量rQs(x)的函數(shù)，這里r和Qs(x)分別表示偶極子的橫向大小和膠子飽和動量，x為Bjorken變量.基于色玻璃凝聚理論，Golec-Biernat 等人的研究發(fā)現(xiàn)在小x區(qū)域中電子—質(zhì)子DIS總截面滿足幾何標(biāo)度行為[6]，該發(fā)現(xiàn)為色玻璃凝聚理論的有效性提供了一個強有力的支持.然而，Caola等人的研究發(fā)現(xiàn)在DGLAP演化理論框架下，電子—質(zhì)子DIS總截面也表現(xiàn)出幾何標(biāo)度行為[7].因此，人們很難判斷初始部分子系統(tǒng)的快度演化是服從CGC還是DGLAP演化規(guī)律.此外，當(dāng)采用LOBK方程描述質(zhì)子結(jié)構(gòu)函數(shù)(F2)和高能重離子碰撞中末態(tài)粒子多重數(shù)分布時，都發(fā)現(xiàn)LOBK給出的散射振幅隨快度的演化速度過快，從而導(dǎo)致領(lǐng)頭階的偶極子散射振幅只能定性的描述實驗數(shù)據(jù)，而無法定量的解釋實驗數(shù)據(jù)[8].

在過去的二十年中，大量的研究致力于尋找初態(tài)部分子系統(tǒng)服從CGC演化規(guī)律的證據(jù)和計算次領(lǐng)頭階效應(yīng)對BK方程的修正[9-11].在理論研究方面，首先通過重求和所有αsNc階的貢獻，考慮跑動耦合常數(shù)效應(yīng)對Balitsky-JIMWLK方程的修正，得到一個跑動耦合常數(shù)修正的偶極子散射振幅快度演化方程(rcBK方程)[12]，這里αs和Nc分別代表跑動耦合常數(shù)和夸克的色數(shù).相對于LOBK演化方程，rcBK方程與LOBK方程在形式上保持一致，但是其演化核被跑動耦合常數(shù)效應(yīng)修改了，從而使得偶極子散射振幅隨快度的演化速度被壓低.該壓低效應(yīng)(跑動耦合常數(shù)效應(yīng))有效的改善了色玻璃凝聚理論對質(zhì)子結(jié)構(gòu)函數(shù)的描述[8].從費曼圖看，跑動耦合常數(shù)效應(yīng)只考慮了夸克圈的貢獻，僅屬于其中一種次領(lǐng)頭階貢獻.除了夸克圈之外，膠子圈的貢獻也屬于次領(lǐng)頭階效應(yīng).在rcBK方程推導(dǎo)出來后不久，Balitsky和Chirilli同時考慮了夸克圈和膠子圈的貢獻，得到了完整次領(lǐng)頭階BK演化方程[9].但是數(shù)值解該次領(lǐng)頭階方程時發(fā)現(xiàn)，其給出的偶極子散射振幅隨能量的增加可能出現(xiàn)負值，并且偶極子散射振幅對初始條件有很強的依賴關(guān)系，這些結(jié)果都不具有物理意義.通過追蹤完整次領(lǐng)頭階演化方程的演化核發(fā)現(xiàn)，負值來自于演化核中的雙對數(shù)項.為了解決該困難，需要對雙對數(shù)項進行重求和.Buef等人采用運動學(xué)限制條件，推導(dǎo)了非局域的偶極子演化方程，試圖解決完整次領(lǐng)頭階方程不穩(wěn)定問題[13]；Iancu等人提出了一套新穎的方法對共線對數(shù)項進行重求和，推導(dǎo)了共線改進的BK演化方程(ciBK方程)[14].從共線重求和看，非局域演化方程和ciBK方程具有等效性，它們都能有效的解決完整次領(lǐng)頭階方程不穩(wěn)定的問題.此外，ciBK方程能較好的描述HERA能區(qū)電子—質(zhì)子散射中質(zhì)子的結(jié)構(gòu)函數(shù)實驗數(shù)據(jù).

雖然ciBK在描述實驗數(shù)據(jù)時取得了一定的成功，但是它的演化變量為射彈的快度(Y).最近的研究發(fā)現(xiàn)實驗上測量質(zhì)子結(jié)構(gòu)函數(shù)等物理量時，通常采用靶快度作為演化變量(η)，而以上提到的所有演化方程都是以射彈的快度作為演化變量，因此只能近似的用來描述實驗數(shù)據(jù).一個有效的做法是把以上提到的演化方程轉(zhuǎn)換為以靶快度為演化變量的方程，使得其導(dǎo)出的偶極子散射振幅能直接用于描述HERA等實驗上測量的數(shù)據(jù)[11，15-16].近來，Iancu等人基于LOBK方程，采用快度平移變換Y=η+ρ，并考慮到膠子輻射需滿足時序效應(yīng)的條件，即母膠子的壽命應(yīng)大于子膠子的壽命，推導(dǎo)了共線改進的Balitsky-Kovchegov演化方程(BK-η)[11]，該方程的演化變量為靶快度η.當(dāng)利用BK-η方程描述HERA實驗數(shù)據(jù)時，研究結(jié)果表明其能很好的定量解釋實驗數(shù)據(jù)[17].該研究結(jié)果提供了又一個較好的佐證支持CGC理論的有效性.

大量的研究表明矢量介子的產(chǎn)生過程對膠子飽和物理十分的敏感，因此矢量介子的產(chǎn)生能為探測膠子飽和物理提供一種優(yōu)越的方式[18-19].為了尋找更多的證據(jù)支持CGC理論的有效性，本文將利用BK-η方程研究HERA能區(qū)電子-質(zhì)子散射中矢量介子的產(chǎn)生；采用Runge-Kutta 方法數(shù)值解BK-η方程，得出偶極子散射振幅的數(shù)值形式，結(jié)合矢量介子產(chǎn)生微分截面，擬合HERA能區(qū)J/ψ和φ介子產(chǎn)生實驗數(shù)據(jù).對于共線改進的BK-η方程，得到的χ2/d.o.f分別為0.996(J/ψ)、1.089(φ)，由此表明共線改進的BK-η方程能很好的描述實驗數(shù)據(jù).本研究結(jié)果為色玻璃凝聚理論的有效性提供了進一步的理論支持.

1 矢量介子產(chǎn)生截面和偶極子演化方程

本部分將首先介紹偶極子模型中矢量介子的產(chǎn)生截面；然后回顧領(lǐng)頭階偶極子散射振幅演化方程和共線改進的偶極子散射振幅演化方程；最后介紹矢量介子波函數(shù).

1.1 偶極子模型中矢量介子產(chǎn)生截面

根據(jù)偶極子模型，衍射γ*p→Vp過程通?？煞譃槿齻€子過程，見圖1.第一個子過程為虛光子通過量子漲落成為一個偶極子，其由一對正反夸克組成.第二個子過程為偶極子與靶通過交換膠子發(fā)生相互作用.該過程包含了強相互作用的重要信息，故為最重要的部分.最后一個子過程為出射正反夸克對重結(jié)合產(chǎn)生矢量介子.由此可知光子-質(zhì)子衍射相互作用截面可以因子化成三個部分，即光子波函數(shù)、偶極子-質(zhì)子散射振幅和矢量介子產(chǎn)生波函數(shù).矢量介子產(chǎn)生的散射振幅虛部可以寫為：

(1)

圖1 偶極子模型中矢量介子產(chǎn)生過程Fig.1 Vector meson production in the dipole model

(2)

在方程(2)中，人們最關(guān)心的是偶極子散射截面dσdip/db，因為其包含了強相互作用的重要信息.根據(jù)光學(xué)定理，dσdip/db可以表示為偶極子-靶向前散射振幅的虛部：

(3)

其演化滿足BK方程，下一小節(jié)將詳細介紹LOBK方程和共線改進的BK-η方程.散射振幅對碰撞參數(shù)的依賴屬于非微擾物理，很難直接計算.通常人們采用模型的形式引入散射振幅對碰撞參數(shù)的依賴.本研究將采用Marquet，Peschanski和Soyez(MPS)提出的碰撞參數(shù)依賴方案[18]，他們假定散射振幅對碰撞參數(shù)的依賴關(guān)系具有高斯形式，并把散射振幅從b空間傅立葉變換到q空間：

(4)

把方程(3)和(4)代入(2)中，并經(jīng)過簡單的數(shù)學(xué)計算可得：

(5)

這里采用一種推廣的形式給出[17]：

(6)

其中,因子e-Bq2來自于非微擾效應(yīng)的貢獻，R為質(zhì)子的半徑，N(r，x)為偶極子散射振幅.這里B和R為模型參數(shù)，可通過擬合HERA實驗數(shù)據(jù)來確定它們的值.

利用衍射光子-質(zhì)子散射振幅(5)，可以得到矢量介子產(chǎn)生的微分散射截面為

(7)

(8)

這里δT，L寫為

(9)

總微分散射截面將是橫向(T)和縱向(L)微分散射截面之和.

1.2 偶極子散射振幅演化方程

為了得到方程(6)中的偶極子散射振幅，本小節(jié)將分別介紹描述偶極子隨射彈快度和靶快度演化的方程，即LOBK方程和BK-η方程.

圖2 偶極子隨快度演化示意圖Fig.2 Schematic diagram for the dipole rapidity evolution

在高能情況下，考慮一個由正反夸克組成的偶極子與靶(可能是一個強子或一個核)發(fā)生相互作用，其散射振幅滿足LOBK方程[2，5]:

N(r，Y)-N(r1，Y)N(r2，Y)]，

(10)

其中，Y為射彈的快度；KLO為演化核，其表達式為:

(11)

領(lǐng)頭階BK方程僅僅只對αsln(x)進行了所有階重求和，并假定跑動耦合常數(shù)為一個固定值，因此該方程為一個領(lǐng)頭階方程.人們在采用LOBK方程描述HERA能區(qū)電子-質(zhì)子深度非彈性散射中F2時發(fā)現(xiàn)，其給出的計算結(jié)果比實驗數(shù)據(jù)大，表明該方程給出的偶極子散射振幅隨快度的演化速度過快，所以只能定性的解釋實驗數(shù)據(jù)，而無法定量的描述實驗數(shù)據(jù).為了能定量的描述實驗數(shù)據(jù)，需要在領(lǐng)頭階BK方程的基礎(chǔ)上考慮高階輻射修正.接下來介紹BK方程的共線修正，有時也稱為雙對數(shù)重求和效應(yīng).

眾所周知，在理論上，為了簡化高能偶極子與靶相互作用散射振幅的計算過程，BK演化方程是在靶靜止系中推導(dǎo)的，認為所有的演化發(fā)生在偶極子(射彈)中.這一坐標(biāo)系選取方法有效地避免了靶演化過程中的非線性效應(yīng).然而，在實驗室測量時通常采用靶快度作為演化變量，如HERA能區(qū)ZEUS和H1實驗在測量F2、σred等物理量時，使用靶快度η=ln(1/x)，而非射彈快度Y.實驗測量和理論計算之間出現(xiàn)了不匹配的演化變量.因此，所有基于BK理論的演化方程都需要從射彈快度表示變換到靶快度表示才能準(zhǔn)確的描述HERA實驗數(shù)據(jù)[8].最近關(guān)于質(zhì)子結(jié)構(gòu)函數(shù)的研究時發(fā)現(xiàn)采用η作為演化變量的BK方程能更好的描述F2實驗數(shù)據(jù)[17].基于以上的成功經(jīng)驗，本文將采用共線改進的BK-η方程來研究矢量介子的產(chǎn)生.

為了得到BK-η方程，將基于LOBK方程，采用變量變換的方法，把射彈演化的BK方程變換到靶演化的方程.靶快度和射彈快度可以分別表示為:

(12)

(13)

(14)

同理，

N(r1，Y)=N(r1，η+ρ)=

(15)

N(r2，Y)=N(r2，η+ρ)=

(16)

為了得到BK-η方程，首先需要把方程(15)和(16)進行展開

(17)

(18)

把方程(14)、(17)和(18)代入(10)中，并利用膠子輻射時需滿足的時序條件，即母偶極子的壽命需大于子偶極子的壽命，可得共線改進的偶極子演化方程BK-η[11]:

(19)

其中,快度平移量

(20)

(21)

這里強調(diào)方程(19)已經(jīng)是以靶快度作為演化變量的共線改進的BK方程，其可以直接用來描述ZEUS和H1實驗數(shù)據(jù).在下一節(jié)將采用數(shù)值方法解方程(10)和(19)，得出數(shù)值形式的領(lǐng)頭階和共線改進的偶極子散射振幅，并結(jié)合矢量介子產(chǎn)生截面，擬合HERA實驗數(shù)據(jù)，給出實驗數(shù)據(jù)的理論解釋.

1.3 矢量介子波函數(shù)

在計算矢量介子產(chǎn)生截面時，由方程(1)可知，光子與矢量介子的重疊波函數(shù)是其中重要的一部分.光子-矢量介子重疊波函數(shù)有幾種不同的形式，如boosted Gaussian、Gauss-LC、DGKP[18-20].研究發(fā)現(xiàn)，不同的矢量介子對波函數(shù)的具體形式有一定的偏好性.由于本研究主要關(guān)注偶極子截面對矢量介子產(chǎn)生的影響，因此將只使用一種重疊波函數(shù).橫向和縱向的光子-矢量介子重疊波函數(shù)可以寫為[20]：

[z2+(1-z)2]εK1(εr)?rφT(r，z)}，

(22)

(23)

(24)

表1給出了方程(22)～(24)中MV、mf、NT，L和RT，L等參數(shù)的值.

表1 Boosted Gaussian標(biāo)量函數(shù)中J/ψ和φ介子的參數(shù)[20]Tab.1 The parameters of boosted Gaussian scalar function for J/ψ and φ[20]

2 數(shù)值結(jié)果

本節(jié)首先將采用數(shù)值方法求解微分積分形式的演化方程(10)和(19)，得到數(shù)值形式的偶極子散射振幅.然后把這些數(shù)值的偶極子散射振幅代入方程(5)和(7)中，計算HERA能區(qū)J/ψ和φ介子的微分散射截面和彈性散射截面.我們的研究結(jié)果將顯示共線改進的色玻璃凝聚理論比領(lǐng)頭階色玻璃凝聚理論更好的描述實驗數(shù)據(jù).

2.1 偶極子散射振幅的數(shù)值解

偶極子散射振幅隨快度的演化方程(10)和(19)是微分積分方程，它們的數(shù)值解需要初始條件.本文采用McLerran-Venugopalan模型作為初始條件[21]：

(25)

在網(wǎng)格上數(shù)值解演化方程(10)和(19)，把偶極子平均地分離成512個離散點，并放在對數(shù)空間網(wǎng)格點上，r的取值范圍從rmin=10-8GeV-1到rmax=50 GeV-1.為了簡化計算，本研究假定偶極子散射振幅不依賴于碰撞參數(shù)，即N=N(|r|，η).采用GNU科學(xué)計算程序庫(GSL)榮格-庫塔方法求解微分方程，并使用辛普森算法計算方程中的積分運算[10，22].快度演化步長設(shè)為Δη=0.1，根據(jù)描述實驗數(shù)據(jù)的需要，快度最大演化到η=20.此外，對于方程在演化過程中出現(xiàn)一些不在網(wǎng)格上的數(shù)值點，采用三次樣條插值方法計算它們的值.

對于方程(19)和(25)中的跑到耦合常數(shù)αs(r)，本研究采用一圈精度水平的跑動耦合常數(shù)方案，

(26)

其中,b=(11Nc-2Nf)/12π.為了防止紅外發(fā)散行為，當(dāng)r>rfr時，取αs(rfr)=0.75.

圖3給出了4種不同快度情況下偶極子散射振幅隨其橫向大小的變化情況，實線代表BK-η方程的解，虛線代表LOBK方程的解，黑線、藍色、紅色和紫色分別代表快度為0、4、8和12的結(jié)果.從圖3中可以看出共線改進的BK-η方程給出的偶極子散射振幅隨快度的演化速度遠小于LOBK方程的情況，該結(jié)果表明次領(lǐng)頭階效應(yīng)對偶極子散射振幅的演化有較大的修正作用.在接下來的研究中將顯示，正是由于次領(lǐng)頭階輻射修正帶來的壓低效應(yīng)，使得理論計算能較好地描述實驗數(shù)據(jù).

圖3 不同快度時偶極子散射振幅的數(shù)值解Fig.3 The numerical solutions of the dipole scattering amplitude at different rapidities

2.2 HERA實驗數(shù)據(jù)描述

表2和3分別給出了J/ψ和φ介子的擬合參數(shù)和χ2/d.o.f，表中的第一列代表不同的偶極子散射振幅，其中LOBK和BK-η分別代表領(lǐng)頭階和共線改進的偶極子散射振幅.從表2和3中最后一列可知共線改進的演化方程(BK-η)給出的χ2/d.o.f比領(lǐng)頭階演化方程(LOBK)給出的值更接近于1，表明共線改進的演化方程較領(lǐng)頭階演化方程能更好的描述HERA的實驗數(shù)據(jù).當(dāng)觀察從擬合J/ψ和φ介子產(chǎn)生的實驗數(shù)據(jù)得到的χ2/d.o.f時，發(fā)現(xiàn)共線改進的演化方程給出的結(jié)果較領(lǐng)頭階演化方程給出的值有很大的提高.這些結(jié)果說明次領(lǐng)頭階效應(yīng)壓低了偶極子隨快度的演化速度，其在描述HERA數(shù)據(jù)中起著非常重要的作用.

圖4給出了不同Q2時J/ψ和φ的微分散射截面隨|t|變化情況.圖的左邊為J/ψ介子產(chǎn)生的微分截面，右邊為φ介子產(chǎn)生的微分截面.圖中的實

線代表采用共線改進的演化方程計算的結(jié)果，虛線代表采用領(lǐng)頭階演化方程計算的結(jié)果.從圖中可以看出不論是J/ψ還是φ介子，共線改進的偶極子散射振幅比領(lǐng)頭階偶極子散射振幅能更好的描述實驗數(shù)據(jù).由圖可知使用領(lǐng)頭階偶極子散射振幅計算得到的矢量介子微分截面普遍都大于采用共線改進的偶極子散射振幅計算的截面，這一結(jié)果與理論預(yù)期很好的相一致，即高階效應(yīng)(這里指共線改進效應(yīng))壓低了偶極子散射振幅隨快度的演化速度.同時，該結(jié)果也與表2和3給出的χ2/d.o.f相一致，即由BK-η擬合得到的χ2/d.o.f比LOBK方程得到的值更接近于1，表明次領(lǐng)頭階共線修正效應(yīng)在描述HERA實驗數(shù)據(jù)時有著重要的物理意義.

表2 J/ψ介子產(chǎn)生截面的擬合參數(shù)和χ2/d.o.fTab.2 The fitting parameters and χ2/d.o.f of the J/ψ production

表3 φ介子產(chǎn)生截面的擬合參數(shù)和χ2/d.o.fTab.3 The fitting parameters and χ2/d.o.f of the φ production

圖4 不同Q2時J/ψ和φ介子產(chǎn)生的微分截面隨|t|變化情況，數(shù)據(jù)來自于H1和ZEUS兩個實驗組[23-26]Fig.4 The differential cross sections of the J/ψ and φ meson productions as a function of |t|at different Q2.The data come from H1 and ZEUS collaborations[23-26]

圖5給出了J/ψ和φ的彈性散射截面隨Q2變化情況.左邊和右邊的圖分別表示J/ψ和φ介子產(chǎn)生的彈性截面.圖中實線代表由共線改進的演化方程計算的結(jié)果，虛線代表由領(lǐng)頭階演化方程計算的數(shù)值結(jié)果.從圖5可以看出，由共線改進的演化方程計算得到的彈性散射截面理論值較領(lǐng)頭階演化方程的結(jié)果更接近于實驗數(shù)據(jù).此外從整體趨勢來看，共線改進的演化方程所得計算結(jié)果更能描述實驗數(shù)據(jù)，尤其是在大Q2區(qū)域，領(lǐng)頭階演化方程所得結(jié)果與實驗相差較大.

為了進一步的說明共線修正效應(yīng)的重要性，研究了J/ψ和φ的彈性散射截面隨能量Wγ*p的變化情況，相關(guān)的結(jié)果顯示在圖6中.圖中實線代表由共線改進的演化方程計算的結(jié)果，虛線代表由領(lǐng)頭階演化方程計算的數(shù)值結(jié)果.從圖6可以看出，不論是J/ψ和φ介子，共線改進的演化方程給出的描述都較領(lǐng)頭階方程有較大的提高.此外，由圖6還可以看出，在能量較大時領(lǐng)頭階演化方程給出的計算結(jié)果很大的偏離了實驗數(shù)據(jù)值，這個現(xiàn)象可以從圖3中找到相關(guān)原因.在圖3中比較同一快度時共線改進的偶極子散射振幅和領(lǐng)頭階偶極子散射振幅，不難發(fā)現(xiàn)領(lǐng)頭階偶極子散射振幅的演化速度遠遠大于共線改進的散射振幅，而且隨著快度的增加差別越來越大，從而引起在高能量區(qū)域彈性截面的理論計算值大于實驗測量值.

圖5 J/ψ和φ介子產(chǎn)生的彈性散射截面隨Q2變化情況，數(shù)據(jù)來自于H1和ZEUS兩個實驗組[23-26]Fig.5 The elastic cross sections of the J/ψ and φ meson productions as a function of Q2.The data comes from H1 and ZEUS collaborations[23-26]

圖6 不同Q2時J/ψ和φ介子產(chǎn)生的彈性散射截面隨Wγ*p的變化情況，數(shù)據(jù)來自于H1和ZEUS兩個實驗組[23-26]Fig.6 The elastic cross sections of the J/ψ and φ meson productions as a function of Wγ*p at different Q2.The data comes from H1 and ZEUS collaborations[23-26]

3 總結(jié)與討論

在色玻璃凝聚理論框架下，本文分別采用領(lǐng)頭階和共線改進的偶極子演化方程對J/ψ和φ介子的產(chǎn)生進行了深入的研究.在第二部分首先介紹了偶極子模型中矢量介子的產(chǎn)生公式，采用了MPS提出來的有效方法引入散射振幅對碰撞參數(shù)依賴關(guān)系，MPS 方法極大的方便了理論計算與實驗數(shù)據(jù)的直接比較.在第二部分中還回顧了領(lǐng)頭階偶極子演化方程，并詳細地介紹了以射彈快度為演化變量的方程轉(zhuǎn)換成以靶快度為演化變量的推導(dǎo)過程.采用榮格-庫塔方法分別數(shù)值求解領(lǐng)頭階和共線改進的演化方程，結(jié)果顯示次領(lǐng)頭階的共線改進效應(yīng)極大的壓低了偶極子隨快度的演化速度.利用偶極子散射振幅的數(shù)值解，結(jié)合矢量介子產(chǎn)生公式，擬合了HERA能區(qū)H1和ZEUS的實驗數(shù)據(jù)，擬合結(jié)果顯示由共線改進的演化方程計算得到的χ2/d.o.f比領(lǐng)頭階演化方程計算的值更接近1，由此表明共線改進的演化方程能更好的描述實驗數(shù)據(jù).由上可知，基于色玻璃凝聚的理論計算能很好的解釋實驗數(shù)據(jù)，這一研究結(jié)果為證明色玻璃凝聚的有效性提供了進一步理論支持.